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Leçon 42 — Propriétés algébriques des limites

Lois des limites (somme, produit, quotient, puissance, racine), substitution directe, formes indéterminées 0/0 par factorisation et rationalisation, et Théorème du Gendarme.

Used in: 2.º ano do Lycée (16-17 ans) · Equiv. Math II japonais (極限の性質) · Equiv. Oberstufe Grenzwertregeln allemand

\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}, \quad M \neq 0

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Propriétés opératoires et Théorème du Gendarme

Soient $\lim_{x \to a} f(x) = L$ et $\lim_{x \to a} g(x) = M$ , avec $L, M \in \mathbb{R}$ . Les lois ci-dessous valent pour $x \to a$ , $x \to a^+$ , $x \to a^-$ , $x \to \pm\infty$ .

Lois algébriques des limites

Definition· Lois des limites (Boelkins §1.4 / OpenStax §2.3)

Loi	Énoncé	Restriction
Somme / différence	$\lim (f \pm g) = L \pm M$	aucune
Multiple par constante	$\lim (c \cdot f) = cL$	$c \in \mathbb{R}$
Produit	$\lim (f \cdot g) = L \cdot M$	aucune
Quotient	$\lim (f/g) = L/M$	$M \neq 0$
Puissance	$\lim f^n = L^n$	$n \in \mathbb{N}$
Racine	$\lim \sqrt[n]{f} = \sqrt[n]{L}$	$L \geq 0$ si $n$ pair
Valeur absolue	$\lim \lvert f \rvert = \lvert L \rvert$	aucune

"Si $\lim_{x\to a} f(x) = L$ et $\lim_{x\to a} g(x) = M$ , alors $\lim_{x\to a}[f(x) + g(x)] = L + M$ ." — OpenStax Calculus Volume 1, §2.3, Theorem 2.4

"Si $\lim_{x\to c} f(x) = L$ et $\lim_{x\to c} g(x) = K$ , alors $\lim_{x\to c}[f(x) \cdot g(x)] = L \cdot K$ ." — APEX Calculus, §1.3, Theorem 1.3.1

Propriété de la substitution directe

Composition

Si $\lim_{x \to a} g(x) = b$ et $f$ est continue en $b$ , alors: $\lim_{x \to a} f(g(x)) = f(b) = f\!\left(\lim_{x \to a} g(x)\right).$

Contre-exemple sans continuité. Prenez $g(x) = 0$ constante et $f$ avec discontinuité en $0$ . Alors $\lim g = 0$ mais $\lim f(g(x)) = f(0) \neq \lim_{t \to 0} f(t)$ .

Théorème du Gendarme

"If $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ for all $x \neq a$ in an open interval containing $a$ and $\lim_{x\to a} g(x) = L = \lim_{x\to a} h(x)$ , then $\lim_{x\to a} f(x) = L$ ." — OpenStax Calculus Volume 1, §2.3, Theorem 2.7

Application classique. Pour $\lim_{x \to 0} x^2 \sin(1/x) = 0$ : notez $-1 \leq \sin(1/x) \leq 1$ , donc $-x^2 \leq x^2\sin(1/x) \leq x^2$ . Comme $\lim_{x \to 0}(\pm x^2) = 0$ , la limite est $0$ .

Formes indéterminées et techniques de résolution

Quand la substitution directe produit $0/0$ ou $\infty/\infty$ , les propriétés algébriques ne s'appliquent pas directement:

Diagramme de choix de technique par type d'indétermination.

Exemples résolus

Example— 1· Substitution directe dans un polynôme

Problème. Calculez $\lim_{x \to 3} (2x^2 - 5x + 1)$ .

Stratégie. Les polynômes sont continus en tout point. Appliquez la propriété de substitution directe.

Résolution.

Vérifiez que la fonction est continue en $x = 3$ . Tout polynôme est continu dans $\mathbb{R}$ . La limite est simplement la valeur de la fonction en $x = 3$ .
Substituez $x = 3$ : $\lim_{x \to 3}(2x^2 - 5x + 1) = 2(3)^2 - 5(3) + 1 = 18 - 15 + 1 = 4.$
Pourquoi ça fonctionne. Par les lois algébriques: $\lim x^2 = 9$ (loi de puissance), $\lim 2x^2 = 18$ (multiple par constante), $\lim 5x = 15$ , $\lim 1 = 1$ (constante). Somme: $18 - 15 + 1 = 4$ .

Vérification. Pour $x = 3{,}01$ : $2(3{,}01)^2 - 5(3{,}01) + 1 = 18{,}1202 - 15{,}05 + 1 = 4{,}0702 \approx 4$ . Cohérent.

Source. OpenStax Calculus Volume 1, §2.3 — CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 2· Forme indéterminée 0/0 par factorisation

Problème. Calculez $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ .

Stratégie. La substitution directe produit $0/0$ . Le numérateur est une différence de carrés — factorisez et annulez le facteur commun $(x - 2)$ .

Résolution.

Essayez la substitution directe. $\dfrac{2^2 - 4}{2 - 2} = \dfrac{0}{0}$ — indétermination. La manipulation algébrique est nécessaire.
Factorisez le numérateur. $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ .
Annulez le facteur commun. Pour $x \neq 2$ : $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2.$
Calculez la limite. Appliquez la substitution directe: $\lim_{x \to 2}(x + 2) = 2 + 2 = 4.$

Vérification. Pour $x = 2{,}01$ : $\dfrac{(2{,}01)^2 - 4}{2{,}01 - 2} = \dfrac{0{,}0401}{0{,}01} = 4{,}01 \approx 4$ . Cohérent.

Source. OpenStax Calculus Volume 1, §2.3, Example 2.17 — CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 3· Forme indéterminée 0/0 par rationalisation

Problème. Calculez $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}$ .

Stratégie. La substitution donne $0/0$ . Éliminez la racine au numérateur en multipliant par le conjugué $(\sqrt{x+4} + 2)$ .

Résolution.

Essayez la substitution directe. $\dfrac{\sqrt{0 + 4} - 2}{0} = \dfrac{0}{0}$ — indétermination.
Multipliez par le conjugué. Pour $x \neq 0$ : $\frac{\sqrt{x+4}-2}{x} \cdot \frac{\sqrt{x+4}+2}{\sqrt{x+4}+2} = \frac{(x+4) - 4}{x(\sqrt{x+4}+2)} = \frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)}.$
Annulez $x$ (valide puisque $x \neq 0$ ): $= \frac{1}{\sqrt{x+4}+2}.$
Appliquez la substitution directe: $\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+4}+2} = \frac{1}{\sqrt{4}+2} = \frac{1}{4}.$

Vérification. Pour $x = 0{,}01$ : $\dfrac{\sqrt{4{,}01} - 2}{0{,}01} \approx \dfrac{0{,}0025}{0{,}01} = 0{,}25 = \dfrac{1}{4}$ . Cohérent.

Source. APEX Calculus, §1.3, Example 1.3.4 — CC-BY-NC 4.0.

Example— 4· Théorème du Gendarme avec fonction oscillante

Problème. Prouvez que $\lim_{x \to 0} x^2 \cos(1/x) = 0$ .

Stratégie. La fonction $\cos(1/x)$ oscille indéfiniment quand $x \to 0$ — nous ne pouvons pas calculer sa limite directement. Mais $|\cos(1/x)| \leq 1$ toujours. Utilisez le Gendarme.

Résolution.

Établissez les bornes. Pour tout $x \neq 0$ : $-1 \leq \cos(1/x) \leq 1.$
Multipliez par $x^2 \geq 0$ (n'inverse pas les inégalités): $-x^2 \leq x^2 \cos(1/x) \leq x^2.$
Calculez les limites des bornes: $\lim_{x \to 0}(-x^2) = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 0} x^2 = 0.$
Appliquez le Théorème du Gendarme. Comme $f(x) = x^2 \cos(1/x)$ est coincée entre $-x^2$ et $x^2$ , tous deux avec limite $0$ : $\lim_{x \to 0} x^2 \cos(1/x) = 0. \quad \blacksquare$

Pourquoi le Gendarme est nécessaire. La loi du produit exigerait que $\lim_{x \to 0} \cos(1/x)$ existe — mais il n'existe pas (oscille entre $-1$ et $1$ ). Le Gendarme contourne cette difficulté.

Source. APEX Calculus, §1.3, Theorem 1.3.7 — CC-BY-NC 4.0.

Example— 5· Limite de fonction rationnelle à l'infini

Problème. Calculez $\lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2 - 2x + 1}{x^2 + 5x - 4}$ .

Stratégie. Forme $\infty/\infty$ — les degrés du numérateur et dénominateur sont tous deux $2$ . Divisez tout par $x^2$ pour révéler les coefficients dominants.

Résolution.

Identifiez les degrés. Numérateur: degré 2. Dénominateur: degré 2. Forme $\infty/\infty$ .
Divisez le numérateur et le dénominateur par $x^2$ : $\frac{3x^2 - 2x + 1}{x^2 + 5x - 4} = \frac{3 - 2/x + 1/x^2}{1 + 5/x - 4/x^2}.$
Calculez chaque terme. Quand $x \to \infty$ : $1/x \to 0$ et $1/x^2 \to 0$ .
Appliquez les lois algébriques: $\lim_{x \to \infty} \frac{3 - 2/x + 1/x^2}{1 + 5/x - 4/x^2} = \frac{3 - 0 + 0}{1 + 0 - 0} = 3.$

Résultat général. Quand les degrés sont égaux, la limite est le rapport des coefficients dominants.

Source. OpenStax Calculus Volume 1, §2.3, Example 2.20 — CC-BY-NC-SA 4.0.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 29Understanding 7Modeling 2Challenge 1Proof 1

Ex. 42.1Application
Calculez $\lim_{x \to 2}(x^2 + 3x - 1)$ .
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Ex. 42.2Application
Calculez $\lim_{x \to 1}\sqrt{x^2 + 3}$ .
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Ex. 42.3ApplicationAnswer key
Calculez $\lim_{x \to 0}\dfrac{x + 1}{x^2 + 1}$ .
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Ex. 42.4Application
Calculez $\lim_{x \to -1}(x^3 + 2x^2 - x + 4)$ .
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Ex. 42.5Application
Calculez $\lim_{x \to 1}(x^3 + 2x^2 + 3x)$ .
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Ex. 42.6Application
Calculez $\lim_{x \to 3}\dfrac{x^2 - 1}{x + 1}$ .
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Ex. 42.7Application
Calculez $\lim_{x \to -2}\dfrac{x^3 + 1}{x^2 + 1}$ .
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Ex. 42.8ApplicationAnswer key
Calculez $\lim_{x \to 1}\sqrt[3]{x^2 + 7}$ .
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Ex. 42.9Application
Calculez $\lim_{x \to 2}(x^2 - 1)(3x + 2)$ .
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Ex. 42.10Application
Calculez $\lim_{x \to 0}(2x + 3)^4$ .
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Ex. 42.11Application
Calculez $\lim_{x \to 3}\dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ .
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Ex. 42.12Application
Calculez $\lim_{x \to 0}\dfrac{x^2 + 2x}{x}$ .
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Ex. 42.13Application
Calculez $\lim_{x \to -2}\dfrac{x^2 - 4}{x + 2}$ .
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Ex. 42.14Application
Calculez $\lim_{x \to 4}\dfrac{x^2 - 16}{x - 4}$ .
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Ex. 42.15Application
Calculez $\lim_{x \to 5}\dfrac{x^2 - 3x - 10}{x - 5}$ .
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Ex. 42.16Application
Calculez $\lim_{x \to 3}\dfrac{x^2 + 2x - 15}{x - 3}$ .
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Ex. 42.17ApplicationAnswer key
Calculez $\lim_{x \to 2}\dfrac{x^2 + x - 6}{x - 2}$ .
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Ex. 42.18Application
Calculez $\lim_{x \to 4}\dfrac{x - 4}{\sqrt{x} - 2}$ .
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Ex. 42.19ApplicationAnswer key
Calculez $\lim_{x \to 4}\dfrac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$ .
Solve online
Ex. 42.20ApplicationAnswer key
Calculez $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}$ .
Solve online
Ex. 42.21ApplicationAnswer key
Calculez $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{x + 9} - 3}{x}$ .
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Ex. 42.22Application
Calculez $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x}$ .
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Ex. 42.23Application
Calculez $\lim_{x \to \infty}\dfrac{2x + 1}{x + 3}$ .
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Ex. 42.24Application
Calculez $\lim_{x \to \infty}\dfrac{3x^2 - x + 2}{x^2 + 4}$ .
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Ex. 42.25Application
Calculez $\lim_{x \to \infty}\dfrac{x + 5}{x^3 - 2}$ .
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Ex. 42.26ApplicationAnswer key
Calculez $\lim_{x \to 7}\dfrac{x^2 - 5x - 14}{x - 7}$ .
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Ex. 42.27Application
Calculez $\lim_{x \to 0} x^2 \sin(1/x)$ .
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Ex. 42.28Application
Calculez $\lim_{x \to 0} x \cos(1/x)$ .
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Ex. 42.29Application
Calculez $\lim_{x \to \infty}\dfrac{\sin x}{x}$ .
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Ex. 42.30Understanding
Pour calculer $\lim_{x \to 5}(3x^2 - x + 7)$ , est-il suffisant de substituer $x = 5$ directement?
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Ex. 42.31UnderstandingAnswer key
Quelle affirmation est correcte sur la loi du quotient des limites?
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Ex. 42.32UnderstandingAnswer key
Quelle est $\lim_{x \to 0} x \sin(1/x)$ , et pourquoi la loi du produit ne s'applique pas?
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Ex. 42.33Understanding
Que se passe-t-il quand nous essayons d'appliquer la loi du quotient à $\lim_{x \to 1}\dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ directement?
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Ex. 42.34Understanding
Quelle technique est la plus appropriée pour calculer $\lim_{x \to 0} x^2 \cos(1/x)$ ?
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Ex. 42.35UnderstandingAnswer key
Qu'indique algébriquement la forme indéterminée $0/0$ sur le numérateur et le dénominateur?
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Ex. 42.36Understanding
On sait que $3 - x^2 \leq f(x) \leq 3 + x^2$ pour tout $x \neq 0$ . Déterminez $\lim_{x \to 0} f(x)$ et justifiez.
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Ex. 42.37Modeling
En génie du contrôle, la fonction de transfert d'un système est $H(s) = \dfrac{s + 2}{s^2 + 3s + 2}$ . Calculez le gain DC: $\lim_{s \to 0} H(s)$ .
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Ex. 42.38Modeling
La position d'une particule est $s(t) = t^2$ mètres. Calculez la vitesse instantanée à $t = 1$ : $\lim_{\Delta t \to 0}\dfrac{s(1 + \Delta t) - s(1)}{\Delta t}$ .
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Ex. 42.39Challenge
Calculez $\lim_{x \to 0}\dfrac{\cos x - \cos 2x}{x^2}$ .
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Ex. 42.40Proof
Démonstration. Prouvez via $\varepsilon$ - $\delta$ que $\lim_{x \to 0} 3x = 0$ , vérifiant ainsi la loi du multiple par constante dans ce cas particulier.
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Sources

OpenStax Calculus Volume 1 — Strang, Herman et al. · OpenStax · 2016 · §2.3 (The Limit Laws) et §2.4 (Continuity) · CC-BY-NC-SA 4.0. Source principale pour les exercices d'application directe, factorisation, rationalisation et limites à l'infini.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2023 · §1.3 (Finding Limits Analytically) · CC-BY-NC 4.0. Source principale pour les exercices du Gendarme et les défis.
Active Calculus 2.0 — Boelkins · Grand Valley State University · 2024 · §1.2 (The Notion of Limit) · CC-BY-NC-SA 4.0. Référence pour la motivation conceptuelle, activités de découverte et exercice 42.36.