v1 · padrão canônico

Leçon 24 — Équation du cercle

Forme réduite (x-a)² + (y-b)² = r². Forme générale. Position relative entre droite et cercle. Tangentes.

Used in: 1.º ano EM (15 anos) · Equiv. Math II japonês · Equiv. Klasse 10/11 alemã

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Équations et propriétés

Forme réduite

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

Forme générale

En développant : $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ , avec $D = -2a$ , $E = -2b$ , $F = a^2 + b^2 - r^2$ .

Centre récupéré : $(a, b) = (-D/2, -E/2)$ . Rayon : $r = \sqrt{D^2/4 + E^2/4 - F}$ (valide s'il est positif ; sinon, ce n'est pas un cercle réel).

Droite et cercle

Une droite $r$ peut :

Ne pas couper le cercle : $d(\text{centre}, r) > r$ .
Être tangente ( $d = r$ ) : exactement 1 point.
Être sécante ( $d < r$ ) : 2 points d'intersection.

Propriété tangente-rayon

La tangente en $P$ est perpendiculaire au rayon $\overline{CP}$ .

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 2Modeling 5Challenge 2Proof 1

Ex. 24.1Application
Équation du cercle de centre $(0,0)$ et rayon $5$ .
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Ex. 24.2Application
Équation de centre $(2, 3)$ et rayon $4$ .
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Ex. 24.3Application
Centre $(-1, 5)$ rayon $\sqrt{10}$ .
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Ex. 24.4Application
De l'équation $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 16$ , identifie le centre et le rayon.
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Ex. 24.5Application
De l'équation $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$ , identifie le centre et le rayon (complète le carré).
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Ex. 24.6Application
Vérifie si $(3, 4)$ appartient au cercle $x^2 + y^2 = 25$ .
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Ex. 24.7Application
Position relative de $(0,0)$ par rapport à $(x-2)^2 + (y-1)^2 = 4$ — interne ou externe ?
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Ex. 24.8ApplicationAnswer key
Équation du cercle de diamètre $\overline{(0,0)(6,8)}$ .
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Ex. 24.9Application
Trouve les points d'intersection de $y = x$ avec $x^2 + y^2 = 8$ .
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Ex. 24.10ApplicationAnswer key
Vérifie si $y = x + 5$ est tangente, sécante ou extérieure à $x^2 + y^2 = 16$ .
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Ex. 24.11Application
Distance de $(3, 4)$ au centre $(0,0)$ — est-il à l'intérieur ou à l'extérieur du cercle $r=5$ ?
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Ex. 24.12Application
Cercle passant par $(0,0), (4,0), (0,3)$ — détermine-le.
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Ex. 24.13ApplicationAnswer key
Cercle tangent à l'axe $x$ en $(3, 0)$ avec rayon $5$ — détermine l'équation.
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Ex. 24.14Application
Détermine les points de tangence de $y = x$ avec $x^2 + y^2 - 4x = 0$ .
Solve online
Ex. 24.15Application
L'équation $x^2 + y^2 + 4x - 2y + 10 = 0$ représente-t-elle un cercle ? (Non — rayon² = -5.)
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Ex. 24.16Modeling
Une antenne émet un signal sur un rayon de 30 km. Centre en $(0, 0)$ . Équation de la frontière de couverture.
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Ex. 24.17Modeling
Deux séismes : épicentre 1 en $(0, 0)$ , portée 100 km ; épicentre 2 en $(120, 0)$ , portée 150 km. Équations des deux frontières. Points avec tremblement des deux ?
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Ex. 24.18Modeling
GPS : 3 satellites en $(0,0), (10,0), (5,8)$ mesurent les distances $5, 8, 6$ . (Trilatération — système de 3 cercles.)
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Ex. 24.19ModelingAnswer key
Le rayon minimum de courbe d'une route pour la vitesse $v$ est $r = v^2/(\mu g)$ . Pour $v = 30$ m/s, $\mu = 0{,}7$ , $g = 9{,}81$ , calcule.
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Ex. 24.20Modeling
Piste d'athlétisme circulaire de circonférence 400 m. Rayon ?
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Ex. 24.21ApplicationAnswer key
Trouve la tangente à $x^2 + y^2 = 25$ au point $(3, 4)$ .
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Ex. 24.22Application
Tangente externe de $(7, 0)$ au cercle $x^2 + y^2 = 9$ .
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Ex. 24.23Application
Longueur de la tangente externe de $(5, 0)$ au cercle $x^2 + y^2 = 4$ .
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Ex. 24.24ApplicationAnswer key
Détermine le point de $x^2 + y^2 = 25$ le plus proche de $(7, 0)$ .
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Ex. 24.25ApplicationAnswer key
Centre du cercle passant par $(1, 0), (-1, 0), (0, 1)$ .
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Ex. 24.26Understanding
Montre que toute équation $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ avec $D^2 + E^2 - 4F > 0$ est un cercle.
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Ex. 24.27Understanding
Montre que deux cercles tangents extérieurement ont une distance entre centres $= r_1 + r_2$ .
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Ex. 24.28Challenge
Plus grand cercle inscrit dans le triangle de sommets $(0,0), (6,0), (0,8)$ .
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Ex. 24.29Challenge
Détermine les 4 droites tangentes communes aux cercles $x^2 + y^2 = 1$ et $(x-5)^2 + y^2 = 4$ .
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Ex. 24.30Proof
Démontre que la tangente est perpendiculaire au rayon au point de tangence.
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Sources de cette leçon

Algebra and Trigonometry — Jay Abramson et al. (OpenStax) · 2022, 2e éd · EN · CC-BY · §10.1 : coniques et cercles. Source primaire.
College Algebra — OpenStax · 2022, 2e éd · EN · CC-BY.
Geometria e Trigonometria — Wikilivres · vivant · PT-BR · CC-BY-SA.