v1 · padrão canônico

Lição 48 — Limites de funções trigonométricas

Continuidade de seno, cosseno e tangente; os dois limites fundamentais sin x/x e (1−cos x)/x; generalizações; teorema do confronto; aplicações em física.

Used in: 2.º ano do EM (16 anos) · Equiv. Math II japonês cap. 4 · Equiv. Klasse 11 alemã (Grenzwerte trigonometrischer Funktionen)

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Définition rigoureuse et techniques de manipulation

Continuité des fonctions trigonométriques

La limite fondamentale : preuve géométrique

Theorem· Limite fondamentale trigonométrique

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.$

Preuve (argument d'aire, $x \in (0, \pi/2)$ ). Considérez le cercle unitaire. Le secteur d'angle $x$ a une aire $x/2$ . Le triangle inscrit a une aire $(\sin x)/2$ et le triangle externe a une aire $(\tan x)/2$ . Par inclusion d'aires :

$\frac{\sin x}{2} \leq \frac{x}{2} \leq \frac{\tan x}{2}.$

Divisant par $(\sin x)/2 > 0$ :

$1 \leq \frac{x}{\sin x} \leq \frac{1}{\cos x}.$

Inversant (et renversant les inégalités) :

$\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1.$

Comme $\cos x \to 1$ lorsque $x \to 0^+$ , par le Théorème du Confronto : $\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1$ . Pour $x \to 0^-$ , utilisez que $\sin(-x)/(-x) = \sin x / x$ . Donc la limite bilatérale est 1. $\square$

"We can use the squeeze theorem to tackle several important limits. [...] The first involves the sine function." — OpenStax Calculus Volume 1, §2.3

Limites trigonométriques fondamentales

Definition· Tableau de limites avec x → 0

Limite	Valeur	Remarque
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}$	$1$	limite fondamentale
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x}$	$0$	via conjugué
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2}$	$\dfrac{1}{2}$	via identité $1 - \cos x = 2\sin^2(x/2)$
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x}$	$1$	$= \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x}$
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(ax)}{bx}$	$\dfrac{a}{b}$	substitution $u = ax$
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(ax)}{\sin(bx)}$	$\dfrac{a}{b}$	tous deux $\to$ 1 via limite fondamentale

Démonstrations des limites secondaires

$(1 - \cos x)/x^2 \to 1/2$ : en utilisant l'identité $1 - \cos x = 2\sin^2(x/2)$ :

$\frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{2\sin^2(x/2)}{x^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin^2(x/2)}{(x/2)^2} \to \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}.$

$\tan x / x \to 1$ :

$\frac{\tan x}{x} = \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x} \to 1 \cdot \frac{1}{1} = 1.$

$\sin(ax)/(bx) \to a/b$ : soit $u = ax$ ; quand $x \to 0$ , $u \to 0$ :

$\frac{\sin(ax)}{bx} = \frac{a}{b} \cdot \frac{\sin(ax)}{ax} = \frac{a}{b} \cdot \frac{\sin u}{u} \to \frac{a}{b}.$

Théorème du Confronto

Asymptotes verticales de $\tan$ , $\sec$ , $\csc$ , $\cot$

À $x = \pi/2 + k\pi$ ( $k \in \mathbb{Z}$ ) : $\cos x = 0$ et $\sin x = \pm 1$ , par conséquent :

$\lim_{x \to (\pi/2)^-} \tan x = +\infty, \quad \lim_{x \to (\pi/2)^+} \tan x = -\infty.$

De même, $\csc x = 1/\sin x$ a des asymptotes à $x = k\pi$ et $\cot x = \cos x / \sin x$ également.

Graphique de $\tan x$ proche de $x = \pm\pi/2$ : asymptotes verticales avec des limites latérales de signes opposés.

Exemplos resolvidos

Example— 1· Continuité et substitution directe

Problème : Calculez $\lim_{x \to \pi/3} (2\sin x + \cos x)$ .

Stratégie : Comme $\sin x$ et $\cos x$ sont continues sur tout $\mathbb{R}$ , et que les combinaisons linéaires de fonctions continues sont continues, nous pouvons simplement substituer $x = \pi/3$ .

Résolution :

Identifier la continuité : Les fonctions $\sin x$ et $\cos x$ sont continues sur $\mathbb{R}$ , donc la somme $2\sin x + \cos x$ aussi.
Substituer directement :

$\lim_{x \to \pi/3} (2\sin x + \cos x) = 2\sin\frac{\pi}{3} + \cos\frac{\pi}{3}.$

Calculer les valeurs :

$2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \sqrt{3} + \frac{1}{2}.$

Vérification numérique : $\pi/3 \approx 1{,}047$ ; $2\sin(1{,}047) + \cos(1{,}047) \approx 2(0{,}866) + 0{,}500 = 2{,}232 \approx \sqrt{3} + 0{,}5$ . Correct.

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1, §2.3, Example 2.23 — CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 2· Limite de la forme sin(ax)/bx

Problème : Calculez $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(5x)}{3x}$ .

Stratégie : Identifier la forme $\sin(ax)/(bx)$ avec $a = 5$ et $b = 3$ . Réécrire comme $\frac{a}{b} \cdot \frac{\sin(ax)}{ax}$ pour réduire à la limite fondamentale.

Résolution :

Réécrire en multipliant et divisant par 5 :

$\frac{\sin(5x)}{3x} = \frac{5}{3} \cdot \frac{\sin(5x)}{5x}.$

Appliquer la limite : À mesure que $x \to 0$ , $5x \to 0$ aussi. Par conséquent :

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{5x} = 1.$

Combiner :

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{3x} = \frac{5}{3} \cdot 1 = \frac{5}{3}.$

Vérification : Pour $x = 0{,}001$ : $\sin(0{,}005)/0{,}003 \approx 1{,}6\overline{6} = 5/3$ . Correct.

Fonte. APEX Calculus, §1.3, Example 1.3.4 — CC-BY-NC 4.0.

Example— 3· Limite avec tan et sin

Problème : Calculez $\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan(3x)}{\sin(5x)}$ .

Stratégie : Réécrire $\tan(3x) = \sin(3x)/\cos(3x)$ et séparer en facteurs qui tendent vers des limites connues.

Résolution :

Réécrire $\tan$ :

$\frac{\tan(3x)}{\sin(5x)} = \frac{\sin(3x)}{\cos(3x) \cdot \sin(5x)}.$

Multiplier et diviser par les arguments :

$= \frac{\sin(3x)}{3x} \cdot \frac{5x}{\sin(5x)} \cdot \frac{3}{5\cos(3x)}.$

Appliquer les limites connues :

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x} = 1, \quad \lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin(5x)} = 1, \quad \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos(3x)} = 1.$

Combiner :

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{\sin(5x)} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{5}.$

Vérification : Pour $x = 0{,}01$ : $\tan(0{,}03)/\sin(0{,}05) \approx 0{,}030009/0{,}049979 \approx 0{,}600 = 3/5$ . Correct.

Fonte. APEX Calculus, §1.3, Exercises p. 49 — CC-BY-NC 4.0.

Example— 4· Théorème du Confronto appliqué à une fonction oscillante

Problème : Calculez $\lim_{x \to 0} x^2 \cos\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$ .

Stratégie : La fonction $\cos(1/x)$ oscille sans limite quand $x \to 0$ . On ne peut pas utiliser le produit de limites. Mais comme $|\cos(1/x)| \leq 1$ , il est possible d'encapsuler $x^2\cos(1/x)$ entre deux fonctions dont la limite est 0 et d'appliquer le Théorème du Confronto.

Résolution :

Établir l'inégalité : Pour tout $x \neq 0$ , $-1 \leq \cos(1/x) \leq 1$ . En multipliant par $x^2 \geq 0$ :

$-x^2 \leq x^2\cos\!\left(\frac{1}{x}\right) \leq x^2.$

Calculer les limites des fonctions de frontière :

$\lim_{x \to 0} (-x^2) = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 0} x^2 = 0.$

Appliquer le Théorème du Confronto : Comme la fonction du milieu est prise en sandwich entre deux fonctions qui tendent vers 0 :

$\lim_{x \to 0} x^2\cos\!\left(\frac{1}{x}\right) = 0.$

Vérification : On ne peut pas écrire $\lim(x^2) \cdot \lim(\cos(1/x))$ car la seconde limite n'existe pas. Le confronto contourne cet obstacle avec élégance.

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1, §2.3, The Squeeze Theorem — CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 5· Approximation du petit angle pour le pendule

Problème : Pour les petits angles, montrez que la période du pendule se rapproche de $T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}$ en utilisant la limite $\lim_{\theta \to 0}\sin\theta/\theta = 1$ . Calculez l'erreur percentuelle relative dans $T$ pour $\theta_0 = 10°$ .

Stratégie : L'approximation $\sin\theta \approx \theta$ transforme l'équation différentielle non-linéaire en linéaire, dont la période est $T_0$ . La correction du premier ordre à la période vient de la série de Taylor de $\sin\theta$ .

Résolution :

Équation différentielle exacte : $\ddot\theta + (g/L)\sin\theta = 0$ .
Approximation des petits angles : Comme $\lim_{\theta \to 0} \sin\theta/\theta = 1$ , pour $\theta$ petit : $\sin\theta \approx \theta$ . L'équation devient :

$\ddot\theta + \frac{g}{L}\theta = 0.$

Ceci est l'oscillateur harmonique simple avec fréquence $\omega_0 = \sqrt{g/L}$ et période $T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}$ .

Correction du premier ordre : En utilisant $\sin\theta \approx \theta - \theta^3/6$ , l'expansion de la période exacte est :

$T = T_0 \left(1 + \frac{\theta_0^2}{16} + \cdots\right).$

Erreur relative pour $\theta_0 = 10°$ :

$\frac{T - T_0}{T_0} \approx \frac{\theta_0^2}{16} = \frac{(0{,}1745)^2}{16} \approx 0{,}0019 = 0{,}19\%.$

La période réelle dépasse $T_0$ de seulement $0{,}19\%$ pour les oscillations de $10°$ .

Vérification : Pour $\theta_0 = 30°$ : erreur $\approx (0{,}5236)^2/16 \approx 1{,}71\%$ — toujours petit mais non plus négligeable.

Fonte. Active Calculus, §2.2, Activity 2.2.2 — CC-BY-SA 4.0.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 30Understanding 4Modeling 3Challenge 2Proof 1

Ex. 48.1Application
Calculez $\lim_{x \to \pi/4} \sin x$ .
Solve online
Ex. 48.2Application
Calculez $\lim_{x \to \pi/2} \cos x$ .
Solve online
Ex. 48.3ApplicationAnswer key
Calculez $\lim_{x \to \pi/6} \tan x$ .
Solve online
Ex. 48.4Application
Calculez $\lim_{x \to \pi/3} (2\sin x + \cos x)$ .
Solve online
Ex. 48.5Application
Calculez $\lim_{x \to \pi} (\sin x + 2\cos x)$ .
Solve online
Ex. 48.6Understanding
Quelle affirmation sur la continuité de $\sin x$ , $\cos x$ et $\tan x$ est correcte ?
Solve online
Ex. 48.7Application
Calculez $\lim_{x \to 0} \sin x$ .
Solve online
Ex. 48.8Understanding
Que se passe-t-il avec $\lim_{x \to \pi/2} \tan x$ ?
Solve online
Ex. 48.9Application
Calculez $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(7x)}{x}$ .
Solve online
Ex. 48.10Application
Calculez $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(5x)}{3x}$ .
Solve online
Ex. 48.11ApplicationAnswer key
Calculez $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(2x)}{\sin(3x)}$ .
Solve online
Ex. 48.12Application
Calculez $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(4x)}{x}$ .
Solve online
Ex. 48.13Application
Calculez $\lim_{x \to \pi} \dfrac{\sin x}{x - \pi}$ .
Solve online
Ex. 48.14Application
Calculez $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x \sin(2x)}{x^2}$ .
Solve online
Ex. 48.15Application
Calculez $\lim_{x \to \pi/2} \dfrac{\cos x}{x - \pi/2}$ .
Solve online
Ex. 48.16ApplicationAnswer key
Calculez $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x}$ .
Solve online
Ex. 48.17Application
Calculez $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2}$ .
Solve online
Ex. 48.18Application
Calculez $\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x}$ .
Solve online
Ex. 48.19Application
Calculez $\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan(3x)}{\sin(2x)}$ .
Solve online
Ex. 48.20ApplicationAnswer key
Calculez $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos(3x)}{1 - \cos(2x)}$ .
Solve online
Ex. 48.21Application
Calculez $\lim_{x \to \pi} \dfrac{\sin(\pi - x)}{\pi - x}$ .
Solve online
Ex. 48.22ApplicationAnswer key
Calculez $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(a + x) - \sin a}{x}$ (où $a$ est constante).
Solve online
Ex. 48.23Application
Calculez $\lim_{x \to 0} \dfrac{\cos(a + x) - \cos a}{x}$ .
Solve online
Ex. 48.24ApplicationAnswer key
Calculez $\lim_{x \to 0} x \cot x$ .
Solve online
Ex. 48.25Application
Calculez $\lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x - \cos(3x)}{x^2}$ .
Solve online
Ex. 48.26ApplicationAnswer key
Calculez $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sec x - 1}{x^2}$ .
Solve online
Ex. 48.27ApplicationAnswer key
Calculez $\lim_{x \to 0} \dfrac{\arcsin(ax)}{x}$ (pour $a \neq 0$ constante).
Solve online
Ex. 48.28Application
Calculez $\lim_{x \to 0} \dfrac{\arctan(3x)}{\sin(2x)}$ .
Solve online
Ex. 48.29Application
Calculez $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(\sin x)}{x}$ .
Solve online
Ex. 48.30Application
Calculez $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin^2 x}{x}$ .
Solve online
Ex. 48.31Understanding
Pour calculer $\lim_{x \to 0} x^2\sin(1/x)$ , quelle méthode est correcte et pourquoi ?
Solve online
Ex. 48.32Understanding
Que se passe-t-il avec $\lim_{x \to 0} \sin(1/x)$ ?
Solve online
Ex. 48.33Application
Calculez $\lim_{x \to 0} x\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$ .
Solve online
Ex. 48.34Application
Calculez $\lim_{x \to 0} x^2\cos\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$ .
Solve online
Ex. 48.35Challenge
Calculez $\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x - \sin x}{x^3}$ .
Solve online
Ex. 48.36ChallengeAnswer key
Calculez $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(\sin x) - x}{x^3}$ .
Solve online
Ex. 48.37ProofAnswer key
Démontrez que $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$ en utilisant le Théorème du Confronto et l'argument d'aire du cercle unitaire.
Solve online
Ex. 48.38Modeling
Dans le motif de diffraction de fente unique, l'intensité est $I(\theta) \propto \left(\dfrac{\sin u}{u}\right)^2$ , avec $u = \pi a\sin\theta/\lambda$ . Que se passe-t-il au centre de l'écran ( $\theta = 0$ ) ?
Solve online
Ex. 48.39Modeling
L'approximation du petit angle $\sin\theta \approx \theta$ est fondamentale en ingénierie. Pour $\theta_0 = 5°$ , quelle affirmation est correcte sur l'erreur relative ?
Solve online
Ex. 48.40Modeling
La période du pendule avec amplitude $\theta_0$ suit $T \approx T_0(1 + \theta_0^2/16)$ . Calculez l'erreur percentuelle relative pour $\theta_0 = 30°$ et $\theta_0 = 45°$ . Pour quelle amplitude l'approximation commence-t-elle à être cliniquement problématique (erreur supérieure à 1%) ?
Solve online

Fontes

OpenStax Calculus Volume 1 — Strang & Herman · OpenStax · 2016 · §2.3 (The Limit Laws — trig limits, Squeeze Theorem), §2.4 (Continuity), §3.5 (Derivatives of Trig Functions) · CC-BY-NC-SA 4.0. Fonte primária para exercícios e exemplos.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2024 · §1.3 (Finding Limits Analytically — seção trigonométrica, pp. 48–49) · CC-BY-NC 4.0.
Active Calculus — Boelkins · 2024 · §2.2 (Sine and Cosine Functions, Activity 2.2.2) · CC-BY-SA 4.0.