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Lição 49 — Limite de sequências (formalizado)

Définition rigoureuse épsilon-N de convergence. Théorèmes fondamentaux : unicité, algèbre des limites, confrontation, monotone limitée, Bolzano-Weierstrass. Applications en algorithmes itératifs et finances.

Used in: 2.º ano do programa (17 anos) · Equiv. Math III japonês cap. 6 · Equiv. Klasse 12 LK Análise alemã · Equiv. H2 Math singapurense — Sequences & Series

\lim_{n \to \infty} a_n = L \iff \forall\,\varepsilon > 0,\; \exists N \in \mathbb{N} : n > N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Définition rigoureuse et théorèmes fondamentaux

Définition épsilon-N

« On dit que la suite $(x_n)$ converge vers un nombre $L$ si pour tout $\varepsilon > 0$ , il existe un $M \in \mathbb{N}$ tel que $|x_n - L| < \varepsilon$ pour tous $n \geq M$ . » — Lebl, Basic Analysis Vol. I, §2.1

« Une suite $(x_n)$ est une suite de Cauchy si pour tout $\varepsilon > 0$ il existe un $M \in \mathbb{N}$ tel que pour tous $n, k \geq M$ nous ayons $|x_n - x_k| < \varepsilon$ . » — Lebl, Basic Analysis Vol. I, §2.4

Interprétation géométrique

La bande horizontale $(L - \varepsilon, L + \varepsilon)$ capture tous les termes avec $n > N$ . Pour toute bande que vous choisissez (aussi étroite soit-elle), il existe un $N$ qui fonctionne.

Théorèmes fondamentaux

Théorème	Énoncé résumé
Algèbre des limites	$\lim(a_n \pm b_n) = \lim a_n \pm \lim b_n$ ; analogue pour le produit et le quotient (dénominateur $\neq 0$ )
Théorème de confrontation	$a_n \leq b_n \leq c_n$ et $\lim a_n = \lim c_n = L$ implique $\lim b_n = L$
Bolzano-Weierstrass	Toute suite bornée a une sous-suite convergente
Cauchy $\iff$ convergent	En $\mathbb{R}$ : toute suite de Cauchy converge (équivalence qui définit la complétude)

Limites remarquables

\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^p} = 0\;(p>0),\quad \lim_{n\to\infty}r^n = 0\;(|r|<1),\quad \lim_{n\to\infty}n^{1/n} = 1,\quad \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e.

what this means · Suites fondamentales dont les limites doivent être mémorisées.

Hiérarchie de croissance

\ln n \ll n^a \ll b^n \ll n! \ll n^n \quad (a > 0,\; b > 1).

what this means · Toute fonction à gauche croît beaucoup plus lentement que toute fonction à droite.

Exemplos resolvidos

Example— 1· Limite d'une suite rationnelle par division de puissance

Problème. Calculez $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 - 3n + 1}{n^2 + 5}$ .

Stratégie. Division du numérateur et du dénominateur par le plus grand degré de $n$ qui apparaît ( $n^2$ ). Après cela, chaque terme avec $n$ au dénominateur tend vers zéro.

Résolution.

Divisez le numérateur et le dénominateur par $n^2$ :

$\frac{2n^2 - 3n + 1}{n^2 + 5} = \frac{2 - 3/n + 1/n^2}{1 + 5/n^2}.$

Appliquez la limite en utilisant l'algèbre des limites. Chaque fraction $c/n^k \to 0$ :

$\lim_{n \to \infty} \frac{2 - 3/n + 1/n^2}{1 + 5/n^2} = \frac{2 - 0 + 0}{1 + 0} = 2.$

Vérification. Pour $n = 100$ : $(20000 - 300 + 1)/(10000 + 5) = 19701/10005 \approx 1{,}969$ . Pour $n = 10000$ : $(2 \cdot 10^8 - 30000 + 1)/(10^8 + 5) \approx 2{,}0003$ . Converge vers 2.

Source. OpenStax Calculus Volume 2, §5.1 — CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 2· Théorème de confrontation : suite oscillante divisée par n

Problème. Calculez $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n}$ .

Stratégie. La fonction $\sin n$ oscille sans converger, mais elle est toujours entre $-1$ et $1$ . Nous utilisons le théorème de confrontation en serrant la suite entre $-1/n$ et $1/n$ .

Résolution.

Utilisez l'inégalité fondamentale $-1 \leq \sin n \leq 1$ :

$-\frac{1}{n} \leq \frac{\sin n}{n} \leq \frac{1}{n} \quad \text{pour tout } n \geq 1.$

Calculez les limites des suites encadrantes :

$\lim_{n \to \infty} \left(-\frac{1}{n}\right) = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0.$

Par le théorème de confrontation, la suite du milieu va aussi à 0 :

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n} = 0.$

Vérification. Pour $n = 100$ : $\sin(100)/100 \approx -0{,}00506$ . Pour $n = 1000$ : $\sin(1000)/1000 \approx 0{,}000827$ . Tous deux proches de zéro.

Source. OpenStax Calculus Volume 2, §5.1, Example 5.7 — CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 3· Suite monotone limitée : convergence de (1+1/n)^n

Problème. Montrez que la suite $a_n = (1 + 1/n)^n$ est croissante et bornée supérieurement par 3, donc converge. Identifiez la limite.

Stratégie. Expansion binomiale pour montrer la croissance ; comparaison avec série géométrique pour la limite supérieure.

Résolution.

Expansion binomiale :

$a_n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \cdot \prod_{j=0}^{k-1}\left(1 - \frac{j}{n}\right).$

Chaque terme est croissant en $n$ : le produit $\prod_{j=0}^{k-1}(1 - j/n)$ augmente quand $n$ augmente. Donc $a_n$ est croissant.
Limite supérieure : chaque terme est au maximum $1/k!$ , donc :

$a_n \leq \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \leq 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = 1 + \frac{1}{1 - 1/2} = 3.$

Par le théorème de la monotone limitée, $(a_n)$ converge. Par définition, sa limite est $e \approx 2{,}71828$ .

Vérification. $a_{10} \approx 2{,}5937$ , $a_{100} \approx 2{,}7048$ , $a_{1000} \approx 2{,}7169$ . Croissant en direction de $e$ .

Source. OpenStax Calculus Volume 2, §5.1, Example 5.9 — CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 4· Suite récursive : point fixe et section dorée

Problème. Soit $F_n$ la suite de Fibonacci avec $F_1 = F_2 = 1$ et $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ . Déterminez $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}$ .

Stratégie. Nous définissons $r_n = F_{n+1}/F_n$ et dérivons une récurrence pour $r_n$ . Si la suite $r_n$ converge, sa limite satisfait une équation de point fixe.

Résolution.

Récurrence pour $r_n$ : De l'identité $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ , en divisant par $F_{n+1}$ :

$r_{n+1} = \frac{F_{n+2}}{F_{n+1}} = 1 + \frac{F_n}{F_{n+1}} = 1 + \frac{1}{r_n}.$

Valeurs initiales : $r_1 = 1$ , $r_2 = 2$ , $r_3 = 3/2 = 1{,}5$ , $r_4 = 5/3 \approx 1{,}667$ , $r_5 = 8/5 = 1{,}6$ , $r_6 = 13/8 = 1{,}625$ . La suite oscille en convergeant.
Équation de point fixe : Si $r_n \to L$ , en prenant la limite dans la récurrence :

$L = 1 + \frac{1}{L} \implies L^2 - L - 1 = 0 \implies L = \frac{1 + \sqrt 5}{2} = \varphi \approx 1{,}618.$

(Racine négative rejetée car $L > 0$ .)

Vérification. $r_{10} = 89/55 \approx 1{,}6182$ , $r_{15} = 987/610 \approx 1{,}6180$ . Converge vers $\varphi$ .

Source. Active Calculus, §8.1, Activity 8.1.6 — Boelkins · CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 5· Capitalisation composée et la limite e^r (modélisation financière)

Problème. Une banque offre 12% par an avec composition $n$ fois par an. Quel montant final sur R $1.000 quand$ n \to \infty $? Comparez avec la composition annuelle ($ n = 1 $) et mensuelle ($ n = 12$).

Stratégie. Nous exprimons le montant comme $A_n = 1000 \cdot (1 + r/n)^n$ et calculons la limite en utilisant la limite fondamentale $(1 + x/n)^n \to e^x$ .

Résolution.

Identifiez $r = 0{,}12$ . Le montant après 1 an avec $n$ compositions est :

$A_n = 1000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}12}{n}\right)^n.$

Utilisez la limite : $\left(1 + r/n\right)^n \to e^r$ quand $n \to \infty$ :

$A_\infty = 1000 \cdot e^{0{,}12} = 1000 \cdot 1{,}12749\ldots \approx \mathrm{R\$}\ 1127{,}50.$

Comparez les trois situations :

Composition	Formule	Montant
Annuelle ( $n=1$ )	$1000 \cdot (1{,}12)^1$	R$ 1.120,00
Mensuelle ( $n=12$ )	$1000 \cdot (1{,}01)^{12}$	R$ 1.126,83
Continue ( $n \to \infty$ )	$1000 \cdot e^{0{,}12}$	R$ 1.127,50

La différence entre composition continue et mensuelle est seulement de R$ 0,67 par an.

Vérification. $e^{0{,}12} = 1{,}12749...$ . Pour $n = 365$ (quotidienne) : $(1 + 0{,}12/365)^{365} \approx 1{,}12747$ — pratiquement égal au continu.

Source. Active Calculus, §8.1, Preview Activity 8.1 — Boelkins · CC-BY-NC-SA 4.0.

Exercise list

44 exercises · 11 with worked solution (25%)

Application 27Understanding 5Modeling 8Challenge 2Proof 2

Ex. 49.1Application
Déterminez $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1}$ . Résolvez dans votre cahier et vérifiez pour $n = 100$ et $n = 10000$ .
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Ex. 49.2Application
Calculez $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + n}{n^2 + 2}$ .
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Ex. 49.3Application
Calculez $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2 + 1}$ .
Solve online
Ex. 49.4Application
Calculez $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n}$ .
Solve online
Ex. 49.5Application
Calculez $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\cos^2 n}{n}$ .
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Ex. 49.6Application
Calculez $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n}$ .
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Ex. 49.7Application
Calculez $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n$ .
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Ex. 49.8ApplicationAnswer key
Calculez $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ . Esquissez les 10 premiers termes dans votre cahier et tracez l'approximation vers $e$ .
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Ex. 49.9Application
Calculez $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^n$ .
Solve online
Ex. 49.10ApplicationAnswer key
Calculez $\displaystyle\lim_{n \to \infty} n^{1/n}$ .
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Ex. 49.11Application
Calculez $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{3^n}{n!}$ .
Solve online
Ex. 49.12Application
Calculez $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n}$ .
Solve online
Ex. 49.13ApplicationAnswer key
Calculez $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n}$ .
Solve online
Ex. 49.14Application
Calculez $\displaystyle\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$ .
Solve online
Ex. 49.15Application
Calculez $\displaystyle\lim_{n \to \infty} n(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$ .
Solve online
Ex. 49.16Application
Calculez $\displaystyle\lim_{n \to \infty} (3^n + 4^n)^{1/n}$ .
Solve online
Ex. 49.17Application
Calculez $\displaystyle\lim_{n \to \infty} n \sin\!\left(\frac{1}{n}\right)$ .
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Ex. 49.18Understanding
La suite des sommes partielles $H_n = 1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} + \cdots + \tfrac{1}{n}$ (série harmonique) : elle converge ou diverge ?
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Ex. 49.19UnderstandingAnswer key
La suite des sommes partielles $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$ : elle converge ? Vers quelle valeur ?
Solve online
Ex. 49.20Application
Déterminez si $a_n = (-1)^n$ converge ou diverge. Justifiez en utilisant la définition épsilon- $N$ ou un argument d'unicité.
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Ex. 49.21Application
Soit $a_1 = 1$ et $a_{n+1} = \dfrac{1}{2}\!\left(a_n + \dfrac{2}{a_n}\right)$ (méthode de Héron pour $\sqrt{2}$ ). Calculez $\lim a_n$ .
Solve online
Ex. 49.22Application
Soit $a_1 = 1$ et $a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$ . Déterminez $\lim_{n \to \infty} a_n$ .
Solve online
Ex. 49.23Application
Soit $a_0 = 0$ et $a_{n+1} = \dfrac{a_n + 3}{2}$ . Déterminez $\lim a_n$ .
Solve online
Ex. 49.24ApplicationAnswer key
Soit $F_n$ la suite de Fibonacci. Déterminez $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}$ .
Solve online
Ex. 49.25Application
Calculez $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{n!}$ .
Solve online
Ex. 49.26ApplicationAnswer key
Calculez $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{3}{n}\right)^n$ .
Solve online
Ex. 49.27Application
Calculez $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n$ .
Solve online
Ex. 49.28Application
Calculez $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}$ .
Solve online
Ex. 49.29Application
Soit $a_1 = 1$ et $a_{n+1} = \dfrac{1}{1 + a_n}$ . Calculez $\lim a_n$ .
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Ex. 49.30Understanding
Pour $0 < r < 1$ , la suite des sommes partielles $S_n = \sum_{k=0}^n r^k$ : montrez qu'elle est croissante et bornée supérieurement, donc convergente. Vers quelle valeur ?
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Ex. 49.31ModelingAnswer key
R $1.000 investis pendant 1 an à 6% par an avec composition$ n $fois par an. Quel montant quand$ n \to \infty$ ?
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Ex. 49.32ModelingAnswer key
Un actif paie R$ 10 par mois indéfiniment (perpétuité). Avec un taux d'intérêt de 5% par mois, quelle est la valeur présente de ce flux ? Utilisez la formule de série géométrique.
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Ex. 49.33Modeling
La série $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n$ converge-t-elle ? Si oui, calculez la somme.
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Ex. 49.34Modeling
Une balle est lâchée de 5 mètres de hauteur et chaque rebond atteint 90% de la hauteur précédente. Quelle distance totale est parcourue ?
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Ex. 49.35Modeling
Une entreprise paie des dividendes de R$ 100 par mois indéfiniment. Avec un taux d'actualisation de 1% par mois, quelle est la juste valeur de l'entreprise aujourd'hui ?
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Ex. 49.36Modeling
R$ 1.000 investis à 12% par an avec composition continue gagnent combien après 1 an ? Comparez avec la composition annuelle.
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Ex. 49.37ModelingAnswer key
En économie, chaque R $de revenu se dépense <Eq>{`2/3`}</Eq> et s'épargne <Eq>{`1/3`}</Eq> (propension marginale à consommer <Eq>{`c = 2/3`}</Eq>). Quel est l'effet total (multiplicateur keynésien) d'une augmentation initiale de R$ 1 du revenu ?
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Ex. 49.38ModelingAnswer key
Un financement paie R$ 500 par mois indéfiniment à 1% par mois. Calculez la valeur présente totale en utilisant la limite de la série géométrique.
Solve online
Ex. 49.39Understanding
La suite $a_n = n$ est-elle convergente ? Justifiez en utilisant la définition épsilon- $N$ .
Solve online
Ex. 49.40Understanding
Prouvez que la suite des sommes partielles $S_n = \sum_{k=0}^n (1/2)^k$ est croissante et bornée supérieurement, donc converge par le théorème de la monotone limitée.
Solve online
Ex. 49.41ChallengeAnswer key
Calculez $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n$ . Calculez les 5 premières sommes partielles dans votre cahier pour confirmer la convergence.
Solve online
Ex. 49.42Challenge
Montrez que $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ converge. Calculez $S_{10}$ et comparez à $\pi^2/6$ .
Solve online
Ex. 49.43Proof
Démontrez rigoureusement via épsilon- $N$ que $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ .
Solve online
Ex. 49.44Proof
Prouvez le théorème de l'algèbre des limites : si $\lim a_n = L$ et $\lim b_n = M$ , alors $\lim (a_n + b_n) = L + M$ .
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Fontes

Lebl — Basic Analysis: Introduction to Real Analysis — Jiří Lebl · CC-BY-NC-SA · §2.1–2.4 (Sequences). Définition épsilon-N, unicité, Cauchy, Bolzano-Weierstrass. Référence primaire pour la rigueur.
Active Calculus — Matt Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA · §8.1 (Sequences) et §8.2 (Geometric Series). Activités avec suites récursives, Fibonacci, applications financières.
OpenStax Calculus Volume 2 — Strang et al. · CC-BY-NC-SA 4.0 · §5.1 (Sequences). Limites remarquables, hiérarchie de croissance, exemples avec $(1+1/n)^n \to e$ et exercices de calcul avec solutions complètes.