Leçon 32 — Opérations sur les matrices

Opérations

Somme et différence

Pour des matrices de même dimension : $(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$

Multiplication par un scalaire

$(\alpha A)_{ij} = \alpha \cdot a_{ij}$

Produit matriciel

Défini uniquement quand le nombre de colonnes de $A$ = nombre de lignes de $B$ : $A_{m \times n} \cdot B_{n \times p} = (AB)_{m \times p}$

$\boxed{(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}}$

Propriétés

• Associative : $(AB)C = A(BC)$.
• Distributive : $A(B + C) = AB + AC$.
• NON commutative : en général $AB \neq BA$.
• Identité : $AI = IA = A$.
• Nulle : $AO = OA = O$.

Pourquoi le produit matriciel est « étrange »

Parce qu'il correspond à la composition de transformations linéaires : appliquer d'abord $B$ puis $A$ revient à appliquer $AB$. L'ordre compte car la composition compte.