Leçon 38 — Combinaisons et binôme de Newton

Calculez $\binom{5}{2}$.

Calculez $\binom{8}{3}$.

Calculez $\binom{10}{5}$.

Quelle est la valeur de $\binom{n}{0}$ pour tout $n \geq 0$ ? Justifiez combinatoirement.

Quelle est la valeur de $\binom{n}{1}$ pour tout $n \geq 1$ ? Justifiez combinatoirement.

Calculez $\binom{20}{18}$ en utilisant la symétrie $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$.

Vérifiez numériquement l'identité de Pascal : $\binom{6}{2} + \binom{6}{3} = \binom{7}{3}$. Calculez les trois binomiales.

De combien de façons distinctes peut-on choisir une commission de 4 membres dans un groupe de 10 personnes ?

La Mega-Sena tire 6 chiffres sur 60 disponibles. Combien de paris simples distincts existent ?

Combien de groupes de 4 peuvent être formés avec 15 étudiants ?

Combien de sous-ensembles distincts (incluant vide et l'ensemble total) a l'ensemble $\{a, b, c, d, e\}$ ?

Combien de mains distinctes de 5 cartes peuvent être tirées d'un jeu de 52 cartes ?

Quel est le coefficient de $x^3$ dans l'expansion de $(1 + x)^5$ par le binôme de Newton ?

Quel est le coefficient de $x^4 y^2$ dans l'expansion de $(x + y)^6$ ?

Développez $(x + 1)^4$ par le binôme de Newton. Écrivez tous les termes.

Développez $(2x - 3)^3$ par le binôme de Newton.

Quel est le terme médian (4e terme, $T_4$) de $(a + b)^6$ ?

Quel est le coefficient de $x^7$ dans l'expansion de $(2x + 3)^{10}$ ?

Trouvez la valeur de $p$ telle que $\binom{20}{p} = \binom{20}{p-2}$.

Quel est le coefficient de $x^{10}$ dans l'expansion de $(1 + x)^{20}$ ?

Vérifiez explicitement pour $n = 5$ que $\displaystyle\sum_{r=0}^{5} \binom{5}{r} = 2^5$. Énumérez tous les termes.

Combien de triangles distincts peuvent être formés en reliant 3 sommets d'un octogone régulier ?

Combien de diagonales a un polygone de 10 côtés ?

Calculez $\binom{9}{3}$.

Écrivez toutes les valeurs de la 7ème ligne (indice 6) du triangle de Pascal.

Quel est le coefficient de $x^5$ dans l'expansion de $(1 + x)^{10}$ ?

Quelle est la différence conceptuelle entre combinaison $\binom{n}{r}$ et arrangement $P(n, r)$ ?

D'un groupe de 10 hommes et 8 femmes, combien de commissions de 5 personnes peuvent être formées avec exactement 3 hommes et 2 femmes ?

Combien de solutions entières non négatives a l'équation $x + y + z = 10$ ?

Dans un jeu de 52 cartes, combien de mains de 5 cartes ont exactement 2 as ?

Combien de chemins distincts existent de $(0, 0)$ à $(5, 3)$ en utilisant uniquement des pas unitaires à droite ou vers le haut ?

Quelle est la probabilité de gagner la Mega-Sena avec un seul billet (6 chiffres sur 60) ?

Dans une étude de marché, un analyste doit choisir 5 produits à analyser parmi un portefeuille de 20. De combien de façons peut-il faire cette sélection ?

Une pièce de monnaie honnête est lancée 10 fois. Calculez la probabilité d'obtenir exactement 5 faces en utilisant la distribution binomiale $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$.

De combien de façons 8 bonbons identiques peuvent être distribués entre 3 enfants (chaque enfant peut recevoir zéro ou plus de bonbons) ?

Dans une classe de 30 élèves, combien d'équipes de 5 peuvent être formées ?

Pourquoi $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ ? Quelle est l'interprétation combinatoire correcte ?

Quelle est la façon la plus élégante de démontrer que $\displaystyle\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} = 2^n$ ?

Quel est le coefficient du terme indépendant de $x$ dans l'expansion de $\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^{10}$ ?

Démontrez le théorème du binôme par induction sur $n$. Identifiez explicitement où l'identité de Pascal est utilisée dans l'étape inductive.