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Leçon 45 — Limites fondamentales du calcul

Les cinq limites atomiques du calcul : sin(x)/x, (1-cos x)/x, définition de e, (e^x-1)/x et ln(1+x)/x. Tout limite trigonométrique ou exponentielle se réduit à ces cinq par manipulation algébrique.

Used in: 2.º année Lycée (Trim. 5) · Equiv. Math II japonais (chap. 3 — limites spéciales) · Equiv. Klasse 11 allemande (Grenzwerte trigonometrisch) · Equiv. H2 Math singapourien (Special limits)

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Définition rigoureuse et démonstrations

Les cinq limites atomiques

Definition· Limites fondamentales du calcul

Soient les limites suivantes, toutes démontables sans la règle de L'Hôpital :

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

(LF1)

what this means · Limite trigonométrique fondamentale. Indétermination 0/0. Démontrée par confrontement avec des aires de secteurs circulaires.

\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0

(LF2)

what this means · Conséquence de LF1 via l'identité 1 - cos x = 2 sin²(x/2). Le résultat est zéro, pas un.

\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e \approx 2{,}71828\ldots

(LF3)

what this means · Définit le nombre d'Euler e. La séquence (1 + 1/n)^n est croissante et bornée supérieurement par 3.

\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1

(LF4)

what this means · Indétermination 0/0. Affirme que la dérivée de e^x en x=0 est 1. Dérive de LF3 par substitution.

\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1

(LF5)

what this means · Indétermination 0/0. Dérivé de LF4 par la substitution y = ln(1+x).

Démonstration de LF1 — Théorème du Confrontement

"Le théorème du confrontement (aussi appelé théorème du sandwich) est un outil puissant pour calculer les limites de fonctions difficiles à évaluer directement." — OpenStax Calculus Volume 1, §2.3

Démonstration de $\lim_{x \to 0^+} \sin x / x = 1$ :

Considérez le cercle unitaire. Pour $x \in (0, \pi/2)$ , comparez trois aires :

Triangle $OAP$ (inscrit) : aire $= \tfrac{1}{2}\sin x$ .
Secteur circulaire $OAP$ : aire $= \tfrac{1}{2}x$ .
Triangle $OAT$ (circonscrit) : aire $= \tfrac{1}{2}\tan x$ .

Comme triangle inscrit $\subset$ secteur $\subset$ triangle circonscrit :

\frac{\sin x}{2} \leq \frac{x}{2} \leq \frac{\tan x}{2}

what this means · Inégalité des trois aires, valide pour x en (0, pi/2).

En divisant par $\sin x / 2 > 0$ et en prenant les réciproques (inverse les inégalités) :

$\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1$

Quand $x \to 0^+$ : $\cos x \to 1$ et $1 \to 1$ . Par le confrontement, $\sin x / x \to 1$ .

Par symétrie ( $\sin(-x)/(-x) = \sin x / x$ ), le résultat vaut pour $x \to 0^-$ aussi. ∎

Démonstration de LF2

En utilisant l'identité $1 - \cos x = 2\sin^2(x/2)$ :

$\frac{1 - \cos x}{x} = \frac{2\sin^2(x/2)}{x} = \sin\!\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \frac{\sin(x/2)}{x/2}$

Quand $x \to 0$ : le premier facteur $\to \sin 0 = 0$ et le second $\to 1$ (par LF1). Donc le produit $\to 0$ . ∎

Démonstration de LF5

Soit $y = \ln(1+x)$ , c'est-à-dire $e^y = 1 + x$ , donc $x = e^y - 1$ . Quand $x \to 0$ , on a $y \to 0$ . Par conséquent :

$\frac{\ln(1+x)}{x} = \frac{y}{e^y - 1} \xrightarrow{y \to 0} \frac{1}{1} = 1$

en utilisant LF4 au dénominateur. ∎

Tableau des variantes importantes

Limite	Valeur	Dérive de
$\lim_{x \to 0} \sin(kx)/x$	$k$	LF1
$\lim_{x \to 0} \sin(kx)/\sin(mx)$	$k/m$	LF1
$\lim_{x \to 0} \tan x / x$	$1$	LF1
$\lim_{x \to 0} (1 - \cos x)/x^2$	$1/2$	LF2
$\lim_{x \to 0} \arcsin x / x$	$1$	LF1 (inverse)
$\lim_{x \to 0} \arctan x / x$	$1$	LF1 (inverse)
$\lim_{x \to 0} (e^{kx} - 1)/x$	$k$	LF4
$\lim_{x \to 0} (a^x - 1)/x$	$\ln a$	LF4
$\lim_{x \to \infty} (1 + a/x)^x$	$e^a$	LF3
$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x}$	$e$	LF3
$\lim_{x \to \infty} x^n e^{-x}$	$0$	croissance relative
$\lim_{x \to \infty} (\ln x)/x$	$0$	croissance relative

Exemples résolus

Example— 1· Limite trigonométrique par confrontement

Problème : Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{5x}$ .

Stratégie : La limite fondamentale LF1 affirme que $\sin(u)/u \to 1$ quand $u \to 0$ . Nous devons réécrire l'expression de sorte que l'argument du sinus coïncide avec le dénominateur.

Résolution :

Identifiez l'argument : à l'intérieur du sinus on a $3x$ , mais le dénominateur est $5x$ . Nous devons créer le rapport $\sin(3x)/(3x)$ .
Manipulation algébrique : multipliez et divisez par $3$ :

$\frac{\sin(3x)}{5x} = \frac{3}{5} \cdot \frac{\sin(3x)}{3x}$

Appliquez LF1 : quand $x \to 0$ , on a $3x \to 0$ . Par la substitution $u = 3x$ :

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$

Combinez :

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{5x} = \frac{3}{5} \cdot 1 = \frac{3}{5}$

Vérification : Pour $x = 0{,}001$ : $\sin(0{,}003)/0{,}005 \approx 0{,}002999.../0{,}005 \approx 0{,}5999...$ . Cohérent avec $3/5 = 0{,}6$ .

Source. OpenStax Calculus Volume 1, §2.3, Example 2.21 — licence CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 2· Limite avec (1 - cos x) via identité trigonométrique

Problème : Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ .

Stratégie : L'identité $1 - \cos x = 2\sin^2(x/2)$ transforme la limite en produit de deux facteurs impliquant LF1.

Résolution :

Appliquez l'identité : $1 - \cos x = 2\sin^2(x/2)$ .
Réécrivez la limite :

$\frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{2\sin^2(x/2)}{x^2} = 2 \cdot \frac{\sin^2(x/2)}{x^2}$

Forcez la forme LF1 : notez que $x^2 = 4 \cdot (x/2)^2$ :

$\frac{\sin^2(x/2)}{x^2} = \frac{\sin^2(x/2)}{4(x/2)^2} = \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{\sin(x/2)}{x/2}\right)^2$

Calculez :

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot 1^2 = \frac{1}{2}$

Vérification : Pour $x = 0{,}1$ : $(1 - \cos 0{,}1)/0{,}01 \approx 0{,}04998...$ , cohérent avec $0{,}5$ .

Source. APEX Calculus, §1.3, Example 1.3.4 — licence CC-BY-NC 4.0.

Example— 3· Définition de e via intérêts composés

Problème : Une application de 1€ rapporte 100% par an. Calculez le montant final avec capitalisation (a) annuelle, (b) mensuelle, (c) quotidienne et (d) continue.

Stratégie : Le montant avec $n$ capitalisations/année est $(1 + 1/n)^n$ . Conforme $n \to \infty$ , ce produit converge vers $e$ .

Résolution :

Capitalisation	$n$	$(1 + 1/n)^n$
Annuelle	1	$2{,}000000$
Semestrielle	2	$2{,}250000$
Trimestrielle	4	$2{,}441406$
Mensuelle	12	$2{,}613035$
Quotidienne	365	$2{,}714567$
Horaire	8760	$2{,}718127$
Continue	$\infty$	$e \approx 2{,}718282$

La différence entre capitalisation quotidienne et continue est seulement de 0,000001€ par euro investi. Cela justifie le modèle continu $V(T) = V_0 e^{rT}$ comme excellente approximation dans la pratique financière.

Formalisation : Par LF3,

$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$

Source. OpenStax Calculus Volume 1, §3.9 — licence CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 4· Réduction de limite composée à fondamentale

Problème : Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x \tan x}$ .

Stratégie : Décomposez l'expression en rapports de la forme LF1. Utilisez $\tan x = \sin x / \cos x$ pour séparer les facteurs connus.

Résolution :

Remplacez $\tan x$ :

$\frac{\sin(x^2)}{x \tan x} = \frac{\sin(x^2)}{x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin(x^2)}{x^2} \cdot x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}$

Identifiez les facteurs :

$= \underbrace{\frac{\sin(x^2)}{x^2}}_{\to 1} \cdot \underbrace{\frac{x}{\sin x}}_{\to 1} \cdot \underbrace{\cos x}_{\to 1}$

Pour le premier facteur : $u = x^2 \to 0$ quand $x \to 0$ , donc $\sin(x^2)/x^2 \to 1$ .

Pour le second : $x/\sin x = 1/(\sin x / x) \to 1$ .

Limite :

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x \tan x} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$

Vérification : Pour $x = 0{,}01$ : $\sin(0{,}0001)/(0{,}01 \cdot \tan 0{,}01) \approx 1{,}000...$ . Confirmé.

Source. APEX Calculus, §1.3, Exercises 1.3 — licence CC-BY-NC 4.0.

Example— 5· Indétermination 1^∞ via substitution

Problème : Calculez $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+3}{x-1}\right)^x$ .

Stratégie : La base tend vers $1$ et l'exposant vers $\infty$ : indétermination $1^\infty$ . Écrivez $A^B = e^{B \ln A}$ et calculez l'exposant séparément.

Résolution :

Réécrivez comme exponentielle :

$\left(\frac{x+3}{x-1}\right)^x = \exp\!\left(x \ln\frac{x+3}{x-1}\right)$

Simplifiez l'argument du logarithme :

$\ln\frac{x+3}{x-1} = \ln\!\left(1 + \frac{4}{x-1}\right)$

Calculez $x \ln(1 + 4/(x-1))$ : soit $u = 4/(x-1)$ ; quand $x \to \infty$ , $u \to 0^+$ . Alors $x - 1 = 4/u$ et $x = 4/u + 1$ :

$x \ln\!\left(1 + \frac{4}{x-1}\right) = \left(\frac{4}{u} + 1\right) \cdot u \cdot \frac{\ln(1+u)}{u} = (4 + u) \cdot \underbrace{\frac{\ln(1+u)}{u}}_{\to 1} \xrightarrow{u \to 0} 4$

Limite finale :

$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+3}{x-1}\right)^x = e^4$

Vérification : Pour $x = 10^4$ : $((10^4 + 3)/(10^4 - 1))^{10^4} \approx e^4 \approx 54{,}598$ . Confirmé.

Source. OpenStax Calculus Volume 1, §2.3, Exercises — licence CC-BY-NC-SA 4.0.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 28Understanding 4Modeling 7Challenge 1

Ex. 45.1Application
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}$ . (Resp: 3.)
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Ex. 45.2Application
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{\sin(3x)}$ .
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Ex. 45.3ApplicationAnswer key
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$ .
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Ex. 45.4Application
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ . (Resp: $1/2$ .)
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Ex. 45.5Application
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x}$ .
Solve online
Ex. 45.6Application
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^x$ .
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Ex. 45.7ApplicationAnswer key
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 0} (1 + 3x)^{1/x}$ . (Resp: $e^3$ .)
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Ex. 45.8Application
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x}$ .
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Ex. 45.9Application
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x}$ .
Solve online
Ex. 45.10Application
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 5x)}{x}$ .
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Ex. 45.11Application
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{3^x - 1}{x}$ . (Resp: $\ln 3$ .)
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Ex. 45.12Application
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^x$ .
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Ex. 45.13Application
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^5 - 1}{x}$ .
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Ex. 45.14Application
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x}$ .
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Ex. 45.15Application
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x}$ .
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Ex. 45.16Application
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin x}$ .
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Ex. 45.17ApplicationAnswer key
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x \ln x$ . (Resp: $0$ .)
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Ex. 45.18Application
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x^x$ .
Solve online
Ex. 45.19Application
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x}$ .
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Ex. 45.20ApplicationAnswer key
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x+1}\right)^x$ .
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Ex. 45.21Application
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 0} (\cos x)^{1/x^2}$ . (Resp: $e^{-1/2}$ .)
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Ex. 45.22Application
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+2}{x-1}\right)^x$ .
Solve online
Ex. 45.23ApplicationAnswer key
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 0} (1 + \sin x)^{1/x}$ .
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Ex. 45.24ApplicationAnswer key
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 1} x^{1/(x-1)}$ .
Solve online
Ex. 45.25ApplicationAnswer key
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$ .
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Ex. 45.26Application
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to \infty} x^2 e^{-x}$ .
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Ex. 45.27Application
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 1} \left(\frac{1}{1-x} - \frac{2}{1-x^2}\right)$ . (Resp: $-1/2$ .)
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Ex. 45.28ApplicationAnswer key
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 0} (e^x + x)^{1/x}$ .
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Ex. 45.29Modeling
Un capital de 1000€ est appliqué au taux continu de $5\%$ par an pendant 10 ans. Calculez le montant final en utilisant $V = V_0 e^{rT}$ , qui est $\displaystyle\lim_{n \to \infty} V_0\!\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nT}$ avec $r = 0{,}05$ et $T = 10$ . (Utilisez $e^{0{,}5} \approx 1{,}6487$ .)
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Ex. 45.30ModelingAnswer key
Un isotope radioactif a une demi-vie de 5 ans. Quelle fraction $N(12)/N_0$ reste après 12 ans ? Utilisez $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ avec $\lambda = \ln 2 / 5$ . (Resp: $\approx 0{,}188$ .)
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Ex. 45.31Modeling
L'équation du pendule simple est $\ddot{\theta} + (g/L)\sin\theta = 0$ . Justifiez mathématiquement pourquoi il est valide de remplacer $\sin\theta$ par $\theta$ pour les petites oscillations, et calculez l'erreur relative pour $\theta = 10°$ .
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Ex. 45.32Modeling
En optique paraxiale, on utilise $\sin\theta \approx \theta$ et $\tan\theta \approx \theta$ . Calculez l'erreur relative de chaque approximation pour $\theta = 5°$ et vérifiez que les deux restent en dessous de $0{,}5\%$ .
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Ex. 45.33Modeling
Événements rares : $n$ tentatives avec probabilité $p = \lambda/n$ chacune. Montrez que $P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ tend vers la distribution de Poisson $e^{-\lambda}\lambda^k/k!$ quand $n \to \infty$ avec $\lambda$ fixe. Quel limite fondamental est utilisée ?
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Ex. 45.34Modeling
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{1/x^2}$ . (Resp: $e^{-1/6}$ .)
Solve online
Ex. 45.35ModelingAnswer key
Calculez $\displaystyle\lim_{x \to \infty} x\bigl(\ln(x+1) - \ln x\bigr)$ .
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Ex. 45.36Understanding
Pourquoi $\sin(x)/x$ n'est pas définie en $x = 0$ , mais sa limite quand $x \to 0$ existe et vaut $1$ ?
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Ex. 45.37Understanding
Quelle est la condition essentielle pour appliquer le Théorème du Confrontement ?
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Ex. 45.38Understanding
Que définit la limite $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\!\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ , et quelle est sa relation avec la série $\sum_{k=0}^\infty 1/k!$ ?
Solve online
Ex. 45.39Understanding
Quelle est la connexion précise entre $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{x} = 1$ et la dérivée de $e^x$ ?
Solve online
Ex. 45.40Challenge
Défi. Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$ . (Resp: $1/2$ .)
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Sources

OpenStax Calculus Volume 1 — Strang, Herman et al. · 2016 · CC-BY-NC-SA 4.0. Source primaire. §2.3 (Lois des Limites et Théorème du Confrontement), §3.5 (Dérivées trigonométriques — preuve géométrique de sin(x)/x), §3.9 (Dérivées exponentielles et logarithmiques — définition de e via LF3).
APEX Calculus — Hartman et al. · 2024 · CC-BY-NC 4.0. §1.3 (Trouver les Limites Analytiquement). Exercices de manipulation algébrique, variantes de LF1 et LF3, défi de la tangente moins sinus.
Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA 4.0. §2.2 (Fonctions sinus et cosinus — modélisation du pendule et décroissance radioactive), §2.6 (Dérivées de fonctions inverses — limites d'arcsin et arctan). Exercices de modélisation.