Leçon 39 — Probabilité classique

Un dé honnête à 6 faces est lancé. Quelle est la probabilité d'obtenir un multiple de 3 ?

Trois pièces honnêtes sont lancées simultanément. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 2 faces ?

Deux dés honnêtes sont lancés. Quelle est la probabilité que la somme soit égale à 7 ?

Deux dés sont lancés. Quelle est la probabilité que la somme soit supérieure à 9 ?

Une carte est tirée au hasard d'un jeu de 52 cartes. Quelle est la probabilité qu'elle soit un as ?

Une carte est tirée au hasard. Quelle est la probabilité qu'elle soit un roi ou un cœur ?

Deux cartes sont tirées sans remplacement d'un jeu de 52. Quelle est la probabilité qu'elles soient toutes deux des as ?

Deux dés honnêtes sont lancés. Quelle est la probabilité qu'au moins un affiche le nombre 6 ?

Quel ensemble de valeurs est cohérent avec $P(A \cup B) = 0{,}7$ ?

$P(A) = 0{,}6$ et $P(B \mid A) = 0{,}4$. Calculez $P(A \cap B)$.

$P(A) = 0{,}3$. Quel est $P(A^c)$ ?

Trois pièces sont lancées. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une face ?

Deux dés sont lancés. Quelle est la probabilité que la somme soit exactement 10 ?

Une carte est tirée au hasard. Quelle est la probabilité qu'elle soit du cœur ?

Deux dés sont lancés. Quelle est la probabilité que tous deux affichent un nombre pair ?

Trois pièces indépendantes sont lancées. Quelle est la probabilité de ne pas obtenir aucune pile ?

Deux dés sont lancés. Sachant que le premier a montré 4, quelle est la probabilité que la somme soit 7 ?

$P(A) = 0{,}4$, $P(B) = 0{,}5$, $P(A \cap B) = 0{,}2$. Calculez $P(A \mid B)$ et déterminez si $A$ et $B$ sont indépendants.

Une urne a 5 boules rouges et 3 bleues. Deux sont tirées sans remplacement. Quel est $P(\text{toutes deux bleues})$ ?

$A$ et $B$ sont indépendants, $P(A) = 0{,}5$ et $P(B) = 0{,}3$. Calculez $P(A \cap B)$.

Les événements mutuellement exclusifs (avec des probabilités positives) peuvent-ils être indépendants ?

Deux dés sont lancés. $A$ = « le premier est pair », $B$ = « le deuxième affiche 3 ». Sachant que $A$ et $B$ sont indépendants, calculez $P(B^c)$.

$P(A) = 0{,}4$, $P(B \mid A) = 0{,}8$. Calculez $P(A \cap B)$.

Partition $\{A_1, A_2, A_3\}$ avec $P(A_1) = 0{,}3$, $P(A_2) = 0{,}5$, $P(A_3) = 0{,}2$ et $P(B \mid A_1) = 0{,}9$, $P(B \mid A_2) = 0{,}5$, $P(B \mid A_3) = 0{,}1$. Calculez $P(B)$ par la probabilité totale.

$P(A) = 0{,}4$, $P(B \mid A) = 0{,}8$, $P(B \mid A^c) = 0{,}3$. Calculez $P(B)$ par la probabilité totale.

En utilisant les mêmes données de l'exercice 39.25, calculez $P(A \mid B)$ par le théorème de Bayes.

Laquelle des affirmations suivantes sur l'indépendance d'événements est correcte ?

Urne avec 5 rouges et 3 bleues, sans remplacement. Sachant que le premier tirage était rouge, quel est $P(\text{2ème est bleue})$ ?

Une maladie a une prévalence $P(D) = 1 \%$. Un test a une sensibilité de $90 \%$ et un taux de faux positif de $10 \%$. Une personne a testé positif. Quel est $P(D \mid +)$ ?

Un système électronique a 3 composants en série, chacun avec une fiabilité de $90 \%$ et des défaillances indépendantes. Quel est $P(\text{système fonctionne})$ ?

Dans une ligne de production, le taux de défaut est $1 \%$ par pièce et les pièces sont produites de manière indépendante. Dans un lot de 3 pièces, quel est $P(\text{au moins 1 défaut})$ ?

Dans une classe, $60 \%$ sont des filles et $40 \%$ des garçons. Taux de réussite : $80 \%$ chez les filles et $50 \%$ chez les garçons. Un élève réussi est choisi au hasard. Quel est $P(\text{c'est une fille})$ ?

Dans le croisement mendélien Aa $\times$ Aa, la probabilité de phénotype récessif (génotype aa) est $1/4$. En 3 enfants indépendants, quel est $P(\text{exactement 1 récessif})$ ?

Un système a deux sous-systèmes en parallèle avec des fiabilités indépendantes $P_1 = 0{,}60$ et $P_2 = 0{,}45$. Le système fonctionne si au moins un sous-système fonctionne. Quel est $P(\text{système fonctionne})$ ?

Problème de Monty Hall : 3 portes, 1 a un prix. Vous en choisissez une. Le présentateur ouvre une des deux autres qui n'a pas de prix. Vous changez de porte. Quel est $P(\text{gagner en changeant})$ ?

Le « paradoxe de l'anniversaire » : avec 23 personnes dans une salle, quel est approximativement $P(\text{au moins 2 font leur anniversaire le même jour})$ ?

Quelle est la formule correcte de la probabilité de l'union de deux événements quelconques $A$ et $B$ ?

Laquelle des affirmations suivantes sur la probabilité conditionnelle et l'indépendance est correcte ?

Maladie avec prévalence $1 \%$, test avec sensibilité $90 \%$ et spécificité $95 \%$. Une personne teste positif. Quel est $P(\text{maladie} \mid \text{positif})$ ?

Démontrez $P(A^c) = 1 - P(A)$ à partir des axiomes de Kolmogorov. Identifiez chaque axiome utilisé.