Leçon 35 — Résolution de systèmes via matrices

Méthodes de résolution

Forme matricielle

$\begin{cases} a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 \\ a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3 \end{cases}$ ⟺ $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ avec $A_{3 \times 3}$, $\mathbf{x}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^3$.

Méthode 1 — Élimination de Gauss

Opérations élémentaires (ne changent pas la solution) :

1. Échanger deux lignes.
2. Multiplier une ligne par un scalaire non nul.
3. Ajouter un multiple d'une ligne à une autre.

Objectif : trianguler la matrice augmentée $[A | \mathbf{b}]$ jusqu'à la forme échelonnée. Puis substitution arrière.

Méthode 2 — Cramer

Pour $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ avec $\det A \neq 0$ : $x_i = \frac{\det A_i}{\det A}$

où $A_i$ est $A$ avec la $i$-ème colonne remplacée par $\mathbf{b}$.

Méthode 3 — Inverse

$\mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b}$. On peut calculer $A^{-1}$ via $[A | I] \to [I | A^{-1}]$ par élimination.

Quand utiliser chacune

• Cramer : élégant en théorie, mais $O(n^4)$ — utilisé seulement pour $n \leq 3$.
• Gauss : $O(n^3)$, standard en pratique.
• Inverse explicite : seulement s'il faut résoudre plusieurs systèmes avec la même $A$.

Classification

• Déterminé : solution unique ($\det A \neq 0$).
• Indéterminé : infinité de solutions ($\det A = 0$ + cohérent).
• Impossible : pas de solution ($\det A = 0$ + incohérent).