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Leçon 41 — Limite formelle : définition ε-δ

La définition ε-δ de limite. Cauchy 1821, Weierstrass 1872. Le point où le calcul devient rigoureux.

Used in: 2e année Lycée (16-17 ans) · Equiv. Mathématiques II japonais · Equiv. Klasse 11 allemande (Analysis) · A-Level Further Maths — Limits

\forall\varepsilon>0,\;\exists\delta>0:\;0<|x-a|<\delta\;\Rightarrow\;|f(x)-L|<\varepsilon

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Définition rigoureuse

Définition ε-δ de limite

"On dit que la limite de $f(x)$ , quand $x$ s'approche de $a$ , égale $L$ , …si on peut rendre les valeurs de $f(x)$ arbitrairement proches de $L$ …en restreignant $x$ à être suffisamment proche de $a$ (des deux côtés de $a$ ) mais pas égal à $a$ ." — OpenStax Calculus Vol. 1 §2.2

Méthode ε-δ : comment construire la démonstration

Écrivez $|f(x) - L|$ et manipulez algébriquement jusqu'à ce qu'apparaisse un multiple de $|x - a|$ .
Restreignez $|x - a| < 1$ (ou une autre constante) pour contrôler les facteurs supplémentaires.
Choisissez $\delta = \min\bigl(1,\; \varepsilon / C\bigr)$ où $C$ est le coefficient obtenu.
Vérifiez que la chaîne $0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon$ se ferme.

Démonstration modèle : $\lim_{x \to 2}(3x + 1) = 7$

Brouillon : $|3x + 1 - 7| = |3x - 6| = 3|x - 2|$ . Pour que $3|x-2| < \varepsilon$ , il suffit que $|x-2| < \varepsilon/3$ .

Preuve formelle : Soit $\varepsilon > 0$ donné, prenez $\delta = \varepsilon/3$ . Si $0 < |x - 2| < \delta$ , alors $|f(x) - 7| = 3|x - 2| < 3 \cdot \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon. \quad \square$

Limites latérales

Limite à l'infini et infini comme limite

Definition· Quatre types de limite

Type	Définition
$\lim_{x \to a} f(x) = L$	$\forall\varepsilon>0,\,\exists\delta>0: 0<\\|x-a\\|<\delta \Rightarrow \\|f(x)-L\\|<\varepsilon$
$\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$	$\forall M>0,\,\exists\delta>0: 0<\\|x-a\\|<\delta \Rightarrow f(x)>M$
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$	$\forall\varepsilon>0,\,\exists N>0: x>N \Rightarrow \\|f(x)-L\\|<\varepsilon$
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$	$\forall M>0,\,\exists N>0: x>N \Rightarrow f(x)>M$

Propriétés algébriques des limites

Soient $\lim_{x \to a} f(x) = L$ et $\lim_{x \to a} g(x) = M$ . Alors :

\lim_{x\to a}[f(x)+g(x)]=L+M, \qquad \lim_{x\to a}[f(x)\cdot g(x)]=L\cdot M

what this means · Addition et multiplication de limites. Démontrable directement via ε-δ en utilisant l'inégalité triangulaire.

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}, \quad M\neq 0

what this means · Quotient de limites : valide quand la limite du dénominateur est non-nulle.

Limites remarquables

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1,\quad \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\tfrac{1}{2},\quad \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1,\quad \lim_{x\to\infty}\!\Bigl(1+\tfrac{1}{x}\Bigr)^{\!x}=e

what this means · Les quatre limites fondamentales du calcul, utilisées dans toute simplification d'indéterminations.

Exemples résolus

Example— 1· Calcul intuitif via tableau numérique (application)

Problème. Estimez numériquement $\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ et confirmez algébriquement.

Stratégie. Quand la substitution directe génère $0/0$ , le tableau numérique suggère la valeur et la factorisation confirme.

Résolution :

Tableau de valeurs près de $x = 2$ (avec $x \neq 2$ ) :

$x$	$(x^2-4)/(x-2)$
$1{,}9$	$3{,}9$
$1{,}99$	$3{,}99$
$1{,}999$	$3{,}999$
$2{,}001$	$4{,}001$
$2{,}01$	$4{,}01$
$2{,}1$	$4{,}1$

Le tableau suggère $\lim = 4$ .

Confirmation algébrique : Pour $x \neq 2$ , $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2.$ Donc $\displaystyle\lim_{x\to 2}(x+2) = 4$ .

Vérification : la factorisation annule le facteur $(x-2)$ qui causait l'indétermination. La valeur $f(2)$ est indéfinie, mais la limite existe et vaut 4.

Source. Active Calculus §1.2, Preview Activity 1.2.1 — licence CC-BY-SA.

Example— 2· Démonstration formelle ε-δ pour fonction linéaire (formelle)

Problème. Démontrez rigoureusement via $\varepsilon$ - $\delta$ que $\displaystyle\lim_{x \to 3}(5x - 2) = 13$ .

Stratégie. On exprime $|f(x) - L|$ en termes de $|x - a|$ , on identifie la relation linéaire et on choisit $\delta = \varepsilon / C$ .

Résolution :

Brouillon (pour guider le choix de $\delta$ ) : $|f(x) - 13| = |5x - 2 - 13| = |5x - 15| = 5|x - 3|.$ Pour que $5|x-3| < \varepsilon$ , on a besoin que $|x - 3| < \varepsilon/5$ .

Preuve formelle : Soit $\varepsilon > 0$ donné. Prenez $\delta = \varepsilon/5$ . Supposez $0 < |x - 3| < \delta$ . Alors : $|(5x - 2) - 13| = 5|x - 3| < 5\cdot\frac{\varepsilon}{5} = \varepsilon.$ Par conséquent, par définition, $\displaystyle\lim_{x\to 3}(5x - 2) = 13$ . $\square$

Observation : pour les fonctions linéaires $f(x) = mx + b$ , la relation $|f(x) - (ma+b)| = |m|\cdot|x-a|$ est toujours directe. Le $\delta = \varepsilon/|m|$ fonctionne sans restrictions supplémentaires.

Vérification : En prenant $\varepsilon = 0{,}1$ : $\delta = 0{,}02$ . Pour $|x - 3| < 0{,}02$ , on a $|5x - 15| = 5|x-3| < 5(0{,}02) = 0{,}1 = \varepsilon$ . Ça marche.

Source. OpenStax Calculus Vol. 1 §2.5, Example 2.39 — licence CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Limites latérales et existence de la limite (compréhension)

Problème. Considérez la fonction $f(x) = |x|/x$ pour $x \neq 0$ . Calculez les limites latérales en $x = 0$ et déterminez si $\lim_{x \to 0} f(x)$ existe.

Stratégie. Calculer séparément la limite à droite et à gauche. La limite bilatérale existe seulement si les deux coïncident.

Résolution :

Observez que : $f(x) = \frac{|x|}{x} = \begin{cases} 1, & x > 0, \\ -1, & x < 0. \end{cases}$

Limite à droite ( $x \to 0^+$ , c'est-à-dire $x > 0$ ) : $f(x) = 1$ pour tout $x > 0$ , donc $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$ .

Limite à gauche ( $x \to 0^-$ , c'est-à-dire $x < 0$ ) : $f(x) = -1$ pour tout $x < 0$ , donc $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$ .

Comme $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 \neq -1 = \lim_{x \to 0^-} f(x)$ , les limites latérales sont différentes.

Conclusion : $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$ n'existe pas.

Vérification : le graphe de $f$ est un « escalier » avec marche en $x = 0$ . C'est la discontinuité par saut la plus simple possible.

Source. OpenStax Calculus Vol. 1 §2.2, Example 2.7 — licence CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Limite à l'infini de fonction rationnelle (application)

Problème. Calculez $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 + 5x - 1}{2x^2 - 7}$ .

Stratégie. Divisez numérateur et dénominateur par la plus haute puissance de $x$ présente ( $x^2$ ) et utilisez le fait que $k/x^n \to 0$ quand $x \to \infty$ pour toute constante $k$ et $n > 0$ .

Résolution :

Divisez tout par $x^2$ : $\frac{3x^2 + 5x - 1}{2x^2 - 7} = \frac{3 + 5/x - 1/x^2}{2 - 7/x^2}.$

Quand $x \to +\infty$ : $5/x \to 0$ , $1/x^2 \to 0$ , $7/x^2 \to 0$ . Par conséquent : $\lim_{x \to +\infty} \frac{3 + 5/x - 1/x^2}{2 - 7/x^2} = \frac{3 + 0 - 0}{2 - 0} = \frac{3}{2}.$

Règle générale : pour $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{a_n x^n + \cdots}{b_m x^m + \cdots}$ , le résultat dépend de $n$ vs. $m$ :

$n < m$ : limite $= 0$ .
$n = m$ : limite $= a_n/b_m$ .
$n > m$ : limite $= \pm\infty$ (dépend des signes).

Vérification : En $x = 1000$ : $(3 \cdot 10^6 + 5000 - 1)/(2 \cdot 10^6 - 7) \approx 3005000/1999993 \approx 1{,}5025$ — converge vers $3/2$ . ✓

Source. APEX Calculus §1.6, Example 1.6.1 — licence CC-BY-NC.

Example— 5· Limite qui n'existe pas — oscillation (défi)

Problème. Montrez que $\displaystyle\lim_{x \to 0} \sin\!\left(\frac{1}{x}\right)$ n'existe pas.

Stratégie. Utilisez la caractérisation séquentielle de Heine : si la limite existait, toute suite $x_n \to 0$ avec $x_n \neq 0$ produirait $f(x_n) \to L$ . On exhibe deux suites avec des images convergeant vers des valeurs distinctes.

Résolution :

Considérez les deux suites : $x_n = \frac{1}{2n\pi} \quad \text{et} \quad y_n = \frac{2}{(4n+1)\pi}, \quad n \in \mathbb{N}.$

Les deux satisfont $x_n \to 0$ et $y_n \to 0$ (les dénominateurs croissent sans limite).

Pour $x_n$ : $\sin\!\left(\frac{1}{x_n}\right) = \sin(2n\pi) = 0 \quad \text{pour tout } n.$ Donc $f(x_n) \to 0$ .

Pour $y_n$ : $\sin\!\left(\frac{1}{y_n}\right) = \sin\!\left(\frac{(4n+1)\pi}{2}\right) = \sin\!\left(2n\pi + \frac{\pi}{2}\right) = 1 \quad \text{pour tout } n.$ Donc $f(y_n) \to 1$ .

Comme deux suites en $x_n \to 0$ produisent des limites différentes ( $0$ et $1$ ), par la caractérisation de Heine la limite $\displaystyle\lim_{x\to 0}\sin(1/x)$ n'existe pas. $\square$

Note : le graphe oscille infiniment entre $-1$ et $1$ comme $x \to 0$ — aucune valeur spécifique n'est privilégiée.

Source. Active Calculus §1.2, Activity 1.2.3 — licence CC-BY-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 18Understanding 10Modeling 7Challenge 3Proof 2

Ex. 41.1Application
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 3}(2x + 1)$ .
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Ex. 41.2Application
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ .
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Ex. 41.3Application
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ .
Solve online
Ex. 41.4Application
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x}$ .
Solve online
Ex. 41.5Application
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{3x + 1}{x + 5}$ .
Solve online
Ex. 41.6Application
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 + 3}{x^2 - 1}$ .
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Ex. 41.7Application
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ .
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Ex. 41.8ApplicationAnswer key
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}$ .
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Ex. 41.9ApplicationAnswer key
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ .
Solve online
Ex. 41.10Application
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{\!x}$ .
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Ex. 41.11Application
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$ .
Solve online
Ex. 41.12ApplicationAnswer key
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x}$ .
Solve online
Ex. 41.13Application
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x}$ .
Solve online
Ex. 41.14Application
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6}$ .
Solve online
Ex. 41.15Application
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{\sin(3x)}$ .
Solve online
Ex. 41.16Application
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$ .
Solve online
Ex. 41.17Application
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + 1} - x\right)$ .
Solve online
Ex. 41.18Application
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x}$ .
Solve online
Ex. 41.19UnderstandingAnswer key
Pour que $\lim_{x \to a} f(x)$ existe, est-il nécessaire que $f(a)$ soit défini ?
Solve online
Ex. 41.20Understanding
En quelle condition la limite $\lim_{x \to a} f(x)$ existe-t-elle ?
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Ex. 41.21Understanding
La limite $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$ existe-t-elle ? Calculez les limites latérales et concluez.
Solve online
Ex. 41.22UnderstandingAnswer key
La limite $\displaystyle\lim_{x \to 0} \sin\!\left(\frac{1}{x}\right)$ existe-t-elle ?
Solve online
Ex. 41.23Understanding
Laquelle des situations décrit une fonction sans limite en $x = 2$ ?
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Ex. 41.24UnderstandingAnswer key
Écrivez de mémoire la définition ε-δ de $\lim_{x \to a} f(x) = L$ et expliquez le rôle de chaque quantificateur.
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Ex. 41.25Understanding
Considérez $f(x) = 1$ pour $x > 0$ et $f(x) = -3$ pour $x \leq 0$ . Calculez les limites latérales en $x = 0$ et déterminez si la limite bilatérale existe.
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Ex. 41.26UnderstandingAnswer key
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 0} x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)$ en justifiant via le théorème du sandwich.
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Ex. 41.27Understanding
La fonction $f(x) = (x^2 - 9)/(x-3)$ n'est pas définie en $x = 3$ . Calculez $\lim_{x \to 3} f(x)$ et expliquez pourquoi la limite existe.
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Ex. 41.28Understanding
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2}$ et expliquez pourquoi le résultat diffère de $\lim_{x\to 0}1/x$ .
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Ex. 41.29Modeling
Dans un circuit RC, la tension au condensateur est $V(t) = V_\infty(1 - e^{-t/\tau})$ , où $\tau > 0$ . Calculez $\lim_{t \to +\infty} V(t)$ et interprétez le résultat physiquement.
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Ex. 41.30Modeling
La position d'un objet est $s(t) = t^2$ mètres. En utilisant la définition de limite, calculez la vitesse instantanée $v(t) = \lim_{h \to 0}\dfrac{s(t+h)-s(t)}{h}$ .
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Ex. 41.31Modeling
En pharmacocinétique, la concentration d'un médicament est $C(t) = C_0 e^{-kt}$ avec $k > 0$ . Calculez $\lim_{t \to +\infty} C(t)$ et interprétez le résultat.
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Ex. 41.32Modeling
En théorie du contrôle, la fonction de transfert d'un système du premier ordre est $H(s) = K/(s+1)$ . Calculez le gain DC $\lim_{s \to 0} H(s)$ et dites ce qu'il représente.
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Ex. 41.33ModelingAnswer key
Dans les modèles de croissance de population, le taux de croissance per capita décroît selon $r(x) = (\ln x)/x$ . Calculez $\lim_{x \to +\infty} r(x)$ et interprétez.
Solve online
Ex. 41.34Modeling
L'erreur de troncature de Taylor satisfait $\lim_{h \to 0}\dfrac{f(0+h)-f(0)-hf'(0)}{h^2}$ . Pour $f(x) = e^x$ , calculez cette limite et interprétez.
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Ex. 41.35ModelingAnswer key
Qu'est-ce que $\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ représente quand la limite existe ? Donnez un nom, une interprétation géométrique et une interprétation physique.
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Ex. 41.36ProofAnswer key
Démontrez rigoureusement via ε-δ que $\lim_{x \to 3}(5x - 2) = 13$ . Montrez le brouillon, le choix de $\delta$ et la preuve formelle.
Solve online
Ex. 41.37Proof
Démontrez via ε-δ que $\lim_{x \to 3} x^2 = 9$ . Montrez pourquoi le $\min$ est nécessaire dans le choix de $\delta$ .
Solve online
Ex. 41.38Challenge
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3}$ .
Solve online
Ex. 41.39Challenge
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + x} - x\right)$ .
Solve online
Ex. 41.40Challenge
Démontrez via ε-δ que $\lim_{x \to 2} \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{2}$ . Montrez la stratégie complète : brouillon, restriction, choix de $\delta$ et preuve formelle.
Solve online

Sources

Active Calculus 2.0 — Matt Boelkins · Grand Valley State University · 2024 · §1.1–1.3 · CC-BY-SA. Source primaire. Exemples 1, 3, 5 et exercices des Blocs A, C adaptés de cette œuvre.
Calculus, Volume 1 — OpenStax · 2016 · §2.2–2.5 · CC-BY-NC-SA. Définition formelle §2.5, exercices Blocs A, B, D.
APEX Calculus — Gregory Hartman · Virginia Military Institute · 2023 · §1.1–1.6 · CC-BY-NC. Exercices sur les limites à l'infini et défis Bloc D.
Cours d'analyse — Augustin-Louis Cauchy · 1821 · domaine public. Origine historique de la définition formelle de limite.