v1 · padrão canônico

Leçon 46 — TVI et Taux de Variation Moyen

Théorème des Valeurs Intermédiaires (existence des racines, bisection) et Taux de Variation Moyen (pente de la sécante, pont vers la dérivée).

Used in: 2.º année du Lycée (calcul intro) · Équiv. Math II japonais §5 · Équiv. Analysis/Klasse 11 allemande

\text{TVM}_{[a,b]} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Définitions et théorèmes

Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)

"Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et $k$ est une valeur quelconque entre $f(a)$ et $f(b)$ , alors il existe au moins un nombre $c$ dans $(a, b)$ tel que $f(c) = k$ ." — OpenStax Calculus Volume 1, §2.4, Theorem 2.13

Corollaire (existence de racine). Si $f \in C([a, b])$ et $f(a) \cdot f(b) < 0$ , alors il existe $c \in (a, b)$ avec $f(c) = 0$ .

f(a) \cdot f(b) < 0 \implies \exists\, c \in (a,b) : f(c) = 0

what this means · Produit négatif équivaut à signes opposés : f(a) et f(b) sont de part et d'autre de zéro, donc f doit croiser zéro en un certain point intérieur.

Démonstration (esquisse via complétude). Supposons $f(a) < 0 < f(b)$ . Définissez $S = \{x \in [a, b] : f(x) < 0\}$ . L'ensemble $S$ est non-vide ( $a \in S$ ) et borné supérieurement par $b$ . Par complétude de $\mathbb{R}$ , il existe $c = \sup S \in [a, b]$ . Par continuité de $f$ , si $f(c) \neq 0$ on obtient une contradiction. Donc $f(c) = 0$ . $\square$

Pourquoi la continuité est indispensable. La fonction de Heaviside $H(x) = 0$ si $x < 0$ et $H(x) = 1$ si $x \geq 0$ satisfait $H(-1) = 0$ et $H(1) = 1$ , mais ne prend jamais la valeur $1/2$ — car elle a une discontinuité en $x = 0$ et n'est pas continue là.

Méthode de la Bisection

Étant donné $f \in C([a, b])$ avec $f(a)f(b) < 0$ , la bisection localise la racine de manière itérative. À chaque étape, on calcule le point médian et on garde la moitié où $f$ change de signe :

m_n = \frac{a_n + b_n}{2}, \qquad |c - m_n| \leq \frac{b - a}{2^{n+1}}

what this means · À chaque itération, le point médian m_n subdivise l'intervalle actuel. L'erreur diminue de moitié à chaque pas — convergence garantie et quantifiable.

Pour la précision $\varepsilon$ , on a besoin de $n \geq \lceil \log_2((b-a)/\varepsilon) \rceil - 1$ itérations.

Taux de Variation Moyen (TVM)

"Le taux de variation moyen de $f$ sur l'intervalle $[a, b]$ est $\text{AV}_{[a,b]} = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ . Géométriquement, le taux de variation moyen représente la pente de la droite passant par les points $(a, f(a))$ et $(b, f(b))$ ." — Active Calculus, §1.1, Definition 1.1.4

La notation avec $h = b - a$ est équivalente :

\text{TVM} = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}, \quad h = b - a \neq 0

what this means · En substituant b = a + h, le TVM s'exprime en termes de l'accroissement h. Quand h → 0, cette expression définit la dérivée — le taux de variation instantané.

Passage à la limite. Si $f$ est dérivable en $a$ :

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{b \to a} \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

La droite sécante relie (a, f(a)) à (b, f(b)). Sa pente est le TVM. Quand b → a, la sécante converge vers la droite tangente en a, dont la pente est f'(a).

Exemples résolus

Example— 1· TVI — existence de racine polynomiale

Problème. Montrez que $f(x) = x^3 - x - 1$ a au moins une racine dans l'intervalle $(1, 2)$ .

Stratégie. Vérifier que $f$ est continue (polynôme) et que $f(1)$ et $f(2)$ ont des signes opposés. Si oui, le TVI garantit l'existence.

Résolution.

Continuité : $f(x) = x^3 - x - 1$ est un polynôme, donc continu dans $\mathbb{R}$ , en particulier sur $[1, 2]$ .
Calculer les extrêmes :

$f(1) = 1^3 - 1 - 1 = -1 < 0$ $f(2) = 2^3 - 2 - 1 = 5 > 0$

Appliquer le TVI : comme $f(1) < 0 < f(2)$ et $f$ est continu sur $[1, 2]$ , par le TVI il existe $c \in (1, 2)$ tel que $f(c) = 0$ .

Vérification. $f(1{,}3) = 2{,}197 - 1{,}3 - 1 = -0{,}103 < 0$ et $f(1{,}4) = 2{,}744 - 1{,}4 - 1 = 0{,}344 > 0$ . Racine confirmée dans $(1{,}3;\; 1{,}4)$ . Numériquement, $c \approx 1{,}3247$ .

Source. Active Calculus §1.1, Example 1.1.2 — Boelkins · CC-BY-NC-SA. Adapté.

Example— 2· Bisection — 4 itérations et analyse d'erreur

Problème. Utilisez la méthode de bisection pour approximer la racine de $f(x) = x^3 - x - 1$ dans $(1, 2)$ avec 4 itérations. Quelle est l'erreur maximale après ces itérations ?

Stratégie. À chaque étape calculer le point médian $m$ , évaluer $f(m)$ et garder la moitié où le signe change.

Résolution.

Données initiales : $a_0 = 1$ , $b_0 = 2$ , $f(1) = -1 < 0$ , $f(2) = 5 > 0$ .

Itération 1 : $m_1 = (1 + 2)/2 = 1{,}5$ . $f(1{,}5) = 3{,}375 - 1{,}5 - 1 = 0{,}875 > 0$ . Nouvel intervalle : $[1;\; 1{,}5]$ .

Itération 2 : $m_2 = (1 + 1{,}5)/2 = 1{,}25$ . $f(1{,}25) = 1{,}953 - 1{,}25 - 1 = -0{,}297 < 0$ . Nouvel intervalle : $[1{,}25;\; 1{,}5]$ .

Itération 3 : $m_3 = (1{,}25 + 1{,}5)/2 = 1{,}375$ . $f(1{,}375) = 2{,}600 - 1{,}375 - 1 = 0{,}225 > 0$ . Nouvel intervalle : $[1{,}25;\; 1{,}375]$ .

Itération 4 : $m_4 = (1{,}25 + 1{,}375)/2 = 1{,}3125$ . $f(1{,}3125) = 2{,}259 - 1{,}3125 - 1 = -0{,}053 < 0$ . Nouvel intervalle : $[1{,}3125;\; 1{,}375]$ .

Erreur maximale après 4 itérations :

$|c - m_4| \leq \frac{b - a}{2^4} = \frac{1}{16} = 0{,}0625$

Vérification. Le point médian de $[1{,}3125;\; 1{,}375]$ est $1{,}34375 \approx 1{,}34$ , avec $f(1{,}34375) \approx -0{,}0059 < 0$ . La racine réelle $c \approx 1{,}3247$ est dans l'intervalle — confirmé.

Source. REAMAT — Cálculo Numérico §3.1, Exemple 3.1 — UFRGS · CC-BY 4.0.

Example— 3· TVM — cinématique et vitesse moyenne

Problème. La position (en mètres) d'une particule est $s(t) = t^2 + 3t$ pour $t$ en secondes. Calculez le TVM de $s$ sur l'intervalle $[1, 4]$ et interprétez.

Stratégie. Appliquer directement $\text{TVM} = (s(4) - s(1))/(4 - 1)$ . Ensuite comparer avec $s'(t) = 2t + 3$ pour trouver l'instant avec vitesse instantanée égale au TVM.

Résolution.

Calculer $s(1)$ et $s(4)$ :

$s(1) = 1 + 3 = 4 \text{ m}, \qquad s(4) = 16 + 12 = 28 \text{ m}$

Calculer le TVM :

$\text{TVM} = \frac{28 - 4}{4 - 1} = \frac{24}{3} = 8 \text{ m/s}$

Interprétation : la particule s'est déplacée de 24 m en 3 s, avec une vitesse moyenne de 8 m/s.
Connexion avec la dérivée : $s'(t) = 2t + 3$ . On veut $s'(c) = 8$ : $2c + 3 = 8 \Rightarrow c = 2{,}5 \in (1, 4)$ . Le Théorème des Valeurs Moyennes du Calcul (Leçon 56) garantira formellement que ce $c$ existe.

Vérification. $s'(1) = 5$ m/s, $s'(4) = 11$ m/s. Le TVM de 8 m/s est entre les vitesses instantanées aux extrêmes — correct.

Source. Active Calculus §1.1, Preview Activity 1.1.1 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Example— 4· TVM algébrique et passage à la limite

Problème. Pour $f(x) = x^2$ , calculez le TVM sur l'intervalle $[2, 2+h]$ ( $h \neq 0$ ) et montrez ce qui se passe quand $h \to 0$ .

Stratégie. Calculer le TVM en fonction de $h$ , simplifier algébriquement et prendre la limite — cela révèle $f'(2)$ .

Résolution.

TVM sur $[2, 2+h]$ :

$\text{TVM} = \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \frac{(2+h)^2 - 4}{h}$

Développer $(2+h)^2 = 4 + 4h + h^2$ :

$\text{TVM} = \frac{4 + 4h + h^2 - 4}{h} = \frac{4h + h^2}{h} = 4 + h \quad (h \neq 0)$

Passer à la limite :

$\lim_{h \to 0}(4 + h) = 4 = f'(2)$

Vérification. Pour $h = 1$ : TVM $= 5$ . Pour $h = 0{,}1$ : TVM $= 4{,}1$ . Pour $h = 0{,}01$ : TVM $= 4{,}01$ . La sécante converge vers la tangente à $(2, 4)$ avec pente 4.

Source. Active Calculus §1.3, Example 1.3.1 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Example— 5· TVM et TVI combinés — données tabulaires

Problème. La position (en km) d'un véhicule en fonction du temps (en heures) est :

$t$ (h)	0	0,5	1	1,5	2
$s(t)$ (km)	0	20	50	90	140

(a) Calculez le TVM dans chaque sous-intervalle de 0,5 h. (b) Calculez le TVM total sur $[0, 2]$ . (c) La vitesse instantanée a-t-elle atteint 80 km/h à un moment du trajet ?

Stratégie. Appliquer la formule du TVM dans chaque intervalle ; pour (c), utiliser le TVI appliqué à la fonction vitesse.

Résolution.

(a) TVMs par sous-intervalle :

$\text{TVM}_{[0;\, 0{,}5]} = \frac{20}{0{,}5} = 40 \text{ km/h}, \quad \text{TVM}_{[0{,}5;\, 1]} = \frac{30}{0{,}5} = 60 \text{ km/h}$ $\text{TVM}_{[1;\, 1{,}5]} = \frac{40}{0{,}5} = 80 \text{ km/h}, \quad \text{TVM}_{[1{,}5;\, 2]} = \frac{50}{0{,}5} = 100 \text{ km/h}$

(b) TVM total :

$\text{TVM}_{[0;\, 2]} = \frac{140 - 0}{2} = 70 \text{ km/h}$

(c) Vitesse de 80 km/h. En supposant $s$ différentiable, la vitesse $v(t) = s'(t)$ est continue. Par le TVM : $v$ vaut en moyenne 60 km/h sur $[0{,}5;\; 1]$ et 80 km/h sur $[1;\; 1{,}5]$ . Par le TVI appliqué à $v$ , il existe au moins un instant dans $[0{,}5;\; 1{,}5]$ où $v(t) = 80$ km/h. Réponse : oui.

Vérification. La vitesse moyenne sur $[0{,}5;\; 1{,}5]$ est $(90 - 20)/1 = 70$ km/h $< 80$ km/h, mais la vitesse a augmenté de 60 à 100 km/h dans les moitiés — doit avoir passé par 80 km/h à l'intérieur.

Source. Active Calculus §1.1, Example 1.1.3 et Exercises 1.1.3–1.1.5 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 22Understanding 4Modeling 10Challenge 3Proof 1

Ex. 46.1Application
Montrez, en utilisant le TVI, que $f(x) = x^3 - x - 1$ a au moins une racine réelle dans l'intervalle $(1, 2)$ . Quelle propriété de $f$ est nécessaire ? Justifiez dans les étapes.
Solve online
Ex. 46.2Application
Dans quel intervalle de longueur 1 la fonction $f(x) = x^3 - 2x - 5$ a-t-elle une racine, garantie par le TVI ? (Resp : $(2, 3)$ .)
Solve online
Ex. 46.3Application
L'équation $\cos x = x$ a-t-elle une solution sur $(0, \pi/2)$ ? (Resp : Oui.)
Solve online
Ex. 46.4Application
Montrez que l'équation $e^x + x = 3$ a une solution dans l'intervalle $(0, 1)$ . Définissez $f$ convenablement, vérifiez la continuité et appliquez le TVI.
Solve online
Ex. 46.5ApplicationAnswer key
Le TVI garantit-il une racine de $f(x) = x^5 + x^3 - 1$ dans $(0, 1)$ ? (Resp : Oui.)
Solve online
Ex. 46.6Understanding
Tout polynôme de degré impair a au moins une racine réelle. Pourquoi ?
Solve online
Ex. 46.7Application
Montrez que l'équation $\ln x = e^{-x}$ a une solution dans l'intervalle $(1, e)$ .
Solve online
Ex. 46.8Understanding
Si $f(a)$ et $f(b)$ ont le même signe, pouvons-nous conclure que $f$ n'a pas de racine dans $(a, b)$ ?
Solve online
Ex. 46.9ChallengeAnswer key
$f$ est continue sur $[0, 1]$ avec $f(0) = f(1)$ . Montrez qu'il existe $c \in [0, 1/2]$ avec $f(c) = f(c + 1/2)$ . Indication : définissez $g(x) = f(x) - f(x + 1/2)$ et appliquez le TVI.
Solve online
Ex. 46.10ApplicationAnswer key
Appliquez le TVI pour montrer que $f(x) = x^4 - 2x - 1$ a au moins une racine dans chacun des intervalles $(-1, 0)$ et $(1, 2)$ .
Solve online
Ex. 46.11ApplicationAnswer key
Appliquez 1 itération de la bisection à $f(x) = x^3 - x - 1$ sur $[1, 2]$ . Quel est le nouvel intervalle ? (Resp : $[1;\; 1{,}5]$ .)
Solve online
Ex. 46.12ApplicationAnswer key
Après la 2.ème itération de la bisection de $f(x) = x^3 - x - 1$ sur $[1, 2]$ , quel est l'intervalle ? (Resp : $[1{,}25;\; 1{,}5]$ .)
Solve online
Ex. 46.13Application
Quelle est l'erreur maximale après 3 itérations de la bisection sur $[1, 2]$ ? (Resp : $0{,}125$ .)
Solve online
Ex. 46.14Application
Combien d'itérations de bisection sur $[1, 2]$ sont nécessaires pour garantir une erreur inférieure à $10^{-5}$ ? Montrez le calcul. (Resp : 17.)
Solve online
Ex. 46.15Modeling
L'équation $x \cdot 2^x = 1$ a-t-elle une solution dans l'intervalle $(0, 1)$ ? (Resp : Oui.)
Solve online
Ex. 46.16ApplicationAnswer key
Combien d'itérations de bisection sur $[1, 2]$ garantissent une erreur inférieure à $10^{-6}$ ? (Resp : 20.)
Solve online
Ex. 46.17Challenge
Appliquez 4 itérations de bisection à $f(x) = \cos x - x$ sur $[0, \pi/2]$ . Exécutez les calculs sur papier et écrivez l'intervalle résultant à chaque itération.
Solve online
Ex. 46.18Modeling
Le Taux Interne de Retour (TIR) d'un projet est défini comme $\text{NPV}(r) = 0$ . Le TVI et la bisection peuvent-ils être utilisés pour la localiser ?
Solve online
Ex. 46.19ApplicationAnswer key
Calculez le TVM de $f(x) = x^2 + 3$ sur $[1, 4]$ . (Resp : 5.)
Solve online
Ex. 46.20Application
Calculez le TVM de $f(x) = -x^2 + 4x$ sur $[2, 4]$ . (Resp : $-2$ .)
Solve online
Ex. 46.21Application
Calculez le TVM de $f(x) = 2x^2 + 1$ sur $[2, 4]$ . (Resp : 12.)
Solve online
Ex. 46.22ApplicationAnswer key
Calculez le TVM de $f(x) = x^2$ sur l'intervalle $[2, 2+h]$ (avec $h \neq 0$ ). (Resp : $4 + h$ .)
Solve online
Ex. 46.23Application
Calculez le TVM de $f(x) = x^2 + x$ sur l'intervalle $[0, h]$ avec $h \neq 0$ . (Resp : $1 + h$ .)
Solve online
Ex. 46.24Application
Calculez le TVM de $f(x) = \sqrt{x}$ sur $[1, 3]$ . Laissez la réponse sous forme exacte. (Resp : $(\sqrt{3}-1)/2$ .)
Solve online
Ex. 46.25Application
Calculez le TVM de $f(x) = 1/x$ sur $[1/2, 1]$ . (Resp : $-2$ .)
Solve online
Ex. 46.26Application
La position d'un objet est $s(t) = 5t^2$ mètres ( $t$ en secondes). Quelle est la vitesse moyenne sur l'intervalle $[1, 4]$ s ? (Resp : 25 m/s.)
Solve online
Ex. 46.27Application
Calculez le TVM de $f(x) = x^2$ sur l'intervalle $[a, a+h]$ en fonction de $a$ et $h$ . Que se passe-t-il quand $h \to 0$ ? (Resp : $2a + h$ ; limite est $f'(a) = 2a$ .)
Solve online
Ex. 46.28ApplicationAnswer key
Calculez le TVM de $f(x) = 1/x$ sur l'intervalle $[a, a+h]$ en fonction de $a$ et $h$ . (Resp : $-1/(a(a+h))$ ; limite est $-1/a^2$ .)
Solve online
Ex. 46.29Modeling
La position d'une particule est $s(t) = t^2 + t$ mètres ( $t$ en secondes). Quelle est la vitesse moyenne sur l'intervalle $[2, 5]$ s ? (Resp : 8 m/s.)
Solve online
Ex. 46.30Modeling
La température d'une ville était $27\,°$ C à 0h et $15\,°$ C à 6h. Quel a été le taux de variation moyen de la température pendant la période ? (Resp : $-2\,°$ C/h.)
Solve online
Ex. 46.31Modeling
La fonction de coût de production est $C(q)$ (en R$). $C(100) = 1{.}000$ et $C(200) = 1{.}500$ . Quel est le coût marginal moyen de produire entre 100 et 200 unités ?
Solve online
Ex. 46.32Modeling
La hauteur d'un objet en chute libre est $h(t) = -4{,}9t^2 + 20$ mètres. Quelle est la vitesse moyenne sur l'intervalle $[0, 3]$ s ? (Resp : $-14{,}7$ m/s.)
Solve online
Ex. 46.33Modeling
La population d'une ville était 1.000.000 en 2020 et 1.030.000 en 2030. Quel a été le taux de variation moyen annuel de la population ? (Resp : 3.000 hab./an.)
Solve online
Ex. 46.34Modeling
Pour $s(t) = 5t^2$ m, calculez le TVM sur l'intervalle $[1, 1+h]$ en fonction de $h$ . Que se passe-t-il quand $h \to 0$ ? (Resp : $10 + 5h$ ; limite est 10 m/s.)
Solve online
Ex. 46.35ModelingAnswer key
Une action a été achetée pour R$ 100 et vendue pour R$ 115 après 2 ans. Quel a été le rendement en pourcentage total pendant la période ? (Resp : 15%.)
Solve online
Ex. 46.36Challenge
Pour $s(t) = t^2 + 3t$ , le TVM sur $[1, 4]$ est 8 m/s. Calculez $s'(t)$ et trouvez $c \in (1, 4)$ avec $s'(c) = 8$ . Quel résultat cela anticipe-t-il ?
Solve online
Ex. 46.37Modeling
Le chiffre d'affaires mensuel d'une entreprise est passé de R$ 700 en janvier à R$ 2.800 en juillet (6 mois). Quel a été le taux de variation moyen mensuel du chiffre d'affaires ? (Resp : R$ 350/mois.)
Solve online
Ex. 46.38Understanding
Quel est le sens géométrique du Taux de Variation Moyen $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ ?
Solve online
Ex. 46.39Understanding
Que garantit le TVI pour $f$ continue sur $[a, b]$ ?
Solve online
Ex. 46.40Proof
Démontrez formellement que la dérivée $f'(a)$ est la limite du Taux de Variation Moyen quand l'intervalle $[a, b]$ rétrécit au point $a$ .
Solve online

Sources

Active Calculus 2.0 — Matt Boelkins · Grand Valley State University · 2024 · CC-BY-NC-SA. Source primaire. §1.1 (How Do We Measure Velocity?) et §1.3 (The Derivative at a Point) — base des Exemples 3, 4, 5, Blocs C, D et E.
OpenStax Calculus: Volume 1 — OpenStax · Rice University · 2016 · CC-BY-NC-SA. §2.4 (Continuity et TVI) — base de l'Exemple 1 et Blocs A et E. §2.1 (A Preview of Calculus) — base du Bloc D.
REAMAT — Cálculo Numérico (Python) — UFRGS · 2024 · CC-BY 4.0. §3.1 (Método da Bisseção) — base de l'Exemple 2 et Bloc B.
Basic Analysis I — Jiří Lebl · 2024 · CC-BY-SA. §3.3 — démonstration du TVI via complétude de $\mathbb{R}$ (Porta formal).