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Lição 44 — Limites laterais e existência do limite bilateral

Limite pela direita e pela esquerda. Teorema de existência via laterais. Descontinuidades de salto em funções definidas por partes, funções degrau e colchetes. Aplicações em faixas de preço e alíquotas.

Used in: 2.º ano do EM (16-17 anos) · Equiv. Math II japonês §limites unilaterais · Equiv. Analysis-Vorkurs alemão

\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Définitions rigoureuses

Limites latérales : définitions epsilon-delta

"We say the function has a right-hand limit equal to L at a if for every number ε > 0 there exists a corresponding number δ > 0 such that for all x with 0 < x − a < δ we have |f(x) − L| < ε." — OpenStax Calculus Volume 1, §2.2

Théorème d'existence via les limites latérales

"A function has a limit at a point if and only if both the left and right limits exist at that point and are equal." — APEX Calculus, §1.4

Tableau des formes quantifiées

Type de limite	Condition sur $x$	Forme quantifiée
$\lim_{x \to a} f(x) = L$	$0 < \lvert x - a \rvert < \delta$	$\lvert f(x) - L \rvert < \varepsilon$
$\lim_{x \to a^+} f(x) = L$	$0 < x - a < \delta$	$\lvert f(x) - L \rvert < \varepsilon$
$\lim_{x \to a^-} f(x) = L$	$0 < a - x < \delta$	$\lvert f(x) - L \rvert < \varepsilon$
$\lim_{x \to a^+} f(x) = +\infty$	$0 < x - a < \delta$	$f(x) > M$

Visualisation : limites latérales en un point de saut

Discontinuité par saut en $x = a$ : les limites latérales existent ( $L^-$ et $L^+$ ) mais diffèrent. La valeur $f(a)$ (point rempli) peut être n'importe quoi — elle ne gêne pas les limites.

Domaine et limites à la frontière

Si $a$ est l'extrémité gauche du domaine de $f$ (par exemple, $f(x) = \sqrt{x}$ avec domaine $[0, +\infty)$ ), alors seule la limite par la droite est pertinente :

$\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0.$

La limite par la gauche n'existe pas faute de domaine. Dans ces cas, la limite bilatérale s'identifie à la limite latérale qui existe.

Exemplos resolvidos

Cinco exemplos com dificuldade crescente — da leitura de gráfico à determinação de constante para existência do limite. Cada exemplo cita a fonte: o problema original vem sempre de um livro aberto.

Example— 1· Lendo limites laterais de um gráfico

Problème. Le graphe de $f$ montre : la courbe venant de la gauche de $x = 2$ se rapproche de $y = 3$ (point ouvert) ; la courbe venant de la droite se rapproche de $y = 5$ (point ouvert) ; il y a un point rempli en $(2, 1)$ . Déterminez $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ , $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ , $\lim_{x \to 2} f(x)$ et $f(2)$ .

Stratégie. Chaque information du graphe a un rôle distinct : la courbe révèle les limites latérales ; le point rempli révèle la valeur de la fonction. La limite bilatérale n'existe que si les limites latérales coïncident.

Résolution.

Limite par la gauche. La courbe tend à $y = 3$ quand $x \to 2^-$ (le point ouvert confirme que 3 n'est pas atteint). Donc $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 3$ .
Limite par la droite. La courbe tend à $y = 5$ quand $x \to 2^+$ . Donc $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 5$ .
Limite bilatérale. Comme $3 \neq 5$ , selon le critère d'existence : $\lim_{x \to 2} f(x)$ n'existe pas. Il y a une discontinuité par saut d'amplitude $|5 - 3| = 2$ .
Valeur de la fonction. Le point rempli en $(2, 1)$ indique $f(2) = 1$ . Cette valeur est indépendante des limites latérales.

Vérification. $f(2) = 1$ diffère des deux limites latérales (3 et 5), ce qui est cohérent : la valeur ponctuelle ne change pas les limites.

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1, §2.2 — licence CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 2· Limites laterais de fonction définie par parties

Problème. Soit

$g(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & x < 3 \\ 2x - 3 & x \geq 3 \end{cases}.$

Calculez $\lim_{x \to 3^-} g(x)$ , $\lim_{x \to 3^+} g(x)$ et déterminez si $\lim_{x \to 3} g(x)$ existe.

Stratégie. Pour $x < 3$ on utilise la formule $x^2 - 1$ ; pour $x > 3$ (dans la limite par la droite, $x$ n'est jamais exactement 3) on utilise $2x - 3$ . Le signe $\geq$ en $g$ n'affecte que la valeur $g(3)$ , pas la limite latérale.

Résolution.

Limite par la gauche ( $x \to 3^-$ , avec $x < 3$ ) :

$\lim_{x \to 3^-} g(x) = \lim_{x \to 3} (x^2 - 1) = 9 - 1 = 8.$

Limite par la droite ( $x \to 3^+$ , avec $x > 3$ ) :

$\lim_{x \to 3^+} g(x) = \lim_{x \to 3} (2x - 3) = 6 - 3 = 3.$

Comparaison. $8 \neq 3$ , donc $\lim_{x \to 3} g(x)$ n'existe pas. Le saut a une amplitude $|8 - 3| = 5$ .
Valeur de la fonction. $g(3) = 2(3) - 3 = 3$ .

Vérification. $\lim_{x \to 3^-} g(x) = 8 \neq g(3) = 3$ : la fonction est aussi discontinue à gauche en $x = 3$ .

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1, §2.2, exemple 2.13 — licence CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 3· Détermination de constante pour l'existence de la limite

Problème. La fonction

$h(x) = \begin{cases} ax + 1 & x < 2 \\ x^2 - 1 & x \geq 2 \end{cases}$

doit avoir $\lim_{x \to 2} h(x)$ existante. Trouvez la valeur de $a$ .

Stratégie. Pour que la limite bilatérale existe, les limites latérales doivent être égales. On calcule chacune en fonction de $a$ et on les égalise.

Résolution.

Limite par la gauche :

$\lim_{x \to 2^-} h(x) = \lim_{x \to 2} (ax + 1) = 2a + 1.$

Limite par la droite :

$\lim_{x \to 2^+} h(x) = \lim_{x \to 2} (x^2 - 1) = 4 - 1 = 3.$

Condition d'existence : $2a + 1 = 3 \implies 2a = 2 \implies a = 1$ .
Vérification. Avec $a = 1$ : limite par la gauche $= 3$ , par la droite $= 3$ . La limite bilatérale existe et vaut $3$ . Comme $h(2) = 4 - 1 = 3$ aussi, $h$ est continue en $x = 2$ quand $a = 1$ .

Fonte. APEX Calculus, §1.4, exercício 1.4.7 — licence CC-BY-NC 4.0.

Example— 4· Limite unilatérale infinie et asymptote verticale

Problème. Calculez $\lim_{x \to 1^+} \dfrac{1}{x - 1}$ et $\lim_{x \to 1^-} \dfrac{1}{x - 1}$ . Identifiez l'asymptote verticale.

Stratégie. Analyser le signe de $x - 1$ quand $x \to 1^+$ (dénominateur positif) et $x \to 1^-$ (dénominateur négatif).

Résolution.

Par la droite ( $x > 1$ ) : $x - 1 > 0$ , donc $1/(x - 1) > 0$ . Comme $x \to 1^+$ , $x - 1 \to 0^+$ , donc $1/(x-1) \to +\infty$ .

$\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x - 1} = +\infty.$

Par la gauche ( $x < 1$ ) : $x - 1 < 0$ , donc $1/(x - 1) < 0$ . Comme $x \to 1^-$ , $x - 1 \to 0^-$ , donc $1/(x-1) \to -\infty$ .

$\lim_{x \to 1^-} \frac{1}{x - 1} = -\infty.$

Asymptote verticale. Comme au moins une limite latérale est infinie en $x = 1$ , la droite $x = 1$ est une asymptote verticale du graphe de $f(x) = 1/(x-1)$ .
Limite bilatérale. Les deux côtés diffèrent ( $+\infty \neq -\infty$ ) ; la limite bilatérale n'existe pas.

Vérification. En $x = 1{,}01$ : $1/(0{,}01) = 100 > 0$ . En $x = 0{,}99$ : $1/(-0{,}01) = -100 < 0$ . Signes confirmés.

Fonte. APEX Calculus, §1.4, exemple 1.4.2 — licence CC-BY-NC 4.0.

Example— 5· Tranches tarifaires : limites latérales dans une application réelle

Problème. Un service de streaming facture un abonnement mensuel $P(n)$ (en R$) selon le nombre d'écrans simultanés $n$ :

$P(n) = \begin{cases} 19{,}90 & 1 \leq n \leq 2 \\ 34{,}90 & 3 \leq n \leq 4 \\ 54{,}90 & n \geq 5 \end{cases}.$

Modélisez $P$ comme fonction de $n \in \mathbb{R}^+$ par interpolation constante par parties. Calculez les limites latérales en $n = 2$ et en $n = 4$ .

Stratégie. Étendez $P$ à $n$ réel par interpolation en escalier : la tranche $[1, 2]$ vaut R$ 19,90 jusqu'à $n = 2{,}999\ldots$ ; la tranche suivante commence en $n = 3$ . Calculez les limites avec la formule de chaque tranche.

Résolution.

En $n = 2$ :

$\lim_{n \to 2^-} P(n) = 19{,}90 \quad \text{(tranche } [1, 2]\text{)}, \qquad \lim_{n \to 2^+} P(n) = 34{,}90 \quad \text{(tranche suivante)}.$

Comme R$ 19,90 $\neq$ R$ 34,90, la limite bilatérale en $n = 2$ n'existe pas. Le saut est R$ 15,00.

En $n = 4$ :

$\lim_{n \to 4^-} P(n) = 34{,}90, \qquad \lim_{n \to 4^+} P(n) = 54{,}90.$

Comme R$ 34,90 $\neq$ R$ 54,90, la limite bilatérale en $n = 4$ n'existe pas. Le saut est R$ 20,00.

Interprétation. Chaque frontière de tranche est une discontinuité par saut. Le client paie le même prix pour tout nombre d'écrans dans la tranche — fonction constante par parties, avec des discontinuités aux points de transition.

Vérification. La valeur $P(2) = 19{,}90$ (définie par le contrat) peut différer de la limite par la droite — illustrant que $f(a)$ et $\lim_{x \to a^+} f(x)$ sont des objets distincts.

Fonte. Active Calculus, §1.2, activité 1.2.2 — licence CC-BY-NC-SA 4.0.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 14Understanding 12Modeling 9Challenge 3Proof 2

Ex. 44.1ApplicationAnswer key
Calculez $\lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x}$ .
Solve online
Ex. 44.2ApplicationAnswer key
Calculez $\lim_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x}$ .
Solve online
Ex. 44.3ApplicationAnswer key
Calculez $\lim_{x \to 3^+} \dfrac{1}{x - 3}$ .
Solve online
Ex. 44.4Application
Calculez $\lim_{x \to 3^-} \dfrac{1}{x - 3}$ .
Solve online
Ex. 44.5Application
Calculez $\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x}$ .
Solve online
Ex. 44.6Application
Calculez $\lim_{x \to 0^+} \ln x$ .
Solve online
Ex. 44.7Application
Calculez $\lim_{x \to 0^-} \dfrac{|x|}{x}$ .
Solve online
Ex. 44.8ApplicationAnswer key
Calculez $\lim_{x \to 0^+} \dfrac{|x|}{x}$ .
Solve online
Ex. 44.9Application
Soit $f(x) = \begin{cases} x + 1 & x < 2 \\ x^2 - 1 & x \geq 2 \end{cases}$ . Calculez $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ .
Solve online
Ex. 44.10Application
Soit $f$ comme dans l'exercício 44.9. Calculez $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ et déterminez si la limite bilatérale existe.
Solve online
Ex. 44.11ApplicationAnswer key
Calculez $\lim_{x \to (\pi/2)^-} \tan x$ .
Solve online
Ex. 44.12Application
Calculez $\lim_{x \to (\pi/2)^+} \tan x$ .
Solve online
Ex. 44.13Application
Déterminez si $\lim_{x \to 0} \dfrac{|x|}{x}$ existe.
Solve online
Ex. 44.14Application
Déterminez si $\lim_{x \to 2} \lfloor x \rfloor$ existe, où $\lfloor x \rfloor$ est le plus grand entier $\leq x$ .
Solve online
Ex. 44.15UnderstandingAnswer key
Soit $f(x) = \begin{cases} x + 1 & x < 0 \\ x^2 + 1 & x \geq 0 \end{cases}$ . La limite $\lim_{x \to 0} f(x)$ existe ? Justifiez en calculant les limites latérales.
Solve online
Ex. 44.16Understanding
Soit $f(x) = \begin{cases} 2x & x \leq 1 \\ x + 1 & x > 1 \end{cases}$ . La limite $\lim_{x \to 1} f(x)$ existe ?
Solve online
Ex. 44.17Understanding
Soit $f(x) = \begin{cases} \sin x / x & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$ . Calculez $\lim_{x \to 0} f(x)$ .
Solve online
Ex. 44.18Understanding
Pour quelle valeur de $a$ la fonction $f(x) = \begin{cases} ax & x < 1 \\ x^2 & x \geq 1 \end{cases}$ a-t-elle une limite bilatérale en $x = 1$ ?
Solve online
Ex. 44.19Understanding
Existe-t-il $\lim_{x \to 0} \sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$ ?
Solve online
Ex. 44.20Understanding
Calculez $\lim_{x \to 0^-} e^{1/x}$ et $\lim_{x \to 0^+} e^{1/x}$ . La limite bilatérale existe ?
Solve online
Ex. 44.21Understanding
Supposez que $\lim_{x \to a^+} f(x) = L_1$ et $\lim_{x \to a^-} f(x) = L_2$ avec $L_1 \neq L_2$ . La limite bilatérale $\lim_{x \to a} f(x)$ existe ?
Solve online
Ex. 44.22Understanding
Pour quelle valeur de $a$ la fonction $f(x) = \begin{cases} 2x + a & x < 1 \\ x^2 + 4 & x \geq 1 \end{cases}$ a-t-elle une limite bilatérale en $x = 1$ ?
Solve online
Ex. 44.23Understanding
Soit $g(x) = \begin{cases} x^2 + 2 & x < 0 \\ 2 - x & x = 0 \\ x^2 + 2 & x > 0 \end{cases}$ . La limite $\lim_{x \to 0} g(x)$ existe ?
Solve online
Ex. 44.24UnderstandingAnswer key
Trouvez $a$ et $b$ tels que $f(x) = \begin{cases} x^2 + a & x < -1 \\ bx + 3 & -1 \leq x \leq 1 \\ x^2 + 1 & x > 1 \end{cases}$ ait une limite en $x = -1$ et en $x = 1$ .
Solve online
Ex. 44.25Understanding
Calculez $\lim_{x \to 0^-} e^{-1/x}$ et $\lim_{x \to 0^+} e^{-1/x}$ .
Solve online
Ex. 44.26UnderstandingAnswer key
Pour quelle valeur de $a$ la fonction $f(x) = \begin{cases} 2x & x < 2 \\ ax & x \geq 2 \end{cases}$ a-t-elle une limite bilatérale en $x = 2$ ?
Solve online
Ex. 44.27ModelingAnswer key
Un plan d'internet facture R$ 29,90/mois pour jusqu'à 50 GB et R$ 39,90/mois pour 50 à 100 GB. Modélisez le prix $P(n)$ en fonction de la quantité $n$ (GB). Existe-t-il $\lim_{n \to 50} P(n)$ ?
Solve online
Ex. 44.28Modeling
En mécanique des vibrations, l'amplitude d'une oscillation amortie est $A(t) = A_0 e^{-\gamma t} \cos(\omega t)$ , avec $\gamma > 0$ . Calculez $\lim_{t \to +\infty} A(t)$ et interprétez physiquement.
Solve online
Ex. 44.29Modeling
La concentration plasmatique d'un médicament suit $C(t) = C_0 e^{-kt}$ ( $k > 0$ ). Calculez $\lim_{t \to +\infty} C(t)$ et interprétez.
Solve online
Ex. 44.30Modeling
La tension aux bornes d'un condensateur pendant la charge est $V(t) = V_{\infty}(1 - e^{-t/RC})$ . Calculez $\lim_{t \to +\infty} V(t)$ et interprétez.
Solve online
Ex. 44.31Modeling
Le barème de l'IRPF 2025 exonère les revenus jusqu'à R$ 2.824/mois (taux 0%) et applique 7,5% sur la tranche suivante. Le taux marginal $t(r)$ est-il continu en $r = 2.824$ ?
Solve online
Ex. 44.32Modeling
Un tarif d'électricité a quatre tranches de prix (R$ 0,42 / R$ 0,58 / R$ 0,71 / R$ 0,85 par kWh). La fonction tarif $t(c)$ est-elle continue aux frontières de tranche ? Calculez les limites latérales en $c = 30$ kWh.
Solve online
Ex. 44.33Modeling
La distribution de Boltzmann en physique statistique est $p(E) \propto e^{-E/kT}$ ( $T > 0$ , $k > 0$ ). Calculez $\lim_{E \to +\infty} p(E)$ et interprétez.
Solve online
Ex. 44.34Modeling
La fonction de distribution cumulative $F_X(x) = P(X \leq x)$ est continue à droite. Calculez les limites latérales $\lim_{x \to a^+} F_X(x)$ et $\lim_{x \to a^-} F_X(x)$ et déterminez le saut $F_X(a) - F_X(a^-)$ .
Solve online
Ex. 44.35Modeling
Un plan de streaming a les tarifs : 1–2 écrans R$ 19,90 ; 3–4 écrans R$ 34,90 ; 5 ou plus d'écrans R$ 54,90. Calculez les limites latérales en $n = 2$ et $n = 4$ . Déterminez les sauts à chaque point de transition.
Solve online
Ex. 44.36ChallengeAnswer key
Trouvez $a$ et $b$ tels que $f(x) = \begin{cases} x^2 + a & x < -1 \\ bx + 3 & -1 \leq x \leq 1 \\ x^2 + 1 & x > 1 \end{cases}$ ait une limite bilatérale en $x = -1$ et en $x = 1$ .
Solve online
Ex. 44.37Challenge
Pour quelle valeur de $a$ la fonction $f(x) = \begin{cases} 2x & x < 2 \\ ax & x \geq 2 \end{cases}$ a-t-elle une limite bilatérale en $x = 2$ ?
Solve online
Ex. 44.38Challenge
Démontrez formellement (en utilisant la définition epsilon-delta) que $\lim_{x \to a} f(x) = L$ implique $\lim_{x \to a^-} f(x) = L$ et $\lim_{x \to a^+} f(x) = L$ .
Solve online
Ex. 44.39Proof
Dans la démonstration de $\lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty$ via la définition formelle, quel est le choix correct de $\delta$ donné $M > 0$ ?
Solve online
Ex. 44.40Proof
Démontrez formellement (via la définition epsilon-delta de la limite latérale) que $\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0$ .
Solve online

Fontes

OpenStax Calculus Volume 1 — Strang et al. · OpenStax · 2016 · §2.2 (The Limit of a Function), §2.4 (Continuity), §2.5 (Precise Definition) · CC-BY-NC-SA 4.0. Source primaire des exercices de lecture de graphiques et des fonctions par parties.
APEX Calculus — Hartman et al. · §1.3 (Finding Limits Analytically), §1.4 (One-Sided and Infinite Limits) · CC-BY-NC 4.0. Source primaire des démonstrations epsilon-delta et de la détermination des constantes.
Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · §1.2 (The Notion of Limit) · CC-BY-NC-SA 4.0. Source primaire des applications en tarifs, oscillations amortis et pharmacocinétique.