Leçon 17 — Suites arithmétiques (PA)

Définition et formules

Terme général

$a_n = a_1 + (n-1) r$

Démonstration par récurrence sur $n$. Équivalent à $a_n = a_p + (n-p) r$ pour tout $p$.

Somme des $n$ premiers termes

$S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n(2a_1 + (n-1)r)}{2}$

Démonstration (Gauss enfant, ~1789) : écrire $S_n$ deux fois, une fois en ordre croissant, une fois décroissant :

$\begin{aligned} S_n &= a_1 + a_2 + \ldots + a_n \\ S_n &= a_n + a_{n-1} + \ldots + a_1 \end{aligned}$

En additionnant terme à terme : $2 S_n = n(a_1 + a_n)$, car chaque paire vaut $a_1 + a_n$. ∎

Propriétés

• Moyenne arithmétique : trois termes consécutifs satisfont $a_n = (a_{n-1} + a_{n+1})/2$.
• Croissante si $r > 0$, décroissante si $r < 0$, constante si $r = 0$.

Exemple numérique

PA avec $a_1 = 5$, $r = 3$ : termes $5, 8, 11, 14, 17, \ldots$

$a_{20} = 5 + 19 \cdot 3 = 62$. $S_{20} = 20 \cdot (5 + 62)/2 = 670$.