Leçon 21 — Plan cartésien : distance, point milieu

Géométrie analytique dans ℝ²

Distance

Pour $P = (x_1, y_1)$, $Q = (x_2, y_2)$ : $d(P, Q) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Point milieu

$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$

Division d'un segment dans le rapport $k$

Pour diviser $\overline{PQ}$ dans le rapport $PR/RQ = k$ : $R = \left(\frac{x_1 + k x_2}{1 + k}, \frac{y_1 + k y_2}{1 + k}\right)$

Calcul d'aires

Aire du triangle de sommets $A = (x_1, y_1)$, $B = (x_2, y_2)$, $C = (x_3, y_3)$ : $\text{Aire} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$

Équivalent à $\frac{1}{2} |\det M|$ où $M$ est la matrice des vecteurs $\vec{AB}, \vec{AC}$.