Leçon 18 — Progressions géométriques (PG)

Définition et formules

Terme général

$a_n = a_1 q^{n-1}$

Somme des $n$ premiers termes

Pour $q \neq 1$ : $S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$

Démonstration : $S_n = a_1 + a_1 q + \ldots + a_1 q^{n-1}$. Multipliez par $q$ : $q S_n = a_1 q + a_1 q^2 + \ldots + a_1 q^n$ En soustrayant : $q S_n - S_n = a_1 q^n - a_1$, donc $S_n = a_1(q^n - 1)/(q - 1)$. ∎

Somme infinie (PG convergente)

Si $|q| < 1$, $q^n \to 0$ lorsque $n \to \infty$. Donc :

$S_\infty = \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a_1}{1 - q}$

C'est la série géométrique, pièce centrale des séries de Taylor (Trim 9).

Comportement

• $q > 1$ : PG croît exponentiellement.
• $q = 1$ : constante.
• $0 < q < 1$ : décroissante, converge vers 0.
• $q = -1$ : oscille $a_1, -a_1, a_1, \ldots$
• $q < -1$ : oscille avec amplitude croissante.