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Lição 51 — Dérivée : définition via limite

Dérivée comme limite du taux de variation moyen. Droite tangente. La différentiabilité implique la continuité, mais non l'inverse. Calcul par la définition pour les fonctions élémentaires.

Used in: 2.º ano do EM (16–17 anos) · Equiv. Math II japonês (微分) · Equiv. Klasse 11 alemã (Analysis)

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Définition rigoureuse et théorèmes

Définition de la dérivée

« On dit qu'une fonction $f$ est différentiable en $x = a$ si et seulement si $f'(a)$ existe. […] La dérivée mesure le taux instantané de variation de la fonction, ainsi que la pente de la droite tangente à la fonction au point donné. » — Boelkins, Active Calculus §1.3

« La dérivée d'une fonction $f(x)$ en un point $a$ de son domaine, si elle existe, est $f'(a) = \lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ . » — OpenStax Calculus Vol. 1, §3.1

Notations équivalentes

f'(x) \;=\; \frac{df}{dx} \;=\; \frac{dy}{dx} \;=\; Df(x) \;=\; \dot{f}(x)

what this means · Todas as notações abaixo representam o mesmo objeto — a derivada de f. Leibniz (dy/dx), Lagrange (f'), Newton (f com ponto) e o operador D são as mais usadas.

L'expression $\frac{df}{dx}\Big|_{x=a}$ désigne la dérivée évaluée au point $a$ .

De la sécante à la tangente — géométrie de la limite

La droite sécante (orange) passe par les points (a, f(a)) et (a+h, f(a+h)). Au fur et à mesure que h → 0, la sécante tourne jusqu'à coïncider avec la droite tangente (dorée). La dérivée est le coefficient directeur de cette limite.

Droite tangente et droite normale

Si $f$ est différentiable en $a$ :

Droite tangente en $(a, f(a))$ : $\quad y - f(a) = f'(a)(x - a)$
Droite normale en $(a, f(a))$ (perpendiculaire à la tangente, si $f'(a) \neq 0$ ) : $\quad y - f(a) = -\dfrac{1}{f'(a)}(x - a)$

Théorème fondamental de différentiabilité

« Si $f$ est différentiable en $a$ , alors $f$ est continue en $a$ . […] La réciproque n'est pas vraie, et une fonction peut être continue mais ne pas être différentiable en un point. » — OpenStax Calculus Vol. 1, §3.2

Points de non-différentiabilité

Dérivées fondamentales via la définition

Fonction $f(x)$	$f'(x)$
$c$ (constante)	$0$
$x$	$1$
$x^2$	$2x$
$x^3$	$3x^2$
$x^n$ ( $n \in \mathbb{Z}$ )	$n x^{n-1}$
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^2}$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

Exemples résolus

Example— 1· Dérivée de $x^2$ par la définition

Problème : Utilise la définition de dérivée pour calculer $f'(x)$ sachant que $f(x) = x^2$ .

Stratégie : On applique directement $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ et on simplifie algébriquement pour éliminer $h$ du dénominateur avant de prendre la limite.

Résolution :

Calcule $f(a+h)$ : $f(a+h) = (a+h)^2 = a^2 + 2ah + h^2$
Constitue le quotient de différence : $\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \frac{a^2 + 2ah + h^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h}$
Annule $h$ (valide car $h \neq 0$ dans le processus de limite) : $\frac{2ah + h^2}{h} = \frac{h(2a + h)}{h} = 2a + h$
Prends la limite : $f'(a) = \lim_{h \to 0}(2a + h) = 2a$

Puisque $a$ est arbitraire, la fonction dérivée est $f'(x) = 2x$ .

Vérification : En $x = 3$ , $f'(3) = 6$ . La droite tangente passe par $(3, 9)$ avec la pente 6 : $y = 6x - 9$ . Point de contrôle : $f(3{,}1) = 9{,}61$ et $y(3{,}1) = 6(3{,}1) - 9 = 9{,}6$ — la tangente approche bien le graphe pour $h$ petit. $\checkmark$

Source. Active Calculus, §1.3, Activité 1.3.2 — licence CC-BY-SA 4.0.

Example— 2· Dérivée de $1/x$ par la définition

Problème : Calcule $f'(a)$ pour $f(x) = \dfrac{1}{x}$ , avec $a \neq 0$ , en utilisant la définition.

Stratégie : L'étape critique est de combiner les fractions au numérateur en une seule fraction, ce qui permet d'annuler $h$ au dénominateur.

Résolution :

Quotient de différence : $\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \frac{\dfrac{1}{a+h} - \dfrac{1}{a}}{h}$
Combine les fractions au numérateur (plus petit dénominateur commun $a(a+h)$ ) : $= \frac{\dfrac{a - (a+h)}{a(a+h)}}{h} = \frac{-h}{h \cdot a(a+h)}$
Annule $h$ : $= \frac{-1}{a(a+h)}$
Prends la limite $h \to 0$ : $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{a(a+h)} = \frac{-1}{a \cdot a} = -\frac{1}{a^2}$

Résultat : $(1/x)' = -1/x^2$ . Géométriquement : l'hyperbole $y = 1/x$ a une tangente avec pente négative pour tout $x \neq 0$ — la fonction est toujours décroissante dans les demi-plans $x > 0$ et $x < 0$ .

Vérification : En $a = 2$ : $f'(2) = -1/4$ . Droite tangente : $y - 1/2 = -\tfrac{1}{4}(x-2) \Rightarrow y = -x/4 + 1$ . En $x = 2{,}1$ : tangente donne $0{,}475$ ; $f(2{,}1) = 1/2{,}1 \approx 0{,}476$ . $\checkmark$

Source. OpenStax Calculus Volume 1, §3.1, Exemple 3.6 — licence CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 3· Équation de la droite tangente à $x^3$

Problème : Trouve l'équation de la droite tangente au graphe de $f(x) = x^3$ au point $x = 2$ .

Stratégie : La droite tangente a pour équation $y - f(a) = f'(a)(x - a)$ . On a besoin de $f(a)$ et $f'(a)$ .

Résolution :

Calcule $f(2) = 2^3 = 8$ . Le point de tangence est $(2, 8)$ .
Calcule $f'(a)$ via la définition : $\frac{(a+h)^3 - a^3}{h} = \frac{a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3 - a^3}{h} = \frac{3a^2h + 3ah^2 + h^3}{h} = 3a^2 + 3ah + h^2$

$f'(a) = \lim_{h \to 0}(3a^2 + 3ah + h^2) = 3a^2$

Donc $f'(2) = 3 \cdot 4 = 12$ .

Équation de la droite tangente : $y - 8 = 12(x - 2) \implies y = 12x - 16$

Vérification : En $x = 2{,}1$ : $f(2{,}1) = (2{,}1)^3 = 9{,}261$ ; tangente : $y = 12(2{,}1) - 16 = 9{,}2$ . Erreur absolue $0{,}061$ — croît avec $h^2$ comme prévu pour une approximation linéaire. $\checkmark$

Source. APEX Calculus, §2.1, Exemple 2.1.3 — licence CC-BY-NC 4.0.

Example— 4· Non-différentiabilité : le point anguleux du module

Problème : Enquête si $f(x) = |x|$ est différentiable en $x = 0$ .

Stratégie : On calcule les dérivées latérales $f'_-(0)$ et $f'_+(0)$ séparément. Si elles diffèrent, $f$ n'est pas différentiable en $0$ .

Résolution :

Dérivée latérale droite ( $h \to 0^+$ , donc $h > 0$ , donc $|h| = h$ ) : $f'_+(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{|0+h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1$
Dérivée latérale gauche ( $h \to 0^-$ , donc $h < 0$ , donc $|h| = -h$ ) : $f'_-(0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{|0+h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1$
Conclusion : $f'_+(0) = 1 \neq -1 = f'_-(0)$ .

Puisque les dérivées latérales diffèrent, $f(x) = |x|$ n'est pas différentiable en $x = 0$ — il y a un point anguleux sur le graphe. Note que $f$ est continue en $0$ (car $\lim_{x\to 0}|x| = 0 = |0|$ ), confirmant que la continuité n'implique pas la différentiabilité.

Vérification : Le graphe de $|x|$ a une pente $+1$ pour $x > 0$ et $-1$ pour $x < 0$ . Il n'existe pas de droite tangente unique en $x = 0$ . $\checkmark$

Source. Active Calculus, §1.7, Activité 1.7.3 — licence CC-BY-SA 4.0.

Example— 5· Coût marginal — application économique

Problème : Une entreprise produit $q$ unités d'un produit avec coût total $C(q) = q^2 + 30q + 500$ reais. Calcule le coût marginal en $q = 50$ unités en utilisant la définition de dérivée et interprète le résultat.

Stratégie : Coût marginal = $C'(q)$ , le taux de variation instantanée du coût par rapport à la quantité. On le calcule par la définition et on l'évalue en $q = 50$ .

Résolution :

Quotient de différence : $\frac{C(q+h) - C(q)}{h} = \frac{(q+h)^2 + 30(q+h) + 500 - (q^2 + 30q + 500)}{h}$

$= \frac{q^2 + 2qh + h^2 + 30q + 30h + 500 - q^2 - 30q - 500}{h} = \frac{2qh + h^2 + 30h}{h}$

$= 2q + h + 30$

Prends la limite : $C'(q) = \lim_{h \to 0}(2q + h + 30) = 2q + 30$
Évalue en $q = 50$ : $C'(50) = 2(50) + 30 = 130 \text{ reais}$

Interprétation : Lors de la production de 50 unités, chaque unité supplémentaire coûte environ R$ 130. Remarque que $C(51) - C(50) = (2601 + 1530 + 500) - (2500 + 1500 + 500) = 4631 - 4500 = 131$ reais — le coût marginal sous-estime de R$ 1 (différence de second ordre en $h$ ).

Vérification : $C'(q) = 2q + 30 > 0$ pour tout $q > 0$ : coûts croissants, comme prévu. En $q = 0$ : $C'(0) = 30$ — le coût marginal de la première unité est R$ 30. $\checkmark$

Source. OpenStax Calculus Volume 1, §3.1, Exemple appliqué — coût marginal — licence CC-BY-NC-SA 4.0.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 10Modeling 7Challenge 2Proof 1

Ex. 51.1Application
Calcule $f'(3)$ pour $f(x) = x^2$ en utilisant la définition de dérivée. (Rép : $6$ .)
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Ex. 51.2Application
Calcule $f'(a)$ pour $f(x) = x^3$ en utilisant la définition. (Rép : $3a^2$ .)
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Ex. 51.3Application
Calcule $f'(a)$ pour $f(x) = c$ (constante réelle) par la définition. (Rép : $0$ .)
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Ex. 51.4ApplicationAnswer key
Calcule $f'(a)$ pour $f(x) = mx + b$ (fonction affine) par la définition. (Rép : $m$ .)
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Ex. 51.5Application
Calcule $f'(2)$ pour $f(x) = 2x^2 + 3x$ par la définition. (Rép : $11$ .)
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Ex. 51.6Application
Calcule $f'(1)$ pour $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$ par la définition. (Rép : $-1$ .)
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Ex. 51.7Application
Calcule la fonction dérivée $f'(x)$ pour $f(x) = 2x^2 - x + 3$ par la définition. (Rép : $4x - 1$ .)
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Ex. 51.8Application
Utilise la définition pour calculer $f'(a)$ sachant que $f(x) = x^4$ . (Rép : $4a^3$ .)
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Ex. 51.9ApplicationAnswer key
Calcule $f'(0)$ pour $f(x) = x^2 - x$ par la définition. (Rép : $-1$ .)
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Ex. 51.10ApplicationAnswer key
Calcule $f'(a)$ pour $f(x) = 2x^3 - 2x$ par la définition. (Rép : $6a^2 - 2$ .)
Solve online
Ex. 51.11Application
Calcule $f'(2)$ pour $f(x) = 1/x$ par la définition. (Rép : $-1/4$ .)
Solve online
Ex. 51.12ApplicationAnswer key
Calcule $f'(4)$ pour $f(x) = \sqrt{x}$ par la définition. (Rép : $1/4$ .)
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Ex. 51.13ApplicationAnswer key
Calcule $f'(1)$ pour $f(x) = 1/x$ par la définition et écris l'équation de la droite tangente en $x = 1$ . (Rép : $f'(1) = -1$ ; tangente $y = -x + 2$ .)
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Ex. 51.14Application
Détermine l'équation de la droite tangente à $y = x^2$ au point $x = 2$ .
Solve online
Ex. 51.15ApplicationAnswer key
Détermine l'équation de la droite tangente à $y = 1/x$ au point $x = 1$ .
Solve online
Ex. 51.16Application
Pour $f(x) = x^2 - 4x$ , à quelle valeur de $x$ la droite tangente est-elle horizontale ? Détermine aussi le point du graphe. (Rép : $x = 2$ ; point $(2, -4)$ .)
Solve online
Ex. 51.17Application
Calcule $f'(9)$ pour $f(x) = \sqrt{x}$ par la définition. (Rép : $1/6$ .)
Solve online
Ex. 51.18Application
Calcule $f'(a)$ pour $f(x) = 1/x^2$ par la définition. (Rép : $-2/a^3$ .)
Solve online
Ex. 51.19Application
Équation de la droite tangente à $y = x^3$ en $x = 2$ .
Solve online
Ex. 51.20ApplicationAnswer key
Détermine l'équation de la droite normale à $y = x^2$ au point $x = 1$ . (Rép : $y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$ .)
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Ex. 51.21Understanding
La fonction $f(x) = |x|$ est-elle différentiable en $x = 0$ ? Justifie en calculant les dérivées latérales.
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Ex. 51.22Understanding
La fonction $f(x) = x|x|$ est-elle différentiable en $x = 0$ ? (Rép : oui, $f'(0) = 0$ .)
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Ex. 51.23Understanding
Analyse $f(x) = \sqrt[3]{x}$ en $x = 0$ . La limite du quotient de différence existe-t-elle ? (Rép : $+\infty$ — tangente verticale.)
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Ex. 51.24UnderstandingAnswer key
Soit $f(x) = \begin{cases} x^2 & x \leq 1 \\ 3x - 2 & x > 1 \end{cases}$ . Est-ce que $f$ est différentiable en $x = 1$ ? Calcule les dérivées latérales. (Rép : non différentiable ; $f'_-(1) = 2 \neq 3 = f'_+(1)$ .)
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Ex. 51.25Understanding
Soit $f(x) = x^2\sin(1/x)$ pour $x \neq 0$ et $f(0) = 0$ . Montre que $f'(0) = 0$ . (Rép : utilise le théorème de l'étau — $|h\sin(1/h)| \leq |h| \to 0$ .)
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Ex. 51.26Understanding
Soit $f(x) = x\sin(1/x)$ pour $x \neq 0$ et $f(0) = 0$ . La fonction est-elle différentiable en $x = 0$ ?
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Ex. 51.27Understanding
Soit $f(x) = \begin{cases} x^2 & x \geq 0 \\ -x^2 & x < 0 \end{cases}$ . Calcule $f'(0)$ par les dérivées latérales. (Rép : $f'(0) = 0$ .)
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Ex. 51.28Understanding
Interprète géométriquement : que signifie $f'(a) > 0$ , $f'(a) < 0$ et $f'(a) = 0$ ?
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Ex. 51.29Understanding
Quelle est la relation correcte entre différentiabilité et continuité ?
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Ex. 51.30Understanding
Explique, avec un exemple numérique, pourquoi la différence centrale $\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$ est plus précise numériquement que la différence forward $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ .
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Ex. 51.31ModelingAnswer key
Un objet se déplace avec position $s(t) = 2t^2$ mètres. Quelle est sa vitesse instantanée en $t = 2$ s ?
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Ex. 51.32Modeling
Position $s(t) = t^2 + 5t$ mètres. Calcule la vitesse instantanée en $t = 3$ s par la définition de dérivée. (Rép : $11$ m/s.)
Solve online
Ex. 51.33Modeling
Coût $C(q) = q^2 + 30q + 500$ reais. Quel est le coût marginal en $q = 50$ unités ?
Solve online
Ex. 51.34Modeling
Population $P(t) = 100 + 5t^2$ individus. Calcule le taux de croissance en $t = 4$ ans par la définition de dérivée. (Rép : $40$ individus/an.)
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Ex. 51.35Modeling
En machine learning, la fonction de perte est $L(\theta) = (\theta - 3)^2$ . Calcule $L'(\theta)$ par la définition et trouve le $\theta$ qui minimise $L$ . (Rép : $L'(\theta) = 2\theta - 6$ ; minimum en $\theta = 3$ .)
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Ex. 51.36Modeling
Charge électrique $q(t) = t^2 + 2t$ coulombs. Le courant $i(t) = q'(t)$ . Calcule $i(2)$ .
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Ex. 51.37Modeling
Volume d'une sphère $V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3$ . Calcule le taux de variation du volume par rapport au rayon en $r = 2$ cm. (Rép : $16\pi$ cm³/cm. Bonus : relie le résultat à l'aire de la surface.)
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Ex. 51.38Challenge
Détermine $k$ tel que $f(x) = x^2 + kx$ ait une droite tangente horizontale au point $x = -3/2$ . (Rép : $k = 3$ .)
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Ex. 51.39ChallengeAnswer key
Prouve que si $f$ est une fonction paire et différentiable en $x = 0$ , alors $f'(0) = 0$ . (Indice : utilise la définition des dérivées latérales et la propriété $f(-x) = f(x)$ .)
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Ex. 51.40Proof
Soit $h(x) = f(x) + g(x)$ , avec $f$ et $g$ différentiables en $a$ . Utilise la définition de dérivée pour démontrer que $h'(a) = f'(a) + g'(a)$ (règle de la somme).
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Sources

Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · CC-BY-SA 4.0. Chapitres §1.1 (vitesse instantanée), §1.3 (dérivée en un point), §1.4 (dérivée comme fonction), §1.7 (limites, continuité et différentiabilité). Source primaire. Activités guidées sur sécante→tangente, interprétation graphique et les points anguleux du module.
Calculus, Volume 1 — OpenStax · Herman, Strang et al. · CC-BY-NC-SA 4.0. Chapitres §3.1 (Defining the Derivative), §3.2 (The Derivative as a Function). Exercices étendus avec calcul par la définition et applications en physique, économie et biologie.
APEX Calculus — Hartman et al. · 5e éd. · CC-BY-NC 4.0. Chapitre §2.1 (Instantaneous Rates of Change). Traitement formel avec exemples de droite tangente et normale, tableau des dérivées fondamentales via la définition.