Leçon 40 — Consolidation annuelle : atelier intégrateur Année 1

Quel est le domaine maximal de $f(x) = \log_2(x^2 - 9)$ ?

Calcule le taux de variation moyen de $f(x) = x^2 - 3x$ sur l'intervalle $[1, 4]$.

Soient $f(x) = x^2$ et $g(x) = 2x + 1$. Calcule $(f \circ g)(2)$ et $(g \circ f)(2)$.

Trouve la fonction inverse de $f(x) = \dfrac{x - 3}{2}$.

Résous l'équation exponentielle $4^x = 32$.

Une colonie de bactéries commence avec 100 unités et double toutes les 30 minutes. Combien de bactéries y aura-t-il après 3 heures ?

Un capital de 1.000 réals est investi à 10% par an (intérêts composés). Quel est le montant après 7 ans ?

Calcule $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{3n + 5}{n + 1}$.

Pour $f(x) = x^2 - 6x + 5$, détermine le sommet et les racines de la fonction.

Le taux de variation moyen de $f(x) = x^2$ est-il constant pour tous les intervalles $[a, b]$ ?

Quel est le domaine de $g(x) = \sqrt{x^2 + 3x - 4}$ ?

Quelle est l'inverse de $f(x) = 3^x$ et quel est le domaine de $f^{-1}$ ?

Calcule $\sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) + \cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$.

Résous $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ dans $[0, 2\pi)$.

Dans un triangle avec $a = 5$, $b = 7$ et $C = 60°$, calcule le côté $c$ par la loi des cosinus.

La hauteur de la marée (en mètres) est modélisée par $h(t) = 2 + 1{,}5\sin\!\left(\dfrac{\pi t}{6}\right)$. Quelles sont les hauteurs maximale et minimale ?

Dans une PA avec $a_1 = 3$ et raison $r = 5$, calcule $a_{20}$ et $S_{20}$.

Dans une PG avec $a_1 = 2$ et raison $q = 3$, calcule $S_8$.

Calcule la somme $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \cdots$

Calcule $1 + 2 + 3 + \cdots + 200$ par la formule de Gauss.

La période d'un pendule simple de longueur $L = 1$ m est donnée par $T = 2\pi\sqrt{L/g}$, avec $g = 9{,}8$ m/s². Calcule $T$.

Une substance radioactive a une demi-vie de 5 jours. En commençant avec 100 g, combien reste-t-il après 25 jours ?

Calcule la distance entre les points $(2, 3)$ et $(8, 11)$.

Détermine l'équation de la droite qui passe par les points $(0, 4)$ et $(2, 0)$.

Écris l'équation du cercle avec centre $(2, -1)$ et rayon $5$.

Calcule le produit scalaire des vecteurs $(3, 4)$ et $(1, 2)$, et l'angle entre eux.

Calcule le déterminant de $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$.

Résous le système $\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - 3y = -2 \end{cases}$ par la règle de Cramer.

Calcule $A^{-1}$ pour $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$.

Laquelle des identités matricielles suivantes est vraie pour les matrices compatibles $A$ et $B$ ?

Un avion vole à 600 km/h vers le nord. Il y a un vent de 80 km/h vers l'est. Quelle est la vitesse résultante et la direction effective ?

Identifie la conique $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ et détermine ses semi-axes et foyers.

Combien de points la droite $y = x - 1$ a-t-elle en commun avec le cercle $x^2 + y^2 = 25$ ? Justifie par le discriminant et trouve les points.

Classifie le système $\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 2x + 4y = 7 \end{cases}$ (possible/impossible ; solution unique/infinies).

Est-ce vrai que $(AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}$ pour les matrices carrées inversibles $A$ et $B$ ?

Pour quelles valeurs de $k$ la matrice $\begin{pmatrix} k & 1 \\ 4 & k \end{pmatrix}$ est-elle singulière (déterminant zéro) ?

Calcule $5!$

Calcule $\dbinom{8}{3}$.

Combien d'anagrammes (arrangements de toutes les lettres) a le mot "PROBLÈME", dont les 8 lettres sont toutes distinctes ?

Un restaurant offre 5 options d'entrée, 4 de plat principal et 3 de dessert. Combien de menus distincts de 3 articles (un de chaque) sont possibles ?

Au Mega-Sena, le joueur choisit 6 nombres parmi 60. Quelle est la probabilité de deviner les 6 nombres tirés ?

On lance une pièce honnête 3 fois. Quelle est la probabilité d'obtenir 3 faces ?

$X \sim \mathrm{Bin}(6,\ 0{,}5)$. Calcule $P(X = 3)$.

Maladie rare avec $P(D) = 0{,}001$. Test avec sensibilité $99\%$ et spécificité $95\%$. Étant donné que le test a donné positif, quelle est la probabilité d'avoir la maladie ?

Une urne a 4 boules rouges et 6 bleues. On tire une sans remplacement. Étant donné que la première a été rouge, quelle est la probabilité que la deuxième soit bleue ?

Les événements A et B sont indépendants si et seulement si $$. C'est vrai ?

Parmi 5 candidats, combien de commissions distinctes de 2 membres peuvent être formées (l'ordre n'importe pas) ?

$P(A) = 0{,}4$, $P(B) = 0{,}4$ et $P(A \cap B) = 0{,}1$. Calcule $P(A \cup B)$.

Résous $\sin x + \cos x = 1$ dans $[0, 2\pi)$.

Prouve l'identité de Pascal $\dbinom{n}{p} = \dbinom{n-1}{p-1} + \dbinom{n-1}{p}$ en utilisant un argument combinatoire (comptage par cas). Montre chaque étape de la partition.