Leçon 29 — Systèmes linéaires 2x2 et 3x3

Méthodes et théorie

Méthodes de résolution

1. Substitution : isoler une variable et substituer dans l'autre.
2. Addition (élimination) : combiner les équations pour éliminer une variable.
3. Cramer : rapport de déterminants.
4. Échelonnement (Gauss) : trianguler la matrice.

Cramer 2x2

Pour $\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$ avec $D = a_1 b_2 - a_2 b_1 \neq 0$ :

$x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{D}, \quad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{D}$

Cramer 3x3

Déterminant 3x3 (Sarrus) : $\det A = \sum$ produits des diagonales principales $-$ produits des diagonales secondaires.

Classification par déterminant

• $D \neq 0$ : solution unique.
• $D = 0$ + système consistant : infinité de solutions (sous-espace affine).
• $D = 0$ + système incohérent : sans solution.