Leçon 26 — Vecteurs dans le plan

Vecteurs dans ℝ²

Opérations

• Somme : $\vec u + \vec v = (u_1 + v_1, u_2 + v_2)$.
• Scalaire : $\alpha \vec v = (\alpha v_1, \alpha v_2)$.
• Soustraction : $\vec u - \vec v = (u_1 - v_1, u_2 - v_2)$.

Module (norme)

$|\vec v| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$

Vecteur unitaire

$\hat v = \vec v / |\vec v|$ a module 1. Versor.

Vecteurs canoniques

$\hat\imath = (1, 0)$, $\hat\jmath = (0, 1)$. Tout vecteur : $\vec v = v_1 \hat\imath + v_2 \hat\jmath$.

Propriétés

• Commutative : $\vec u + \vec v = \vec v + \vec u$.
• Associative : $(\vec u + \vec v) + \vec w = \vec u + (\vec v + \vec w)$.
• Identité : $\vec 0 = (0, 0)$, $\vec v + \vec 0 = \vec v$.
• Opposé : $\vec v + (-\vec v) = \vec 0$.
• Distributive : $\alpha(\vec u + \vec v) = \alpha \vec u + \alpha \vec v$.

Ces 8 propriétés caractérisent un espace vectoriel — vu formellement en algèbre linéaire (Trim 12).

Règle du parallélogramme

$\vec u + \vec v$ est la diagonale du parallélogramme formé par $\vec u$ et $\vec v$.