Leçon 16 — Suites numériques

Définition et propriétés

Comment décrire une suite

1. Formule explicite (terme général) : $a_n = 2n + 1$ — termes $3, 5, 7, 9, \ldots$
2. Récurrence : $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + 2$ — même résultat.
3. Description : « n-ième nombre premier » — $2, 3, 5, 7, 11, 13, \ldots$ (sans formule fermée).

Monotonie

• Croissante : $a_{n+1} > a_n \quad \forall n$.
• Non-décroissante : $a_{n+1} \geq a_n$.
• Décroissante : $a_{n+1} < a_n$.
• Constante : $a_{n+1} = a_n$.

Bornitude

$(a_n)$ est bornée s'il existe $M > 0$ avec $|a_n| \leq M$ pour tout $n$. Bornée supérieurement si $a_n \leq M_+$ ; inférieurement si $a_n \geq M_-$.

Convergence intuitive (formalisée à la Leçon 19)

$(a_n)$ converge vers $L$ si « $a_n$ se rapproche arbitrairement de $L$ quand $n$ est grand ». Formellement (Leçon 41 — Trim 5) : $\lim_{n \to \infty} a_n = L \iff \forall \eps > 0, \exists N : n \geq N \Rightarrow |a_n - L| < \eps$

Suites célèbres