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Lição 50 — Consolidação Trim 5: limites e continuidade

Workshop integrador do Trimestre 5. Limites ε-δ, leis dos limites, limites fundamentais, continuidade, TVI, assíntotas e sequências convergentes.

Used in: 2.º ano EM (16-17 anos) · Equiv. Analysis I (Gymnasium alemão) · Equiv. Math II japonês — seção limites

\lim_{x \to a} f(x) = L \;\iff\; \forall\,\varepsilon > 0,\;\exists\,\delta > 0 : 0 < |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x)-L| < \varepsilon

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Carte des théorèmes du Trim 5

Définition centrale

"On dit que la limite de $f(x)$ , lorsque $x$ tend vers $a$ , est $L$ , et on écrit $\lim_{x \to a} f(x) = L$ , si pour tout nombre $\varepsilon > 0$ il existe un nombre $\delta > 0$ tel que si $0 < |x - a| < \delta$ , alors $|f(x) - L| < \varepsilon$ ." — OpenStax Calculus Volume 1, §2.5

Carte du Trimestre 5

Leçon	Sujet	Résultat central
41	Limite formelle	Définition $\varepsilon$ - $\delta$
42	Lois des limites	Somme, produit, quotient, théorème du sandwich
43	Continuité	$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ ; types de discontinuité
44	Limites latérales et infinies	Limite existe $\iff$ $\lim^- = \lim^+$ ; asymptotes verticales
45	Limites fondamentales	$\sin x/x \to 1$ ; $(1+1/n)^n \to e$
46	TVI et Weierstrass	Existence de racines et valeurs intermédiaires
47	Asymptotes	Verticales, horizontales, obliques
48	Limites trigonométriques	Manipulation de $\sin$ , $\cos$ , $\tan$
49	Suites	Cauchy, Bolzano-Weierstrass, monotone bornée

Tableau-résumé des principaux théorèmes

Théorème	Hypothèse	Conclusion
Sandwich (Squeeze)	$g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ et $\lim g = \lim h = L$	$\lim f = L$
TVI	$f \in C([a,b])$ , $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$	$\exists\,c \in (a,b)$ avec $f(c) = k$
Weierstrass	$f \in C([a,b])$	$f$ atteint le maximum et le minimum
Bolzano-Weierstrass	$(a_n)$ bornée dans $\mathbb{R}$	Possède une sous-suite convergente
Monotone bornée	$(a_n)$ croissante (décr.) et bornée supérieurement (inf.)	Converge
Cauchy	$(a_n)$ est suite de Cauchy dans $\mathbb{R}$	$(a_n)$ converge

Fiche-résumé des indéterminations

Forme	Technique standard
$0/0$ polynomiale	Factoriser et annuler le facteur nul
$0/0$ avec racines	Multiplier par le conjugué
$0/0$ trigonométrique	Limites fondamentales $\sin x/x \to 1$
$\infty/\infty$ rationnelle	Diviser par le plus grand degré
$1^\infty$	$A^B = e^{B \ln A}$ , calculer $\lim B \ln A$
$0 \cdot \infty$	Réécrire comme $\frac{0}{1/\infty}$ ou $\frac{\infty}{1/0}$
$\infty - \infty$	Facteur commun ou conjugué

Hiérarchie de croissance

$\ln n \ll n^a \ll a^n \ll n! \ll n^n \quad (a > 1,\; n \to \infty)$

Limites fondamentales à mémoriser

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \qquad \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}

what this means · Limite fondamentale trigonométrique — utilisée pour toute limite avec sinus divisé par l'argument.

\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1, \qquad \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1

what this means · Limites exponentielles et logarithmiques — base de toute limite 1 à l'infini.

\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e, \qquad \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^a

what this means · Définition de e comme limite — le nombre d'Euler apparaît naturellement dans les intérêts composés continus.

Exemplos resolvidos

Example— 1· Limite 0/0 por fatoração

Problema: Calcule $\displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ .

Estratégia: Substituição direta produz $0/0$ . O numerador é diferença de quadrados e fatora, revelando o fator $(x-3)$ que cancela com o denominador.

Resolução:

Substituição direta: $\dfrac{9-9}{3-3} = \dfrac{0}{0}$ . Indeterminado — não podemos concluir.
Fatorar: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ .
Cancelar (válido pois $x \neq 3$ na definição de limite): $\lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = \lim_{x \to 3} (x+3) = 6.$

Verificação: Para $x = 2{,}99$ : $(2{,}99 + 3) = 5{,}99 \approx 6$ . Para $x = 3{,}01$ : $(3{,}01 + 3) = 6{,}01 \approx 6$ . Ambos convergem a 6.

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1, §2.3, Example 2.17 — licença CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 2· TVI — existência de raiz

Problema: Mostre que $f(x) = x^3 - 2x - 1$ tem pelo menos uma raiz real no intervalo $(1, 2)$ .

Estratégia: Verificar que $f$ é contínua em $[1,2]$ e que $f(1)$ e $f(2)$ têm sinais opostos. O TVI garante a existência.

Resolução:

Continuidade: $f$ é polinomial, portanto contínua em todo $\mathbb{R}$ , em particular em $[1, 2]$ .
Avaliar os extremos: $f(1) = 1 - 2 - 1 = -2 < 0, \qquad f(2) = 8 - 4 - 1 = 3 > 0.$
Aplicar TVI: Como $f \in C([1,2])$ e $f(1) < 0 < f(2)$ , existe $c \in (1, 2)$ com $f(c) = 0$ .

Verificação: Bisseção: $f(1{,}5) = 3{,}375 - 3 - 1 = -0{,}625 < 0$ , logo $c \in (1{,}5, 2)$ . A raiz real é $c \approx 1{,}618$ (a razão áurea, pois $\varphi^3 = 2\varphi + 1$ ).

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1, §2.4, Example 2.38 — licença CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 3· Assíntotas vertical, horizontal e oblíqua

Problema: Determine todas as assíntotas de $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 2}$ .

Estratégia: Verificar assíntota vertical (denominador zero), horizontal (graus) e oblíqua (divisão quando $\deg P = \deg Q + 1$ ).

Resolução:

Assíntota vertical: $x = 2$ anula o denominador e $f(2)$ está indefinida. Como $(x^2+1)|_{x=2} = 5 \neq 0$ : $\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty.$ Logo $x = 2$ é assíntota vertical.

Assíntota horizontal: $\deg(x^2+1) = 2 > 1 = \deg(x-2)$ , portanto não existe assíntota horizontal.

Assíntota oblíqua: Divisão euclidiana de $x^2 + 1$ por $x - 2$ : $\frac{x^2 + 1}{x - 2} = x + 2 + \frac{5}{x - 2}.$ Como $\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{5}{x-2} = 0$ , a reta $y = x + 2$ é assíntota oblíqua nos dois sentidos.

Verificação: Para $x = 100$ : $f(100) = 10001/98 \approx 102{,}05$ e $y(100) = 102$ . Diferença $\approx 0{,}05 \to 0$ . Correto.

Fonte. APEX Calculus, §1.6, Example 1.6.2 — licença CC-BY-NC 4.0.

Example— 4· Limite fundamental trigonométrico com substituição

Problema: Calcule $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{5x}$ .

Estratégia: Reescrever para aplicar $\lim_{u \to 0} \sin u/u = 1$ com substituição $u = 3x$ .

Resolução:

Reescrever: $\dfrac{\sin(3x)}{5x} = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{\sin(3x)}{3x}$ .
Aplicar o limite fundamental: Quando $x \to 0$ , também $3x \to 0$ , então $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x} = 1$ .
Resultado: $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{5x} = \frac{3}{5} \cdot 1 = \frac{3}{5}$ .

Verificação: Para $x = 0{,}01$ : $\sin(0{,}03)/0{,}05 \approx 0{,}02999/0{,}05 \approx 0{,}5998$ . Converge a $0{,}6 = 3/5$ .

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1, §2.3, Checkpoint 2.20 — licença CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 5· Sequência recursiva — monótona limitada

Problema: Seja $a_1 = 1$ e $a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$ . Mostre que $(a_n)$ converge e encontre seu limite.

Estratégia: Provar por indução que $(a_n)$ é crescente e limitada superiormente por 2. Pelo teorema da sequência monótona limitada, $(a_n)$ converge. O limite satisfaz uma equação de ponto fixo.

Resolução:

Passo 1 — Limitação superior: Por indução, $a_n \leq 2$ para todo $n$ .

Base: $a_1 = 1 \leq 2$ .
Passo: se $a_n \leq 2$ , então $a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} \leq \sqrt{4} = 2$ .

Passo 2 — Crescimento: Para $a_n \in [1, 2]$ : $a_{n+1}^2 - a_n^2 = 2 + a_n - a_n^2 = -(a_n^2 - a_n - 2) = -(a_n - 2)(a_n + 1) \geq 0$ . Como $a_n > 0$ , segue $a_{n+1} > a_n$ .

Passo 3 — Limite: Seja $L = \lim a_n$ . Passando ao limite em $a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$ : $L = \sqrt{2 + L} \implies L^2 - L - 2 = 0 \implies (L-2)(L+1) = 0.$ Como $a_n \geq 1$ , temos $L \geq 1$ , logo $L = 2$ .

Verificação: $a_1 = 1,\ a_2 \approx 1{,}73,\ a_3 \approx 1{,}93,\ a_4 \approx 1{,}98$ . A sequência converge rapidamente para 2.

Fonte. Active Calculus, §8.1, Activity 8.1.3 — licença CC-BY-SA 4.0.

Exercise list

50 exercises · 12 with worked solution (25%)

Application 26Understanding 8Modeling 6Challenge 8Proof 2

Ex. 50.1ApplicationAnswer key
Calcule $\lim_{x \to 2} (3x^2 - x + 1)$ .
Solve online
Ex. 50.2Application
Calcule $\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ .
Ex. 50.3Application
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(5x)}{x}$ .
Solve online
Ex. 50.4Application
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2}$ .
Solve online
Ex. 50.5Application
Calcule $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{3}{x}\right)^x$ .
Solve online
Ex. 50.6Application
Calcule $\lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^2 + x}{x^2 - 5}$ .
Solve online
Ex. 50.7Application
Calcule $\lim_{x \to 0^+} x \ln x$ .
Solve online
Ex. 50.8Application
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{2x} - 1}{\sin(3x)}$ .
Solve online
Ex. 50.9Application
Calcule $\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + x} - x\right)$ .
Solve online
Ex. 50.10ApplicationAnswer key
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(1 + 5x)}{x}$ .
Solve online
Ex. 50.11Application
Seja $f(x) = \sin x / x$ para $x \neq 0$ e $f(0) = 1$ . Verifique as três condições de continuidade em $x = 0$ .
Solve online
Ex. 50.12Application
Determine $a$ tal que $f(x) = x + a$ (se $x < 0$ ) e $f(x) = x^2 + 1$ (se $x \geq 0$ ) seja contínua em $x = 0$ .
Solve online
Ex. 50.13Application
Classifique as descontinuidades de $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6}$ .
Solve online
Ex. 50.14Application
Use o TVI para mostrar que $f(x) = x^3 - 2x - 1$ tem raiz real em $(1, 2)$ .
Solve online
Ex. 50.15Modeling
Mostre que $\cos x = x^2$ tem solução em $(0, 1)$ via TVI. Calcule $g(0)$ e $g(1)$ explicitamente.
Ex. 50.16Understanding
Qual das afirmações sobre continuidade e limites é correta?
Solve online
Ex. 50.17Modeling
Em circuito RC, $V(t) = V_\infty(1 - e^{-t/RC})$ . Qual é o tempo para $V$ atingir 99% de $V_\infty$ ? Qual é $\lim_{t \to \infty} V(t)$ ?
Solve online
Ex. 50.18Modeling
Em decaimento radioativo $N(t) = N_0 e^{-t/\tau}$ , calcule a meia-vida em termos de $\tau$ e $\lim_{t \to \infty} N(t)$ .
Solve online
Ex. 50.19Understanding
Explique por que o Teorema de Weierstrass requer o intervalo $[a, b]$ fechado e limitado. Dê um contraexemplo em cada caso (intervalo aberto e intervalo ilimitado).
Solve online
Ex. 50.20Challenge
Mostre que $e^x = 5x$ tem solução em $(0, 2)$ via TVI. Calcule $g(0)$ e $g(2)$ numericamente.
Ex. 50.21ApplicationAnswer key
Determine $\lim_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x}$ e $\lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x}$ . O limite bilateral $\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x}$ existe?
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Ex. 50.22Application
Determine as assíntotas de $f(x) = \dfrac{x + 3}{x - 2}$ .
Solve online
Ex. 50.23Application
Determine todas as assíntotas de $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 2}$ .
Solve online
Ex. 50.24Application
Determine as assíntotas de $f(x) = \arctan x + \dfrac{1}{x}$ .
Solve online
Ex. 50.25Understanding
Qual é a condição necessária e suficiente para que $\lim_{x \to a} f(x)$ exista?
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Ex. 50.26Application
Calcule $\lim_{x \to \pi/2^-} \tan(x) \cdot (\pi/2 - x)$ .
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Ex. 50.27UnderstandingAnswer key
Descreva o comportamento assintótico de $f(x) = e^{-x}$ : identifique assíntotas horizontais e verticais, se existirem. Interprete o gráfico.
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Ex. 50.28Modeling
Em controle, $H(s) = \dfrac{s+1}{s^2 + 4s + 5}$ . Calcule $H(0)$ e $\lim_{|s| \to \infty} H(s)$ . Classifique o filtro.
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Ex. 50.29Challenge
Use o teorema do confronto para calcular $\lim_{x \to 0} x^2 \sin^2(1/x)$ .
Solve online
Ex. 50.30Challenge
Calcule $\lim_{n \to \infty} \left(1 - \dfrac{2}{n}\right)^n$ .
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Ex. 50.31Application
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan(3x)}{x}$ .
Solve online
Ex. 50.32Application
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x - x}{x^3}$ .
Solve online
Ex. 50.33Application
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos(2x)}{x^2}$ .
Solve online
Ex. 50.34UnderstandingAnswer key
Por que $\lim_{x \to 0} \sin x / x = 1$ é válido em radianos mas não em graus? Qual seria o valor desse limite se $x$ estivesse em graus?
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Ex. 50.35ApplicationAnswer key
Calcule $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$ .
Solve online
Ex. 50.36Modeling
Capital $P$ aplicado com juros compostos $n$ vezes por ano à taxa $R$ : montante $= P(1 + R/n)^n$ . Calcule $\lim_{n \to \infty}(1 + R/n)^n$ e interprete no contexto de capitalização contínua.
Solve online
Ex. 50.37ChallengeAnswer key
Analise $\lim_{x \to 0} (\sin x)^{1/x}$ : calcule os limites laterais e diga se o bilateral existe.
Solve online
Ex. 50.38ProofAnswer key
Demonstre via definição $\varepsilon$ - $\delta$ que $\lim_{x \to 3}(2x - 1) = 5$ .
Ex. 50.39Proof
Demonstre via definição $\varepsilon$ - $\delta$ que $\lim_{x \to 0} x^2 = 0$ . Escolha $\delta$ explicitamente em função de $\varepsilon$ .
Ex. 50.40ChallengeAnswer key
Calcule $\lim_{n \to \infty} (n!)^{1/n^2}$ . Use a aproximação de Stirling: $\ln(n!) \approx n \ln n - n$ .
Solve online
Ex. 50.41Application
A sequência $a_n = \dfrac{2n+1}{3n-2}$ converge ou diverge? Se converge, calcule o limite.
Solve online
Ex. 50.42ApplicationAnswer key
Calcule $\lim_{n \to \infty} \dfrac{n!}{n^n}$ .
Solve online
Ex. 50.43Application
A sequência $a_n = (-1)^n / n$ converge? Se sim, para qual valor?
Solve online
Ex. 50.44Understanding
Qual é a relação entre sequências de Cauchy e sequências convergentes em $\mathbb{R}$ ?
Solve online
Ex. 50.45UnderstandingAnswer key
Enuncie o Teorema da Sequência Monótona Limitada. Por que a condição de monotonia é necessária além da limitação? Dê um contraexemplo.
Solve online
Ex. 50.46Modeling
Calcule $\lim_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{n} \cdot \dfrac{1}{1 + (k/n)^2}$ . Interprete como integral de Riemann.
Solve online
Ex. 50.47ChallengeAnswer key
A sequência $(\sin n)_{n \in \mathbb{N}}$ tem alguma subsequência convergente? Justifique invocando o teorema correto.
Solve online
Ex. 50.48Challenge
Calcule $\lim_{n \to \infty} n^{1/n}$ .
Solve online
Ex. 50.49Challenge
Seja $f(x) = x\cos(1/x)$ para $x \neq 0$ e $f(0) = 0$ . Verifique se $f$ é contínua em 0. Verifique se $f$ é derivável em 0. Justifique cada resposta.
Solve online
Ex. 50.50Understanding
Como a definição de derivada $f'(a)$ é um caso especial de limite? Interprete geometricamente a passagem de secante para tangente.
Solve online

Fontes

OpenStax Calculus Volume 1 — Strang & Herman · 2016 · Capítulo 2 (§2.1–§2.5): Limites, leis dos limites, continuidade, TVI, definição ε-δ. Licença CC-BY-NC-SA 4.0. Fonte primária deste consolidado.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2024 · Capítulo 1 (§1.1–§1.6): limites, técnicas de cálculo, assíntotas, limites trigonométricos. Licença CC-BY-NC 4.0.
Active Calculus — Boelkins · 2024 · §1.1–§1.7 (limites e taxas de variação) + §8.1 (sequências e convergência). Licença CC-BY-SA 4.0.
OpenStax Calculus Volume 2 — Strang & Herman · 2016 · §5.1: Sequências, convergência, Bolzano-Weierstrass, Cauchy. Licença CC-BY-NC-SA 4.0.