v1 · padrão canônico

Lição 53 — Regra da cadeia

Derivada de função composta: se y = f(g(x)), então dy/dx = f'(g(x))·g'(x). A regra mais usada em todo o cálculo aplicado.

Used in: 2.º ano EM (16 anos) · Equiv. Math II/III japonês §微分 · Equiv. Klasse 11 alemã Abitur

\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Définition et théorie

Énoncé formel

Definition· Règle de la chaîne

Soient $g$ différentiable en $x$ et $f$ différentiable en $g(x)$ . Alors la fonction composée $h(x) = f(g(x))$ est différentiable en $x$ et :

\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)

(RC)

what this means · La dérivée de la composition est le produit de la dérivée extérieure (évaluée au point intérieur) par la dérivée intérieure. Lisez de l'extérieur vers l'intérieur.

En notation de Leibniz, en définissant $u = g(x)$ et $y = f(u)$ :

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

(RC-Leibniz)

what this means · La notation de Leibniz rend la règle visuellement mnémonique : les unités du « du » s'annulent formellement, comme dans une fraction.

« La règle de la chaîne affirme que la dérivée de $f(g(x))$ est $f'(g(x)) \cdot g'(x)$ . C'est-à-dire, nous dérivons la fonction externe $f$ , évaluée à la fonction interne $g(x)$ , et multiplions par la dérivée de la fonction interne. » — OpenStax Calculus Volume 1, §3.6

« Pensez au processus de l'extérieur vers l'intérieur : identifiez la fonction externe, dérivez-la en gardant la fonction interne inchangée, puis multipliez par la dérivée de la fonction interne. » — Boelkins, Active Calculus §2.5

Démonstration rigoureuse

La difficulté est que $g(x+h) - g(x)$ peut être zéro pour $h \neq 0$ , invalidant l'argument naïf d'annuler $\Delta g$ . La solution utilise la fonction auxiliaire :

$Q(y) = \begin{cases} \dfrac{f(y) - f(g(a))}{y - g(a)} & y \neq g(a) \\ f'(g(a)) & y = g(a) \end{cases}$

$Q$ est continue en $g(a)$ (par la différentiabilité de $f$ ). Puisque $f(g(a+h)) - f(g(a)) = Q(g(a+h)) \cdot [g(a+h) - g(a)]$ , en divisant par $h$ et en faisant $h \to 0$ nous obtenons $(f \circ g)'(a) = f'(g(a)) \cdot g'(a)$ .

Cas spéciaux fondamentaux

Fonction composée	Dérivée
$[g(x)]^n$	$n\,[g(x)]^{n-1} \cdot g'(x)$
$\sin(g(x))$	$\cos(g(x)) \cdot g'(x)$
$\cos(g(x))$	$-\sin(g(x)) \cdot g'(x)$
$e^{g(x)}$	$e^{g(x)} \cdot g'(x)$
$\ln(g(x))$	$g'(x)/g(x)$
$\sqrt{g(x)}$	$g'(x) / (2\sqrt{g(x)})$
$a^{g(x)}$	$a^{g(x)} \ln a \cdot g'(x)$

Composition triple

Pour $h(x) = f(g(k(x)))$ :

(f \circ g \circ k)'(x) = f'(g(k(x))) \cdot g'(k(x)) \cdot k'(x)

(tripla)

what this means · La règle de la chaîne se généralise : on multiplie la dérivée de chaque couche, toujours de l'extérieur vers l'intérieur.

Schéma de composition

Flux de composition : entrée x, traitée par g pour générer u, puis par f pour générer y. Le taux total dy/dx est le produit des taux individuels.

Exemplos resolvidos

Example— 1· Règle de la puissance généralisée — composition avec polynôme

Problème : Calculez la dérivée de $h(x) = (x^2 + 1)^5$ .

Stratégie : La fonction $h$ est une composition : la fonction du dehors est $u^5$ et la fonction du dedans est $u = x^2 + 1$ . Nous appliquons la règle de la chaîne en identifiant explicitement chaque couche.

Résolution :

Identifier les couches :
- Fonction du dehors : $f(u) = u^5$
- Fonction du dedans : $g(x) = x^2 + 1$
Dérivée de la couche du dehors : $f'(u) = 5u^4$ . Évaluée en $g(x)$ : $f'(g(x)) = 5(x^2+1)^4$ .
Dérivée de la couche du dedans : $g'(x) = 2x$ .
Appliquer la chaîne : $h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 5(x^2+1)^4 \cdot 2x = 10x(x^2 + 1)^4$

Vérification : Pour $x = 0$ : $h(0) = 1^5 = 1$ , $h'(0) = 10 \cdot 0 \cdot 1 = 0$ . La fonction a un minimum en $x = 0$ (parabole déplacée élevée à la 5ème puissance), ce qui est cohérent avec $h'(0) = 0$ .

Source. Active Calculus §2.5 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA.

Example— 2· Règle de la chaîne avec exponentielle et trigonométrie

Problème : Calculez la dérivée de $f(x) = e^{\sin x}$ .

Stratégie : Composition avec l'exponentielle. La formule $\frac{d}{dx}[e^{g(x)}] = e^{g(x)} \cdot g'(x)$ est un cas spécial direct de la chaîne.

Résolution :

Couche du dehors : $f(u) = e^u$ , dérivée $e^u$ .
Couche du dedans : $g(x) = \sin x$ , dérivée $\cos x$ .
Résultat : $f'(x) = e^{\sin x} \cdot \cos x$

Interprétation : La dérivée change de signe chaque fois que $\cos x = 0$ , c'est-à-dire en $x = \pi/2 + k\pi$ . Aux maxima de $\sin x$ , la dérivée s'annule — car $\cos(\pi/2) = 0$ .

Source. OpenStax Calculus Volume 1 §3.6 — OpenStax · 2016 · CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Règle de la chaîne avec logarithme naturel

Problème : Calculez la dérivée de $g(x) = \ln(3x^2 + 5)$ .

Stratégie : Composition avec le logarithme. La formule $\frac{d}{dx}[\ln(g(x))] = \frac{g'(x)}{g(x)}$ est le cas spécial direct.

Résolution :

Couche du dehors : $f(u) = \ln u$ , dérivée $1/u$ . Évaluée en $g(x)$ : $\dfrac{1}{3x^2 + 5}$ .
Couche du dedans : $g(x) = 3x^2 + 5$ , dérivée $g'(x) = 6x$ .
Résultat : $g'(x) = \frac{1}{3x^2 + 5} \cdot 6x = \frac{6x}{3x^2 + 5}$

Vérification : Pour $x$ grand, $g'(x) \approx \frac{6x}{3x^2} = \frac{2}{x} \to 0$ . C'est logique : le logarithme croît de plus en plus lentement.

Source. Active Calculus §2.5 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Composition triple — chaîne imbriquée

Problème : Calculez la dérivée de $h(x) = \sin(e^{x^2})$ .

Stratégie : Il y a trois couches imbriquées. Nous appliquons la règle de la chaîne de l'extérieur vers l'intérieur, une couche à la fois.

Résolution :

Écrivez les couches explicitement :

Couche 1 (la plus externe) : $f_1(u) = \sin u$ , dérivée $\cos u$
Couche 2 (intermédiaire) : $f_2(v) = e^v$ , dérivée $e^v$
Couche 3 (la plus interne) : $f_3(x) = x^2$ , dérivée $2x$

En appliquant la règle de la chaîne de l'extérieur vers l'intérieur :

$h'(x) = \cos(e^{x^2}) \cdot e^{x^2} \cdot 2x$

Vérification : Pour $x = 0$ : $h'(0) = \cos(1) \cdot 1 \cdot 0 = 0$ . Vérifiable numériquement : $h(0{,}001) - h(0) \approx 0$ .

Source. OpenStax Calculus Volume 1 §3.6, Example 3.47 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Chaîne combinée avec règle du produit

Problème : Calculez la dérivée de $f(x) = x^2 \cdot e^{-x^2}$ .

Stratégie : C'est un produit de deux fonctions, l'une d'elles composée. Nous appliquons d'abord la règle du produit, puis la chaîne au deuxième facteur.

Résolution :

Identifiez les deux facteurs du produit :

$u(x) = x^2$ , dérivée $u'(x) = 2x$
$v(x) = e^{-x^2}$ , dérivée via la chaîne : $v'(x) = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2x e^{-x^2}$

En appliquant la règle du produit $[u \cdot v]' = u' v + u v'$ :

$f'(x) = 2x \cdot e^{-x^2} + x^2 \cdot (-2x e^{-x^2}) = 2x e^{-x^2} - 2x^3 e^{-x^2}$

En factorisant $2x e^{-x^2}$ :

$f'(x) = 2x e^{-x^2}(1 - x^2)$

Interprétation : Les points critiques sont $x = 0$ et $x = \pm 1$ . Cette fonction apparaît dans la distribution normale : le facteur $(1-x^2)$ détermine les extrêmes en $x = \pm 1$ .

Source. Active Calculus §2.5, Activity 2.5.3 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 26Understanding 4Modeling 6Challenge 3Proof 1

Ex. 53.1Application
Calculez $\dfrac{d}{dx}[(2x+3)^5]$ .
Solve online
Ex. 53.2ApplicationAnswer key
Calculez $(\sin(4x))'$ .
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Ex. 53.3Application
Calculez $(e^{x^2})'$ .
Solve online
Ex. 53.4Application
Calculez $(\ln(x^2 + 1))'$ .
Solve online
Ex. 53.5Application
Calculez $(\sqrt{x^2+1})'$ .
Solve online
Ex. 53.6Application
Calculez $(\cos^2 x)'$ .
Solve online
Ex. 53.7Application
Calculez $(\tan(2x))'$ .
Solve online
Ex. 53.8Application
Calculez $(\sin(\cos x))'$ .
Solve online
Ex. 53.9Application
Calculez $(e^{\sin x})'$ .
Solve online
Ex. 53.10Application
Calculez $((\ln x)^3)'$ .
Solve online
Ex. 53.11Application
Calculez $(\sqrt{1-x^2})'$ .
Solve online
Ex. 53.12Application
Calculez $\left(\dfrac{1}{x^2+4}\right)'$ .
Solve online
Ex. 53.13ApplicationAnswer key
Calculez $(2^{x^2})'$ .
Solve online
Ex. 53.14ApplicationAnswer key
Calculez $(\sin^3(2x))'$ .
Solve online
Ex. 53.15ApplicationAnswer key
Calculez $(\arctan(x^2))'$ . (Rép: $2x/(1+x^4)$ .)
Solve online
Ex. 53.16Application
Calculez $(\ln(\sin x))'$ .
Solve online
Ex. 53.17Application
Calculez $(e^{\cos(2x)})'$ .
Solve online
Ex. 53.18Application
Calculez $(\sqrt{\tan x})'$ .
Solve online
Ex. 53.19Application
Calculez $(\sin(\sqrt{x}))'$ .
Solve online
Ex. 53.20Application
Calculez $((3x+5)^{10})'$ .
Solve online
Ex. 53.21ApplicationAnswer key
Calculez $(\cos(3x^2+2))'$ .
Solve online
Ex. 53.22Application
Calculez $(\ln(\ln x))'$ .
Solve online
Ex. 53.23Application
Calculez $(x \cdot \sin(x^2))'$ .
Solve online
Ex. 53.24ApplicationAnswer key
Calculez $(x \cdot e^{x^2})'$ .
Solve online
Ex. 53.25Application
Calculez $(\sin(\sqrt{x^2+1}))'$ .
Solve online
Ex. 53.26ApplicationAnswer key
Calculez $(\tan^2(3x))'$ .
Solve online
Ex. 53.27Understanding
Trouvez la droite tangente à la courbe $y = (x^2+1)^3$ au point $x = 1$ . (Rép: $y = 24x - 16$ .)
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Ex. 53.28Understanding
Analyse d'erreur. Un étudiant écrit $(e^{x^2})' = xe^{x^2}$ . Quel est l'erreur spécifique commise ?
Solve online
Ex. 53.29UnderstandingAnswer key
Conceptuel. Pour dériver $\sin(x^2)$ , quelle règle s'applique ? Pourquoi ce n'est pas la règle du produit ?
Solve online
Ex. 53.30Understanding
Calculez $(e^{e^x})'$ .
Solve online
Ex. 53.31Modeling
Physique. La position d'une particule en mouvement harmonique est $s(t) = \sin(\omega t)$ . Calculez l'accélération $s''(t)$ et montrez que $s''(t) = -\omega^2 s(t)$ .
Solve online
Ex. 53.32Modeling
Physique nucléaire. La désintégration radioactive suit $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ . Calculez $N'(t)$ et montrez que $N'(t) = -\lambda N(t)$ .
Solve online
Ex. 53.33Modeling
Biologie. La croissance logistique est $P(t) = \dfrac{K}{1 + e^{-rt}}$ . Calculez $P'(0)$ .
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Ex. 53.34Modeling
Statistique. Calculez $f'(x)$ pour la densité normale standard $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$ .
Solve online
Ex. 53.35ModelingAnswer key
Finances. La valeur présente d'un flux de trésorerie $S$ actualisé au taux $r$ est $V(t) = S\,e^{-rt}$ . Calculez $dV/dt$ et interprétez le résultat.
Solve online
Ex. 53.36Modeling
Physique. L'énergie cinétique est $E(v) = \tfrac{1}{2}mv^2$ et la vitesse est $v(t) = at$ . Calculez $dE/dt$ via la règle de la chaîne et confirmez avec la dérivée directe.
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Ex. 53.37Challenge
Calculez $(\sin(\cos(\sin x)))'$ .
Solve online
Ex. 53.38ChallengeAnswer key
Calculez $\dfrac{d}{dx}\left[(x + \sqrt{x^2+1})^n\right]$ .
Solve online
Ex. 53.39Challenge
Calculez $(\sin(e^{x^2}))'$ .
Solve online
Ex. 53.40Proof
Démonstration. Expliquez pourquoi l'argument naïf $\frac{\Delta f}{\Delta g} \cdot \frac{\Delta g}{h}$ échoue comme démonstration rigoureuse de la règle de la chaîne. Comment la fonction auxiliaire $Q(y)$ résout-elle le problème ?
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Sources

Active Calculus 2.0 — Boelkins, Austin, Schlicker · 2024 · §2.5. Source primaire. CC-BY-NC-SA.
Calculus Volume 1 — OpenStax (Herman et al.) · 2016 · §3.6. CC-BY-NC-SA.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2024 · v5 · §2.5. CC-BY-NC.