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v1 · padrão canônico

Leçon 27 — Produit scalaire

Produit scalaire (dot product). Angle entre vecteurs, projection, orthogonalité. Travail mécanique.

Used in: 1.º ano EM (15 anos) · Equiv. Math II japonês · Equiv. Klasse 11 alemã · Precalculus §11.8 (US)

u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2=∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta
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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Définition et propriétés

Propriétés

  • Commutative : u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗\vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u.
  • Distributive : u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = \vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w.
  • Linéaire en scalaire : (αu⃗)⋅v⃗=α(u⃗⋅v⃗)(\alpha \vec u) \cdot \vec v = \alpha (\vec u \cdot \vec v).
  • Positive : u⃗⋅u⃗=∣u⃗∣2≥0\vec u \cdot \vec u = |\vec u|^2 \geq 0, avec égalité   ⟺  u⃗=0⃗\iff \vec u = \vec 0.

Orthogonalité

u⃗⊥v⃗  ⟺  u⃗⋅v⃗=0\vec u \perp \vec v \iff \vec u \cdot \vec v = 0 (orthogonaux ⟺ produit scalaire nul).

Angle

cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∣u⃗∣∣v⃗∣\cos\theta = \frac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec u| |\vec v|}

Projection

Projection de u⃗\vec u dans la direction de v⃗\vec v : projv⃗u⃗=u⃗⋅v⃗∣v⃗∣2v⃗\text{proj}_{\vec v} \vec u = \frac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec v|^2} \vec v

Application centrale — travail mécanique

W=F⃗⋅d⃗W = \vec F \cdot \vec d — le travail d'une force est son produit scalaire avec le déplacement.

Exercise list

32 exercises · 8 with worked solution (25%)

Application 20Modeling 9Challenge 2Proof 1
  1. Ex. 27.1Application
    (3,4)⋅(1,2)(3, 4) \cdot (1, 2).
    Solve online
  2. Ex. 27.2ApplicationAnswer key
    (2,−1)⋅(3,5)(2, -1) \cdot (3, 5).
    Solve online
  3. Ex. 27.3Application
    (0,0)⋅v⃗(0, 0) \cdot \vec v pour tout v⃗\vec v.
    Solve online
  4. Ex. 27.4Application
    Vérifiez si (3,4)(3, 4) et (−4,3)(-4, 3) sont perpendiculaires.
    Solve online
  5. Ex. 27.5ApplicationAnswer key
    Pour quel kk a-t-on (2,k)⋅(3,1)=0(2, k) \cdot (3, 1) = 0 ?
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  6. Ex. 27.6Application
    Angle entre (1,0)(1, 0) et (1,1)(1, 1).
    Solve online
  7. Ex. 27.7Application
    Angle entre (3,4)(3, 4) et (4,3)(4, 3).
    Solve online
  8. Ex. 27.8Application
    Montrez ∣v⃗∣2=v⃗⋅v⃗|\vec v|^2 = \vec v \cdot \vec v pour v⃗=(2,3)\vec v = (2, 3).
    Solve online
  9. Ex. 27.9Application
    Projection de (4,3)(4, 3) sur (1,0)(1, 0).
    Solve online
  10. Ex. 27.10Application
    Projection de (4,3)(4, 3) sur (0,1)(0, 1).
    Solve online
  11. Ex. 27.11ApplicationAnswer key
    Projection de (3,5)(3, 5) sur (1,1)(1, 1).
    Solve online
  12. Ex. 27.12Application
    Décomposition de (3,5)(3, 5) en parallèle + perpendiculaire à (1,0)(1, 0).
    Solve online
  13. Ex. 27.13Application
    Pour u⃗=(1,2),v⃗=(3,−1)\vec u = (1, 2), \vec v = (3, -1) : angle entre eux ?
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  14. Ex. 27.14ApplicationAnswer key
    Vecteur unitaire orthogonal à (2,1)(2, 1).
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  15. Ex. 27.15Application
    Trouvez vecteur de module 5 perpendiculaire à (3,4)(3, 4).
    Solve online
  16. Ex. 27.16ApplicationAnswer key
    Cosinus de l'angle entre (1,0)(1, 0) et (0,1)(0, 1).
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  17. Ex. 27.17Application
    u⃗⋅u⃗\vec u \cdot \vec u est toujours non négatif. Démontrez.
    Solve online
  18. Ex. 27.18Application
    Pour u⃗=(3,0),v⃗=(0,4)\vec u = (3, 0), \vec v = (0, 4) : u⃗⋅v⃗=?\vec u \cdot \vec v = ?.
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  19. Ex. 27.19Application
    Pour u⃗=(2,3),v⃗=(−3,2)\vec u = (2, 3), \vec v = (-3, 2) : orthogonaux ? Angle ?
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  20. Ex. 27.20Application
    Pour quel θ\theta entre vecteurs non nuls a-t-on u⃗⋅v⃗<0\vec u \cdot \vec v < 0 ?
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  21. Ex. 27.21Modeling
    Travail de force F⃗=(10,5)\vec F = (10, 5) N sur déplacement d⃗=(3,4)\vec d = (3, 4) m : W=F⃗⋅d⃗W = \vec F \cdot \vec d.
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  22. Ex. 27.22Modeling
    Force F⃗=(5,0)\vec F = (5, 0) N tire boîte par d⃗=(3,4)\vec d = (3, 4) m. Travail utile = projection de F⃗\vec F dans la direction de d⃗\vec d fois ∣d⃗∣|\vec d|.
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  23. Ex. 27.23Modeling
    Sur rampe, force gravitationnelle g⃗=(0,−mg)\vec g = (0, -mg) projetée dans la direction de la rampe (cos⁡θ,−sin⁡θ)(\cos\theta, -\sin\theta). Composante parallèle au plan = mgsin⁡θmg \sin\theta.
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  24. Ex. 27.24Modeling
    En ML, similarité cosinus entre deux embeddings : cos⁡θ=u⃗⋅v⃗/(∣u⃗∣∣v⃗∣)\cos\theta = \vec u \cdot \vec v / (|\vec u||\vec v|). Pour (0.3,0.5)(0.3, 0.5) et (0.6,0.4)(0.6, 0.4), calculez.
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  25. Ex. 27.25Modeling
    En recommandation, deux utilisateurs ont des vecteurs de notes (5,4,3,5,2)(5,4,3,5,2) et (4,5,3,4,3)(4,5,3,4,3). Cosinus ?
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  26. Ex. 27.26Modeling
    En filtre numérique, corrélation entre signal (1,2,1,0)(1, 2, 1, 0) et modèle (1,1,0,0)(1, 1, 0, 0) via produit scalaire.
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  27. Ex. 27.27Modeling
    Travail non trivial : force perpendiculaire au mouvement fait travail nul (θ=90°\theta = 90°, cos⁡=0\cos = 0).
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  28. Ex. 27.28ModelingAnswer key
    Loi de Lambert (éclairage) : intensité I=I0n⃗⋅ℓ^I = I_0 \vec n \cdot \hat\ell — produit scalaire normale-direction de la lumière.
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  29. Ex. 27.29Modeling
    En GPS, projection d'erreur radiale en direction tangentielle via produit scalaire.
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  30. Ex. 27.30ChallengeAnswer key
    Démontrez l'inégalité de Cauchy-Schwarz ∣u⃗⋅v⃗∣≤∣u⃗∣∣v⃗∣|\vec u \cdot \vec v| \leq |\vec u||\vec v|. (Utilisez ∣u⃗+tv⃗∣2≥0|\vec u + t\vec v|^2 \geq 0 pour tout tt.)
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  31. Ex. 27.31Proof
    Démontrez la loi des cosinus vectorielle : ∣u⃗−v⃗∣2=∣u⃗∣2+∣v⃗∣2−2u⃗⋅v⃗|\vec u - \vec v|^2 = |\vec u|^2 + |\vec v|^2 - 2 \vec u \cdot \vec v.
    Solve online
  32. Ex. 27.32ChallengeAnswer key
    Montrez que u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2=∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡θ\vec u \cdot \vec v = u_1 v_1 + u_2 v_2 = |\vec u||\vec v|\cos\theta en utilisant la loi des cosinus.
    Solve online

Sources de cette leçon

Updated on 2026-04-29 · Author(s): Clube da Matemática

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