Leçon 43 — Continuité de fonctions

Vérifiez si $f(x) = x^2$ est continue en $x = 2$. Appliquez la checklist des trois conditions.

Classifiez la discontinuité de $f(x) = 1/x$ en $x = 0$.

Classifiez la discontinuité de $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ en $x = 1$ et expliquez comment la réparer.

Quelle valeur doit avoir $f(3)$ pour que $f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ soit continue en $x = 3$ ?

Analysez la continuité de $f(x) = \begin{cases} x + 1 & x < 0 \\ x^2 & x \geq 0 \end{cases}$ en $x = 0$.

Déterminez $a$ tel que $f(x) = \begin{cases} x^2 & x \leq 1 \\ ax + 1 & x > 1 \end{cases}$ soit continue sur $\mathbb{R}$.

Classifiez la discontinuité de $f(x) = \sin(1/x)$ en $x = 0$.

Analysez la continuité de la fonction partie entière $f(x) = \lfloor x \rfloor$ à tous les entiers.

Sur quel sous-ensemble de $\mathbb{R}$ la fonction $f(x) = e^x$ est-elle continue ?

Sur quel sous-ensemble de $\mathbb{R}$ la fonction $f(x) = \ln x$ est-elle continue ?

La fonction $f(x) = x\sin(1/x)$ prolongée avec $f(0) = 0$ est-elle continue en $x = 0$ ? Justifiez.

La fonction $f(x) = \begin{cases} (\sin x)/x & x \neq 0 \\ 1 & x = 0 \end{cases}$ est-elle continue en $x = 0$ ?

Déterminez $k$ pour que $f(x) = \begin{cases} x^2 + k & x \leq 2 \\ 3x + 1 & x > 2 \end{cases}$ soit continue sur $\mathbb{R}$.

Quelle valeur doit avoir $f(1)$ pour que $f(x) = \dfrac{x^3 - 1}{x - 1}$ soit continue en $x = 1$ ?

Déterminez le plus grand sous-ensemble de $\mathbb{R}$ sur lequel $f(x) = \tan x$ est continue.

Analysez la continuité de $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x + 2}$ sur $\mathbb{R}$ et classifiez toute discontinuité trouvée.

Déterminez $a$ et $b$ pour que $f(x) = \begin{cases} x + a & x < 1 \\ b & x = 1 \\ 2x + 1 & x > 1 \end{cases}$ soit continue en $x = 1$.

Trouvez $k$ pour que $f(x) = \begin{cases} 3x^2 + 2 & x \leq -1 \\ kx + 3 & x > -1 \end{cases}$ soit continue sur $\mathbb{R}$.

Déterminez le domaine de continuité de $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$.

Trouvez tous les points de discontinuité de $f(x) = \dfrac{1}{x^2 - 9}$ et classifiez-les.

Justifiez que $f(x) = \sin(x^2)$ est continue sur tout $\mathbb{R}$ en utilisant le théorème de composition.

Montrez que $f(x) = \sqrt{x^2} = |x|$ est continue sur tout $\mathbb{R}$, y compris en $x = 0$.

La fonction signe $f(x) = x/|x|$ (avec $f(0) = 0$) est-elle continue en $x = 0$ ? Classifiez correctement la discontinuité.

Déterminez sur quel intervalle $f(x) = \sqrt{4 - x}$ est continue, en justifiant le comportement à l'extrema $x = 4$.

Comment rendre $f(x) = x^2 \sin(1/x)$ continue en $x = 0$ ? Utilisez le théorème du sandwich.

Trouvez et classifiez toutes les discontinuités de $f(x) = \dfrac{x}{x^2 - 1}$.

Utilisez le TVI pour montrer que $x^3 - x - 1 = 0$ a une racine dans $(1, 2)$.

Montrez que $x^3 + 2x - 5 = 0$ a une racine dans $[1, 2]$.

Montrez que l'équation $\cos x = x$ a une solution dans $(0, \pi/2)$.

Montrez que $e^x = 3 - x$ a une solution dans $(0, 1)$.

Prouvez que tout polynôme de degré impair a au moins une racine réelle.

$f$ est continue sur $[0,1]$ avec $f(x) \in [0,1]$ pour tout $x$. Prouvez qu'il existe $c$ tel que $f(c) = c$ (point fixe).

Montrez que $\ln x = e^{-x}$ a une solution dans $(1, e)$.

Utilisez le TVI pour localiser les racines réelles de $f(x) = x^4 + x - 3$ dans $(-2, 2)$.

Un objet tombe d'une altitude $h_0$ au sol. Justifiez mathématiquement qu'il a passé par toute altitude intermédiaire entre $0$ et $h_0$.

Si la température à 6h était $15°C$ et à 14h était $28°C$, justifiez qu'il y a eu un moment où elle était exactement $20°C$.

Si $f$ et $g$ sont continues en $a$, prouvez que $f + g$ et $f \cdot g$ sont continues en $a$.

La fonction de Dirichlet $D(x) = 1$ si $x \in \mathbb{Q}$, $D(x) = 0$ si $x \notin \mathbb{Q}$ — en quels points de $\mathbb{R}$ est-elle continue ? Justifiez.

Si $f$ est continue en $a$ et $f(a) > 0$, prouvez qu'il existe un voisinage de $a$ où $f > 0$.

Écrivez la démonstration du TVI en utilisant l'ensemble $S = \{x \in [a,b] : f(x) < k\}$ et le supremum. Expliquez pourquoi la complétude de $\mathbb{R}$ est indispensable.