Leçon 19 — Limite intuitive de suites

Concept intuitif

La question centrale

Étant donnée une suite $(a_n)$, vers quelle valeur (s'il y en a une) les termes s'approchent-ils lorsque $n \to \infty$ ?

Lorsque cette valeur existe, on dit que la suite converge et on écrit $\lim_{n \to \infty} a_n = L$.

Définition intuitive

$\lim a_n = L$ signifie : les termes $a_n$ deviennent arbitrairement proches de $L$ lorsque $n$ est suffisamment grand.

« Arbitrairement » et « suffisamment » sont précisément ce qui se formalise avec $\eps$ et $N$ à la Leçon 41 : $\forall \eps > 0, \exists N : n \geq N \Rightarrow |a_n - L| < \eps$

Limites remarquables

Opérations sur les limites

Si $\lim a_n = A$ et $\lim b_n = B$ (toutes deux finies) :

• $\lim(a_n + b_n) = A + B$
• $\lim(a_n \cdot b_n) = A \cdot B$
• $\lim(a_n / b_n) = A/B$ (si $B \neq 0$)
• $\lim c \cdot a_n = c A$ ($c$ constante)

Suites qui NE convergent PAS

• Divergent vers $\pm \infty$ : $a_n = n$, $a_n = 2^n$.
• Oscillent : $a_n = (-1)^n$ — alterne 1 et $-1$, ne tend vers rien.