Leçon 33 — Matrice transposée, identité, inverse

Transposée et inverse

Transposée

$(A^T)_{ij} = a_{ji}$. On échange lignes et colonnes. Propriétés :

• $(A^T)^T = A$
• $(A + B)^T = A^T + B^T$
• $(\alpha A)^T = \alpha A^T$
• $(AB)^T = B^T A^T$ (inverse l'ordre !)

Matrice symétrique : $A^T = A$.

Identité

$I_n$ : matrice carrée $n \times n$ avec des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs. Pour tout $A_{n \times n}$ : $AI = IA = A$

Inverse

$A_{n \times n}$ est inversible s'il existe $A^{-1}$ tel que $AA^{-1} = A^{-1}A = I$. Équivalents :

1. $A$ est inversible.
2. $\det A \neq 0$.
3. $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ n'a que $\mathbf{x} = \mathbf{0}$.
4. Les colonnes de $A$ sont linéairement indépendantes.

Inverse 2x2

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \quad A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

(Valide si $ad - bc \neq 0$.)

Propriétés de l'inverse

• $(A^{-1})^{-1} = A$
• $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ (inverse l'ordre !)
• $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$
• $(\alpha A)^{-1} = (1/\alpha) A^{-1}$