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Lição 52 — Regras de derivação

As regras algébricas de derivação — potência, constante múltipla, soma, produto, quociente — e as derivadas das funções elementares. Nunca mais limite na prática.

Used in: 2.º ano do EM (16 anos) · Equiv. AP Calculus AB Unit 2 · Equiv. Calculus I §3.3–3.5 · Equiv. Math III japonês cap. 3

(fg)' = f'g + fg'

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Définitions et théorèmes formels

Tableau des dérivées élémentaires

Definition· Dérivées des fonctions élémentaires

Soit $f$ dérivable en $x$ . Les dérivées ci-dessous sont des conséquences directes de la définition par limite et sont considérées comme des résultats fondamentaux :

Fonction $f(x)$	Dérivée $f'(x)$	Condition
$c$ (constante)	$0$	$c \in \mathbb{R}$
$x^n$	$n x^{n-1}$	$n \in \mathbb{R}$
$\sin x$	$\cos x$	—
$\cos x$	$-\sin x$	—
$\tan x$	$\sec^2 x$	$x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$
$e^x$	$e^x$	—
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$	$x > 0$
$a^x$	$a^x \ln a$	$a > 0, a \neq 1$
$\log_a x$	$\dfrac{1}{x \ln a}$	$x > 0, a > 0, a \neq 1$

Règles opératoires

Theorem· Règles de dérivation (Leibniz et Cauchy)

Soient $f$ et $g$ des fonctions dérivables en $x$ , et $c \in \mathbb{R}$ une constante. Alors :

(c)' = 0

(R1)

what this means · Constante : la dérivée de tout nombre constant est zéro, car il n'y a pas de variation.

(x^n)' = n x^{n-1}

(R2)

what this means · Règle de la puissance : l'exposant descend comme coefficient et diminue de 1. Valide pour tout exposant réel.

(c f)' = c f'

(R3)

what this means · Multiple constant : les constantes traversent la dérivée sans modification.

(f \pm g)' = f' \pm g'

(R4)

what this means · Somme et différence : la dérivée se distribue sur les sommes et les différences.

(fg)' = f'g + fg'

(R5)

what this means · Règle du produit (Leibniz) : le produit génère deux termes. Chacun différencie l'un des facteurs en laissant l'autre intact.

\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}, \quad g \neq 0

(R6)

what this means · Règle du quotient : le numérateur est f prime g moins f g prime ; le dénominateur est g au carré. Le signe moins au numérateur est critique — ne pas inverser l'ordre.

"Si $f$ et $g$ sont des fonctions dérivables, alors la dérivée du produit $(fg)'$ existe et est donnée par $f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ ." — Active Calculus §2.3

Démonstration de la règle du produit

Theorem· Preuve de la règle du produit à partir de la définition

Soit $h(x) = f(x) g(x)$ . Par définition :

$h'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x)\,g(x + \Delta x) - f(x)\,g(x)}{\Delta x}$

Ajoutez et soustrayez $f(x+\Delta x)\,g(x)$ au numérateur :

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{[f(x+\Delta x) - f(x)]\,g(x+\Delta x) + f(x)\,[g(x+\Delta x) - g(x)]}{\Delta x}$

En séparant les limites et en utilisant la continuité de $g$ (toute fonction dérivable est continue, donc $g(x + \Delta x) \to g(x)$ ) :

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \cdot g(x) + f(x) \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

$\blacksquare$

Exemples résolus

Example— 1· Dérivée de polynôme (application directe des règles R2–R4)

Problème : Calculez $f'(x)$ pour $f(x) = 4x^5 - 3x^3 + 7x - 2$ .

Stratégie : Polynôme = somme de monômes. Appliquez R4 (linéarité), R2 (puissance) et R1 (constante) terme par terme.

Résolution :

$f'(x) = (4x^5)' - (3x^3)' + (7x)' - (2)'$

En appliquant R3 (multiple constant) et R2 (puissance) :

$= 4 \cdot 5x^4 - 3 \cdot 3x^2 + 7 \cdot 1 - 0$

$= 20x^4 - 9x^2 + 7$

Vérification : Chaque exposant a diminué de 1 ; chaque coefficient a multiplié par l'exposant original. La constante $-2$ a disparu (R1). Correct.

Source. Active Calculus §2.1 Exercise 2.1.3 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA.

Example— 2· Règle du produit — polynomiale fois trigonométrique

Problème : Calculez $h'(x)$ pour $h(x) = x^3 \sin x$ .

Stratégie : $h = f \cdot g$ avec $f(x) = x^3$ et $g(x) = \sin x$ . Appliquez R5 : $(fg)' = f'g + fg'$ .

Résolution :

$f(x) = x^3 \Rightarrow f'(x) = 3x^2$
$g(x) = \sin x \Rightarrow g'(x) = \cos x$

En appliquant R5 :

$h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = 3x^2 \sin x + x^3 \cos x$

Forme factorisée (optionnelle) : $h'(x) = x^2(3 \sin x + x \cos x)$

Vérification : Deux termes (correct pour produit). Premier : a dérivé $x^3$ , gardé $\sin x$ . Deuxième : gardé $x^3$ , dérivé $\sin x$ . Les deux règles élémentaires appliquées correctement.

Source. Active Calculus §2.3 Exercise 2.3.2 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Règle du quotient — fonction rationnelle

Problème : Calculez $k'(x)$ pour $k(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 3}$ , $x \neq 3$ .

Stratégie : $k = f/g$ avec $f(x) = x^2 + 1$ et $g(x) = x - 3$ . Appliquez R6.

Résolution :

$f'(x) = 2x$
$g'(x) = 1$

En appliquant R6 :

$k'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} = \frac{2x(x-3) - (x^2+1) \cdot 1}{(x-3)^2}$

$= \frac{2x^2 - 6x - x^2 - 1}{(x-3)^2} = \frac{x^2 - 6x - 1}{(x-3)^2}$

Attention : Le numérateur est $f'g - fg'$ , pas $fg' - f'g$ . Le signe moins n'est pas commutatif — inverser l'ordre crée l'erreur la plus fréquente dans cette règle.

Source. OpenStax Calculus Vol. 1 §3.3 Example 3.28 — OpenStax · 2016 · CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Produit d'exponentielle avec trigonométrique

Problème : Calculez $p'(x)$ pour $p(x) = e^x \cos x$ .

Stratégie : Produit de $f(x) = e^x$ et $g(x) = \cos x$ . Appliquez R5 avec les dérivées du tableau.

Résolution :

$f'(x) = e^x$ (remarquable : $e^x$ dérive sur lui-même)
$g'(x) = -\sin x$

En appliquant R5 :

$p'(x) = e^x \cos x + e^x \cdot (-\sin x) = e^x(\cos x - \sin x)$

Vérification : En $x = 0$ : $p(0) = e^0 \cos 0 = 1$ et $p'(0) = e^0(\cos 0 - \sin 0) = 1 - 0 = 1$ . La tangente en $(0, 1)$ a une pente de 1, ce qui est géométriquement raisonnable (la fonction croît avec une pente de 1 à l'origine).

Source. Active Calculus §2.2 Exercise 2.2.3 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Équation de la droite tangente avec point critique

Problème : Trouvez l'équation de la droite tangente à la courbe $y = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ au point où $x = 1$ .

Stratégie : (a) Calculez $y(1)$ pour obtenir le point de tangence. (b) Calculez $y'(x)$ par la règle du quotient. (c) Évaluez $y'(1)$ . (d) Écrivez sous forme point-pente.

Résolution :

(a) Point de tangence :

$y(1) = \frac{1}{1^2 + 1} = \frac{1}{2}$

Point : $\left(1, \dfrac{1}{2}\right)$ .

(b) Dérivée par quotient avec $f = x$ et $g = x^2 + 1$ :

$y'(x) = \frac{f'g - fg'}{g^2} = \frac{1 \cdot (x^2+1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}$

(c) Coefficient angulaire en $x = 1$ :

$y'(1) = \frac{1 - 1}{(1+1)^2} = \frac{0}{4} = 0$

(d) Équation de la tangente :

$y - \frac{1}{2} = 0 \cdot (x - 1) \implies y = \frac{1}{2}$

La tangente en $x = 1$ est horizontale — ce qui a du sens, car $y = x/(x^2+1)$ a un maximum local à ce point (la fonction croît de $x=0$ jusqu'à $x=1$ puis décroît).

Source. OpenStax Calculus Vol. 1 §3.3 Exercise 176 — OpenStax · 2016 · CC-BY-NC-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 27Understanding 4Modeling 7Challenge 1Proof 1

Ex. 52.1Application
Calculez $(x^5)'$ .
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Ex. 52.2Application
Calculez la dérivée de $f(x) = 3x^2 - 4x + 1$ .
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Ex. 52.3ApplicationAnswer key
Calculez $(\sqrt{x})'$ . Conseil : écrivez comme $x^{1/2}$ et appliquez R2.
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Ex. 52.4Application
Calculez $\left(\dfrac{1}{x^2}\right)'$ .
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Ex. 52.5ApplicationAnswer key
Calculez $f'(x)$ pour $f(x) = 4x^5 - 3x^3 + 7x - 2$ .
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Ex. 52.6Application
Calculez $\left(-\dfrac{1}{x^3}\right)'$ .
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Ex. 52.7Application
Calculez $f'(x)$ pour $f(x) = x^2\sqrt{x} - x\sqrt{x}$ .
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Ex. 52.8Application
Calculez $f'(x)$ pour $f(x) = x^3 + 2x$ .
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Ex. 52.9Application
Calculez $\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)'$ .
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Ex. 52.10ApplicationAnswer key
Calculez $g'(x)$ pour $g(x) = 3x^4 - 3x^2$ .
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Ex. 52.11Application
Calculez $(\sin x \cdot \cos x)'$ .
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Ex. 52.12ApplicationAnswer key
Calculez $(x e^x)'$ .
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Ex. 52.13Application
Calculez $(x \ln x)'$ .
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Ex. 52.14Application
Calculez $(x^2 \sin x)'$ .
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Ex. 52.15ApplicationAnswer key
Calculez $(e^x \cos x)'$ .
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Ex. 52.16Application
Calculez $(x^2 e^x)'$ .
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Ex. 52.17ApplicationAnswer key
Calculez $(\tan x \cdot e^x)'$ .
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Ex. 52.18Application
Calculez $(x \sin x)'$ .
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Ex. 52.19Application
Calculez $(x^3 \ln x)'$ .
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Ex. 52.20Understanding
Généralisation de la règle du produit. Si $f$ , $g$ , $h$ sont des fonctions dérivables, qu'est-ce que $(fgh)'$ ?
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Ex. 52.21Application
Calculez $\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)'$ pour $x \neq 0$ .
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Ex. 52.22Application
Calculez $\left(\dfrac{e^x}{x}\right)'$ pour $x \neq 0$ .
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Ex. 52.23Application
Calculez $\left(\dfrac{1}{x^2 + 1}\right)'$ .
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Ex. 52.24Application
Calculez $k'(x)$ pour $k(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 3}$ , $x \neq 3$ .
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Ex. 52.25Application
Calculez $\left(\dfrac{3x^2 - x}{x^2 - 1}\right)'$ pour $x \neq \pm 1$ .
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Ex. 52.26ApplicationAnswer key
Dérivez $\cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}$ par la règle du quotient et montrez que $(\cot x)' = -\csc^2 x$ .
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Ex. 52.27Application
Dérivez $\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$ par la règle du quotient et montrez que $(\sec x)' = \sec x \tan x$ .
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Ex. 52.28Application
Calculez $\left(\dfrac{x}{x^2 + 1}\right)'$ .
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Ex. 52.29ModelingAnswer key
Trouvez l'équation de la droite tangente à $f(x) = x^2 + 3x$ au point $x = 1$ .
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Ex. 52.30ModelingAnswer key
En quels points le graphe de $f(x) = x^3 - 3x$ a-t-il une droite tangente horizontale ?
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Ex. 52.31Modeling
Un objet a une position $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ mètres ( $t$ en secondes). Calculez $v(t)$ et $a(t)$ . Évaluez en $t = 2$ et déterminez quand l'objet est arrêté.
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Ex. 52.32Modeling
Fonction de coût : $C(q) = 500 + 50q + 0{,}1q^2$ (réaux). Calculez le coût marginal $C'(q)$ et évaluez en $q = 100$ .
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Ex. 52.33Modeling
Revenu total : $R(q) = q(200 - q)$ . Calculez le revenu marginal $R'(q)$ et déterminez la quantité qui maximise le revenu.
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Ex. 52.34Modeling
Trouvez la droite tangente à $y = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ en $x = 1$ .
Solve online
Ex. 52.35Modeling
Pour $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ , déterminez : (a) la vitesse en $t = 2$ ; (b) quand l'objet est arrêté.
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Ex. 52.36UnderstandingAnswer key
Identification d'erreur. Un étudiant a calculé $(x^2 \cdot x^3)' = 2x \cdot 3x^2 = 6x^3$ . Est-ce correct ou faux ? Justifiez et corrigez si nécessaire.
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Ex. 52.37Understanding
Identifiez quelle règle de dérivation s'applique à $h(x) = \dfrac{e^x}{x^2}$ , appliquez-la et simplifiez $h'(x)$ .
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Ex. 52.38Understanding
Concept. Pourquoi la dérivée de $e^x$ est-elle « spéciale » ? Expliquez ce que signifie $(e^x)' = e^x$ en termes géométriques et numériques.
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Ex. 52.39Challenge
Défi : produit de trois fonctions. Prouvez que $(fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'$ , en appliquant la règle du produit deux fois.
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Ex. 52.40Proof
Démonstration. Prouvez la règle du produit $(fg)' = f'g + fg'$ à partir de la définition de dérivée par limite.
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Sources

Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · §2.1 (Règles élémentaires), §2.2 (Sinus et cosinus), §2.3 (Produit et quotient). Source primaire. CC-BY-NC-SA.
OpenStax Calculus Volume 1 — OpenStax · 2016 · §3.3 (Règles de dérivation), §3.4 (Dérivées comme taux de variation), §3.5 (Dérivées de trigonométriques). CC-BY-NC-SA.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2023 · §2.3 (Règles de base), §2.4 (Produit et quotient). CC-BY-NC.

Définitions et théorèmes formels

Tableau des dérivées élémentaires

Règles opératoires

Démonstration de la règle du produit

Droite tangente

Exemples résolus

Sources