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Leçon 37 — Permutations et arrangements

Permutation totale Pn = n!. Arrangement A(n,p). Quand l'ordre importe.

Used in: 1.ère année EM (15 ans) · Équiv. Math A japonais · Équiv. Klasse 10 allemand

P_n = n!, \qquad A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Définitions et démonstrations

Factorielle

"Nous définissons la factorielle de $n$ comme $n! = n(n-1)(n-2) \cdots 2 \cdot 1$ pour $n \geq 1$ , et $0! = 1$ ." — OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, §11.7

Croissance de la factorielle :

Croissance surexponentielle de n!. Approximation de Stirling : n! ≈ √(2πn)·(n/e)ⁿ.

Permutation avec répétition

Pour $n$ objets avec $n_1$ du type 1, $n_2$ du type 2, ..., $n_k$ du type $k$ (avec $n_1 + n_2 + \cdots + n_k = n$ ) :

P_n^{n_1, n_2, \ldots, n_k} = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdots n_k!}

what this means · On divise par n_i! car échanger des éléments égaux du type i entre eux ne génère pas une nouvelle configuration.

Anagrammes de "ARARA" (3 A, 2 R) : $5!/(3! \cdot 2!) = 10$ .

"Le nombre de permutations distinguables de $n$ objets où il existe $n_1$ objets identiques du type 1, $n_2$ du type 2, ..., et $n_r$ du type $r$ , est $\frac{n!}{n_1! n_2! \cdots n_r!}$ ." — OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, §11.7

$n$ objets en cercle : $(n-1)!$ . Raison : la "première position" est arbitraire — tourner tous ensemble ne génère pas une nouvelle configuration. Formellement : fixez un objet à une position ; les autres $n-1$ permutent librement.

Exemples résolus

Example— 1· Calcul direct d'arrangement

Problème : Calculez $A_8^3$ — de combien de façons choisir et ordonner 3 objets parmi 8 disponibles.

Stratégie : Appliquer la formule $A_n^p = n!/(n-p)!$ , ou de manière équivalente $A_n^p = n(n-1)\cdots(n-p+1)$ ( $p$ facteurs descendants à partir de $n$ ).

Résolution :

Forme factorielle : $A_8^3 = \dfrac{8!}{(8-3)!} = \dfrac{8!}{5!} = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5!} = 8 \cdot 7 \cdot 6$ .
Multiplication : $8 \cdot 7 = 56$ et $56 \cdot 6 = 336$ .
Résultat : $A_8^3 = 336$ .

Vérification : Par comptage direct via PFC (1ère position : 8 options ; 2e : 7 ; 3e : 6) on obtient $8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$ . Cohérent.

Source. OpenStax Algebra and Trigonometry 2e §11.7 — licence CC-BY 4.0.

Example— 2· Anagrammes avec lettres répétées

Problème : Combien d'anagrammes distincts peut-on former avec le mot "BANANA" ?

Stratégie : Le mot a 6 lettres avec des répétitions : 3 lettres A, 2 lettres N et 1 lettre B. Appliquer la formule de permutation avec répétition.

Résolution :

Identifier les multiplicités : $n = 6$ , $n_A = 3$ , $n_N = 2$ , $n_B = 1$ .
Appliquer la formule : $P_6^{3,2,1} = \dfrac{6!}{3! \cdot 2! \cdot 1!}$ .
Calculer : $6! = 720$ , $3! = 6$ , $2! = 2$ , $1! = 1$ . Donc $720/(6 \cdot 2 \cdot 1) = 720/12 = 60$ .

Vérification : Sans diviser par les répétitions, nous aurions $6! = 720$ permutations, mais les échanges entre les 3 A égaux ne génèrent pas un nouvel anagramme ( $3! = 6$ permutations identiques), et les échanges entre les 2 N génèrent $2! = 2$ permutations identiques. $720/(6 \cdot 2) = 60$ .

Source. Wikilivres — Mathématiques élémentaires / Combinatoire — licence CC-BY-SA.

Example— 3· Permutation circulaire avec restriction

Problème : 8 personnes vont s'asseoir autour d'une table ronde. Deux d'entre elles, Ana et Bruno, veulent rester ensemble. Combien de configurations distinctes ?

Stratégie : Traiter Ana et Bruno comme un seul bloc. Il reste alors 7 "objets" à distribuer autour d'une table ronde : $(7-1)! = 6!$ . À l'intérieur du bloc, Ana et Bruno peuvent échanger de place : $2!$ façons.

Résolution :

Bloc "AB" + 6 autres personnes = 7 objets autour d'une table ronde : $(7-1)! = 6! = 720$ .
Permutation interne du bloc : $2! = 2$ (AB ou BA).
Total : $720 \cdot 2 = 1\,440$ .

Vérification : Sans la restriction, 8 personnes autour d'une table ronde donnent $7! = 5\,040$ configurations. Avec la contrainte que Ana reste à côté de Bruno, la fraction est $2/7$ . $5\,040 \cdot 2/7 = 1\,440$ . Cohérent.

Source. Wikilivres — Mathématiques élémentaires / Combinatoire — licence CC-BY-SA.

Example— 4· Résolution d'une équation factorielle

Problème : Déterminez la valeur de $n \in \mathbb{N}$ qui satisfait $\dfrac{(n+2)!}{n!} = 56$ .

Stratégie : Simplifier le quotient factoriel en utilisant $(n+2)! = (n+2)(n+1) \cdot n!$ , réduisant à une équation polynomiale en $n$ .

Résolution :

Simplifier : $\dfrac{(n+2)!}{n!} = \dfrac{(n+2)(n+1) \cdot n!}{n!} = (n+2)(n+1)$ .
Équation : $(n+2)(n+1) = 56$ , ou $n^2 + 3n + 2 = 56 \Rightarrow n^2 + 3n - 54 = 0$ .
Formule de Bhaskara : $n = \dfrac{-3 \pm \sqrt{9 + 216}}{2} = \dfrac{-3 \pm 15}{2}$ . Solutions : $n = 6$ ou $n = -9$ .
Puisque $n \in \mathbb{N}$ , on écarte $n = -9$ . Réponse : $n = 6$ .

Vérification : $(6+2)!/6! = 8!/6! = 8 \cdot 7 = 56$ . Correct.

Source. Stitz–Zeager Precalculus §9.5 — licence CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Mots de passe avec restriction positionnelle

Problème : Un mot de passe a 5 caractères, tous différents, choisis dans l'alphabet $\{A, B, C, \ldots, Z\}$ (26 lettres). Par exigence, le premier caractère doit être une voyelle ( $A, E, I, O, U$ ). Combien de mots de passe distincts existent ?

Stratégie : Par PFC : compter la première position (voyelle) et ensuite l'arrangement des 4 positions restantes parmi les 25 lettres qui restent.

Résolution :

Premier caractère : 5 options (voyelles).
4 positions suivantes : arrangement $A_{25}^4 = 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22$ , car sans répétition.
Calcul : $25 \cdot 24 = 600$ , $600 \cdot 23 = 13\,800$ , $13\,800 \cdot 22 = 303\,600$ .
Total : $5 \cdot 303\,600 = 1\,518\,000$ .

Vérification : Sans restriction, $A_{26}^5 = 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 = 7\,893\,600$ . La fraction de mots de passe commençant par une voyelle est $5/26$ . $7\,893\,600 \cdot 5/26 = 1\,518\,000$ . Cohérent.

Source. OpenStax Algebra and Trigonometry 2e §11.7 — licence CC-BY 4.0.

Exercise list

46 exercises · 11 with worked solution (25%)

Application 32Understanding 4Modeling 8Challenge 1Proof 1

Ex. 37.1Application
Calculez $5!$ .
Solve online
Ex. 37.2Application
Calculez $8!/5!$ .
Solve online
Ex. 37.3ApplicationAnswer key
Combien d'anagrammes de "MAR" existent ?
Solve online
Ex. 37.4Application
Combien d'anagrammes de "CASA" existent ?
Solve online
Ex. 37.5Application
Combien d'anagrammes de "MISSISSIPPI" existent ?
Solve online
Ex. 37.6ApplicationAnswer key
Calculez $A_5^3$ .
Solve online
Ex. 37.7Application
Calculez $A_8^2$ .
Solve online
Ex. 37.8ApplicationAnswer key
Combien de files de 4 personnes peuvent être faites avec 7 candidats ?
Solve online
Ex. 37.9Application
Récompense 1er, 2e, 3e parmi 12 athlètes. Combien de podiums distincts sont possibles ?
Solve online
Ex. 37.10Application
Combien de nombres à 3 chiffres distincts peuvent être formés avec $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ ?
Solve online
Ex. 37.11ApplicationAnswer key
Vérifiez l'égalité $7!/(7-3)! = 7 \cdot 6 \cdot 5$ .
Solve online
Ex. 37.12Application
Résolvez $n! = 720$ .
Solve online
Ex. 37.13Application
Résolvez $A_n^2 = 30$ pour $n \in \mathbb{N}$ .
Solve online
Ex. 37.14ApplicationAnswer key
Combien d'anagrammes de "CIDADE" existent ?
Solve online
Ex. 37.15Application
Combien d'anagrammes de "BANANA" existent ?
Solve online
Ex. 37.16ApplicationAnswer key
Combien de mots de passe à 5 chiffres différents peuvent être formés avec les chiffres $\{0, 1, \ldots, 9\}$ ?
Solve online
Ex. 37.17Application
De combien de façons 6 livres distincts peuvent-ils être disposés sur 3 étagères (2 sur chacune), en considérant l'ordre dans chaque étagère ?
Solve online
Ex. 37.18Application
8 personnes à une table ronde. Combien de configurations distinctes ?
Solve online
Ex. 37.19Understanding
Justifiez pourquoi la permutation circulaire de $n$ personnes est $(n-1)!$ et non $n!$ .
Solve online
Ex. 37.20Application
Combien d'anagrammes de "AMOR" commencent par la lettre A ?
Solve online
Ex. 37.21Application
Combien d'anagrammes de "MATEMATICA" existent ?
Solve online
Ex. 37.22Application
Combien d'anagrammes de "PROVA" commencent par une consonne ?
Solve online
Ex. 37.23Application
Anagrammes de "AMOR" avec A et O ensemble dans cet ordre (bloc "AO" indivisible).
Solve online
Ex. 37.24ApplicationAnswer key
10 élèves vont s'asseoir à 10 chaises enfilées. 2 amis veulent rester ensemble. Combien de configurations ?
Solve online
Ex. 37.25Application
8 personnes à une table ronde ; 2 veulent rester ensemble. Combien de configurations ?
Solve online
Ex. 37.26Application
Anagrammes de "LIVRO" qui commencent par une voyelle.
Solve online
Ex. 37.27ApplicationAnswer key
Combien de nombres à 4 chiffres distincts peuvent être formés avec les chiffres $\{1, \ldots, 9\}$ ?
Solve online
Ex. 37.28Application
Combien de nombres pairs à 4 chiffres distincts peuvent être formés avec les chiffres $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ ?
Solve online
Ex. 37.29Application
Résolvez $n!/(n-3)! = 60$ pour $n \in \mathbb{N}$ .
Solve online
Ex. 37.30Application
Résolvez $(n+1)!/n! = 5$ .
Solve online
Ex. 37.31Application
Dans une course avec 10 athlètes, combien de podiums distincts (1er, 2e, 3e) peuvent se produire ?
Solve online
Ex. 37.32Application
Combien d'anagrammes de "FATORIAL" existent (toutes les lettres distinctes) ?
Solve online
Ex. 37.33Application
Cinq cartes choisies et ordonnées en file parmi 7 cartes distinctes — combien de configurations ?
Solve online
Ex. 37.34Understanding
Vérifiez la récurrence $A_n^p = n \cdot A_{n-1}^{p-1}$ pour $n = 6, p = 3$ .
Solve online
Ex. 37.35Modeling
Équipe de football : 11 joueurs occupent 11 postes distincts sur le terrain. Combien de compositions avec positionnement existent ?
Solve online
Ex. 37.36Modeling
Mots de passe avec 8 caractères alphabétiques minuscules sans répétition. Combien de mots de passe distincts existent ?
Solve online
Ex. 37.37ModelingAnswer key
En logistique, quel est le nombre d'ordres possibles pour livrer 10 colis distincts à 10 destinations ?
Solve online
Ex. 37.38Modeling
En jeu de cartes, combien de configurations distinctes d'un jeu de 52 cartes existent après un mélange ?
Solve online
Ex. 37.39Modeling
En ADN, séquence de 8 bases (A, T, C, G) où chaque base apparaît exactement 2 fois. Combien de séquences distinctes existent ?
Solve online
Ex. 37.40Modeling
En génétique des populations, combien d'ordres possibles existent pour ordonner 4 allèles distincts dans une chaîne ?
Solve online
Ex. 37.41Modeling
En apprentissage automatique, l'importance des features par permutation mélange une feature sur $N$ échantillons et mesure la chute en prédiction. Combien de permutations possibles existent de $N$ échantillons ?
Solve online
Ex. 37.42Modeling
En infographie, combien d'ordres de rendu existent pour 100 polygones ?
Solve online
Ex. 37.43Understanding
Démontrez que $A_n^p = n \cdot A_{n-1}^{p-1}$ .
Solve online
Ex. 37.44UnderstandingAnswer key
Montrez que $P_n = A_n^n$ .
Solve online
Ex. 37.45Challenge
Combien d'anagrammes de "AMOR" commencent par une consonne et se terminent par une voyelle ?
Solve online
Ex. 37.46ProofAnswer key
Démontrez que $A_n^p = n!/(n-p)!$ en utilisant le Principe Fondamental du Comptage.
Solve online

Sources

Seulement les livres qui alimentent directement le texte et les exercices.

OpenStax Algebra and Trigonometry 2e — Jay Abramson et al. · 2022, 2e éd · EN · CC-BY 4.0 · §11.7 Principes de comptage. Source primaire.
Wikilivres — Mathématiques élémentaires / Combinatoire — collaboratif · FR · CC-BY-SA · permutations, arrangements, anagrammes. Source native en français.
Stitz–Zeager Precalculus — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §9.5 Comptage.
Book of Proof — Richard Hammack · 2018, 3e éd · EN · CC-BY-ND · cap. 3.

Leçon 37 — Permutations et arrangements

Définitions et démonstrations

Factorielle

Permutation simple

Permutation avec répétition

Arrangement simple

Permutation circulaire

Exemples résolus

Exercise list

Sources