Leçon 34 — Déterminants 2x2 et 3x3

Calcul et propriétés

2x2

$\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$

3x3 (Sarrus)

$\det \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$

(Règle des « 3 produits descendants − 3 produits ascendants ».)

Propriétés

1. $\det(I) = 1$.
2. $\det(A^T) = \det(A)$.
3. $\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)$.
4. $\det(\alpha A) = \alpha^n \det(A)$ pour $A_{n \times n}$.
5. $\det(A^{-1}) = 1/\det(A)$.
6. Échanger 2 lignes/colonnes inverse le signe.
7. Si $A$ a 2 lignes/colonnes égales, $\det A = 0$.
8. Ajouter un multiple d'une ligne à une autre ne modifie pas le déterminant.

Interprétation géométrique

• $|\det A|$ = volume du parallélépipède engendré par les colonnes de $A$.
• $\det A > 0$ : orientation préservée. $\det A < 0$ : orientation inversée.
• $\det A = 0$ : colonnes linéairement dépendantes (parallélépipède « aplati »).

Critère d'inversibilité

$A$ inversible $\iff \det A \neq 0$.