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Lição 56 — Derivadas de funções inversas

Teorema da derivada da inversa e derivação de arcsin, arccos, arctan, ln, log_a, a^x e hiperbólicas inversas via diferenciação implícita.

Used in: 2.º ano EM avançado · Equiv. Math III japonês cap. 3 · Equiv. Analysis Grundkurs/Leistungskurs alemão · IB Math HL tópico 6

(f^{-1})'(b) = \dfrac{1}{f'(a)}, \quad b = f(a)

Livres qui couvrent cette leçon

Boelkins — Active Calculus
· §2.6 Derivatives of Inverse Functions · CC-BY-NC-SA · Source primaire : théorie, activités de découverte et exercices sur les dérivées inverses. Tous les exemples résolus et environ 60 % des exercices de cette leçon proviennent de cette section.
OpenStax — Calculus Volume 1
· §3.7 Derivatives of Inverse Functions · CC-BY-NC-SA · Tableau complet des dérivées inverses, dérivées des logarithmes et exponentielles de base quelconque. Exercices de chaîne avec arcsin, arctan, arcsec et différenciation logarithmique.
Hartman et al. — APEX Calculus
· §2.7 et §6.6 · CC-BY-NC · Dérivées des fonctions trigonométriques inverses (§2.7) et hyperboliques inverses via le logarithme (§6.6). Exercices de composition complexe.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Définition rigoureuse et tableau complet

Théorème de la dérivée de la fonction inverse

"Si $f$ est une fonction différentiable, bijective, avec $f(a) = b$ et $f'(a) \neq 0$ , alors $f^{-1}$ est différentiable en $b$ et $(f^{-1})'(b) = 1/f'(a)$ ." — Active Calculus §2.6, Theorem 2.6.2

Démonstration par la règle de la chaîne

De l'identité $f(f^{-1}(y)) = y$ , en différenciant les deux côtés par rapport à $y$ par la règle de la chaîne :

$f'(f^{-1}(y)) \cdot (f^{-1})'(y) = 1$

Puisque $f'(f^{-1}(y)) \neq 0$ par hypothèse, en divisant :

$\boxed{(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}}$

Interprétation géométrique

Le graphique de $f^{-1}$ est le reflet du graphique de $f$ sur la droite $y = x$ . Une tangente de pente $m$ au graphique de $f$ au point $(a, b)$ devient une pente $1/m$ au graphique de $f^{-1}$ au point $(b, a)$ — la réflexion échange les rôles de $\Delta x$ et $\Delta y$ .

Réflexion sur la diagonale $y = x$ transforme la pente $m$ en $1/m$ . Le point $(a, b)$ de $f$ devient $(b, a)$ de $f^{-1}$ .

Tableau des dérivées des fonctions inverses

Fonction	Domaine	Dérivée
$\arcsin x$	$(-1, 1)$	$\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
$\arccos x$	$(-1, 1)$	$-\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
$\arctan x$	$\mathbb{R}$	$\dfrac{1}{1 + x^2}$
$\text{arccot}\, x$	$\mathbb{R}$	$-\dfrac{1}{1 + x^2}$
$\text{arcsec}\, x$	$\vert x \vert > 1$	$\dfrac{1}{\vert x \vert\sqrt{x^2 - 1}}$
$\text{arccsc}\, x$	$\vert x \vert > 1$	$-\dfrac{1}{\vert x \vert\sqrt{x^2 - 1}}$
$\ln x$	$x > 0$	$\dfrac{1}{x}$
$\log_a x\;(a>0,\,a\neq1)$	$x > 0$	$\dfrac{1}{x \ln a}$
$\text{arcsinh}\, x$	$\mathbb{R}$	$\dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$
$\text{arccosh}\, x$	$x > 1$	$\dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$
$\text{arctanh}\, x$	$	x

"En général, il y a une formule pour la dérivée de $a^x$ pour tout $a > 0$ avec $a \neq 1$ : $\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a$ . Cette formule est un cas particulier de la règle de la chaîne appliquée à $a^x = e^{x \ln a}$ ." — OpenStax Calculus Volume 1 §3.7

Chaîne avec inverse trig

Pour $u = g(x)$ différentiable :

$\frac{d}{dx}\arcsin(g(x)) = \frac{g'(x)}{\sqrt{1 - g(x)^2}}, \qquad \frac{d}{dx}\arctan(g(x)) = \frac{g'(x)}{1 + g(x)^2}$

Exemplos resolvidos

Example— 1· Dérivée de arctan par différenciation implicite (fondamental)

Problème : Dérive $(\arctan x)'$ à partir de la définition via différenciation implicite.

Stratégie : Nous utilisons la méthode standard : écrire la relation inverse $\tan y = x$ , dériver implicitement, et réécrire le résultat en termes de $x$ .

Résolution :

Soit $y = \arctan x$ . Par définition de l'inverse, $\tan y = x$ avec $y \in (-\pi/2,\, \pi/2)$ .
Dérive les deux côtés par rapport à $x$ : $\sec^2 y \cdot \frac{dy}{dx} = 1$
Isole $dy/dx$ : $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y}$
Réécris $\sec^2 y$ : par l'identité $\sec^2 y = 1 + \tan^2 y$ et en utilisant $\tan y = x$ : $\sec^2 y = 1 + x^2$
Donc : $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}$

Vérification : À $x = 0$ : $(f^{-1})'(0) = 1/(1+0) = 1$ . Comme $f(x) = \tan x$ a $f'(0) = \sec^2 0 = 1$ , et $1/f'(0) = 1$ . Ça s'accorde.

Source. Active Calculus §2.6 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Example— 2· Dérivée de ln via l'inverse de exp (fondamental)

Problème : Dérive $(\ln x)'$ à partir de $e^y = x$ .

Stratégie : $\ln$ est l'inverse de $e^x$ . Nous appliquons la différenciation implicite et utilisons que $e^y = x$ .

Résolution :

Soit $y = \ln x$ . Alors $e^y = x$ (définition du logarithme naturel).
Dérive les deux côtés par rapport à $x$ : $e^y \cdot \frac{dy}{dx} = 1$
Isole $dy/dx$ : $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y}$
Substitue $e^y = x$ : $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$

Résultat : $(\ln x)' = 1/x$ pour $x > 0$ .

Dérivée de $\log_a x$ : Comme $\log_a x = \ln x / \ln a$ : $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$

Vérification : À $x = 1$ : $(\ln x)'\big|_{x=1} = 1$ . La droite tangente à $y = \ln x$ en $(1, 0)$ a une pente 1. Ça s'accorde.

Source. OpenStax Calculus Volume 1 §3.7 — CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Règle de la chaîne avec arcsin — composition arcsin(2x)

Problème : Calcule $\dfrac{d}{dx}\arcsin(2x)$ .

Stratégie : On applique la formule $(\arcsin u)' = u'/\sqrt{1-u^2}$ avec $u = 2x$ .

Résolution :

Identifie $u = 2x$ , donc $u' = 2$ .
Applique la règle de la chaîne : $\frac{d}{dx}\arcsin(2x) = \frac{2}{\sqrt{1 - (2x)^2}} = \frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}$
Le résultat est valide pour $|2x| < 1$ , c'est-à-dire $x \in (-1/2,\, 1/2)$ .

Vérification : Pour $x = 0$ : dérivée $= 2/\sqrt{1} = 2$ . Par différence finie : $\arcsin(2 \cdot 0{,}01) \approx 0{,}020$ , divisé par $0{,}01$ donne $\approx 2{,}00$ . Ça s'accorde.

Source. Active Calculus §2.6, Exercice 2.6.2 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Théorème de l'inverse sans formule explicite — calculer (f^{-1})'(b)

Problème : Soit $f(x) = x^3 + 2x + 1$ . Calcule $(f^{-1})'(4)$ .

Stratégie : Nous ne connaissons pas $f^{-1}$ explicitement, mais nous pouvons utiliser $(f^{-1})'(b) = 1/f'(f^{-1}(b))$ . Nous devons trouver $a$ tel que $f(a) = 4$ .

Résolution :

Trouve $a$ tel que $f(a) = 4$ : $a^3 + 2a + 1 = 4 \implies a^3 + 2a - 3 = 0$

Teste $a = 1$ : $1 + 2 - 3 = 0$ . Donc $a = 1$ , c'est-à-dire $f(1) = 4$ .

Calcule $f'(x) = 3x^2 + 2$ .
Évalue en $a = 1$ : $f'(1) = 3(1)^2 + 2 = 5$ .
Applique le théorème : $(f^{-1})'(4) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{5}$

Vérification : $f$ est strictement croissante ( $f'(x) = 3x^2 + 2 > 0$ pour tout $x$ ), donc $f^{-1}$ existe. En $b = 4$ , la pente de $f^{-1}$ est $1/5$ .

Source. Active Calculus §2.6, Exercice 2.6.4 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Différenciation logarithmique — dérivée de x^x

Problème : Dérive $y = x^x$ pour $x > 0$ .

Stratégie : $x^x$ n'est ni une puissance fixe ni une exponentielle fixe — on utilise la différenciation logarithmique : prends le $\ln$ des deux côtés et dérive.

Résolution :

Prends le $\ln$ des deux côtés : $\ln y = x \ln x$
Dérive implicitement en $x$ : $\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$
Isole $dy/dx$ en multipliant par $y = x^x$ : $\frac{dy}{dx} = x^x (\ln x + 1)$

Cas particulier : À $x = 1$ : $dy/dx = 1^1(\ln 1 + 1) = 1 \cdot 1 = 1$ . La droite tangente à $y = x^x$ en $(1, 1)$ a une pente 1.

Généralisation : Pour $y = f(x)^{g(x)}$ , la différenciation logarithmique donne : $\frac{dy}{dx} = f(x)^{g(x)} \left(g'(x)\ln f(x) + \frac{g(x) f'(x)}{f(x)}\right)$

Source. OpenStax Calculus Volume 1 §3.7 — CC-BY-NC-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 26Understanding 3Modeling 8Challenge 2Proof 1

Ex. 56.1Application
Quelle est la dérivée de $y = \arcsin x$ ?
Solve online
Ex. 56.2Application
Quelle est la dérivée de $y = \arctan x$ ?
Solve online
Ex. 56.3Application
Dérive $y = \arccos x$ par différenciation implicite. Explique pourquoi le résultat ne diffère de $(\arcsin x)'$ que par le signe.
Solve online
Ex. 56.4ApplicationAnswer key
Dérive $y = \ln x$ par différenciation implicite.
Solve online
Ex. 56.5Application
Dérive $y = \log_2 x$ .
Solve online
Ex. 56.6Application
Quelle est la dérivée de $y = a^x$ (avec $a > 0$ , $a \neq 1$ ) ?
Solve online
Ex. 56.7Application
Dérive $y = \text{arcsinh}\, x$ par différenciation implicite.
Solve online
Ex. 56.8Application
Dérive $y = \text{arctanh}\, x$ (pour $|x| < 1$ ).
Solve online
Ex. 56.9Application
Soit $f(x) = x^3 + x$ . Sachant que $f(1) = 2$ , calcule $(f^{-1})'(2)$ .
Solve online
Ex. 56.10ApplicationAnswer key
Soit $f(x) = e^x + x$ . Sachant que $f(0) = 1$ , calcule $(f^{-1})'(1)$ .
Solve online
Ex. 56.11Application
Calcule $\dfrac{d}{dx} 3^x$ et évalue en $x = 1$ . Pourquoi la règle de puissance $nx^{n-1}$ ne s'applique pas ?
Solve online
Ex. 56.12Application
Calcule $\dfrac{d}{dx} 2^{x^2}$ .
Solve online
Ex. 56.13Application
Calcule $\dfrac{d}{dx}\arcsin(2x)$ .
Solve online
Ex. 56.14Application
Calcule $\dfrac{d}{dx}\arctan(x^2)$ .
Solve online
Ex. 56.15ApplicationAnswer key
Calcule $\dfrac{d}{dx}\arcsin(e^x)$ . Quel est le domaine de cette dérivée ?
Solve online
Ex. 56.16Application
Calcule $\dfrac{d}{dx}\arctan(\ln x)$ .
Solve online
Ex. 56.17Application
Calcule $\dfrac{d}{dx}\arcsin(x^3)$ .
Solve online
Ex. 56.18Application
Calcule $\dfrac{d}{dx}(\arctan x)^2$ .
Solve online
Ex. 56.19Application
Calcule $\dfrac{d}{dx}(\arcsin x + \arccos x)$ . Explique le résultat géométriquement.
Solve online
Ex. 56.20Application
Calcule $\dfrac{d}{dx}\ln(\arctan x)$ et précise le domaine.
Solve online
Ex. 56.21Application
Calcule $\dfrac{d}{dx}\!\left[x\arctan x - \dfrac{1}{2}\ln(1+x^2)\right]$ .
Solve online
Ex. 56.22Application
Calcule $\dfrac{d}{dx}\ln(\sec x + \tan x)$ .
Solve online
Ex. 56.23ApplicationAnswer key
Calcule $\dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{\arctan x}{x}\right)$ .
Solve online
Ex. 56.24Application
Dérive $y = \text{arcsec}\, x$ pour $x > 1$ .
Solve online
Ex. 56.25Application
Calcule $\dfrac{d}{dx}\text{arccosh}(\ln x)$ . Quel est le domaine ?
Solve online
Ex. 56.26Application
Calcule $\dfrac{d}{dx}\!\left[(\arctan x)\ln(x^2+1)\right]$ .
Solve online
Ex. 56.27ModelingAnswer key
Loi de Snell. L'angle de réfraction satisfait $\theta_2 = \arcsin\!\left(\dfrac{n_1}{n_2}\sin\theta_1\right)$ . Calcule $d\theta_2/d\theta_1$ en $\theta_1 = 0$ .
Solve online
Ex. 56.28Modeling
GPS. L'angle d'élévation d'un satellite est $\theta = \arctan(h/d)$ , où $h$ est l'altitude et $d$ la distance horizontale (fixe). Calcule la sensibilité $d\theta/dh$ .
Solve online
Ex. 56.29Modeling
Pendule. L'angle du pendule satisfait $\theta = \arcsin(s/L)$ , où $s$ est l'arc et $L$ la longueur. Calcule $d\theta/ds$ .
Solve online
Ex. 56.30ModelingAnswer key
Utilise la différenciation logarithmique pour calculer $\dfrac{d}{dx} x^{\sin x}$ (pour $x > 0$ ).
Solve online
Ex. 56.31ModelingAnswer key
Utilise la différenciation logarithmique pour calculer $\dfrac{d}{dx} x^x$ (pour $x > 0$ ).
Solve online
Ex. 56.32Modeling
Fonction d'erreur. Soit $F(x) = \displaystyle\int_0^x e^{-t^2}\,dt$ . Calcule $F'(x)$ par TFC et ensuite détermine $(F^{-1})'(0)$ .
Solve online
Ex. 56.33Modeling
Finance. La fonction $V(\sigma) = \text{BS}(\sigma)$ donne le prix d'une option en fonction de la volatilité. La sensibilité du prix à la volatilité est le Vega. Quelle est la sensibilité de la volatilité implicite au prix de marché, $d\sigma_{\text{imp}}/dV$ ?
Solve online
Ex. 56.34Modeling
Calcule $\dfrac{d}{dx}\arcsin(1/x)$ pour $|x| > 1$ et compare avec la dérivée de $\text{arcsec}\, x$ .
Solve online
Ex. 56.35UnderstandingAnswer key
Pourquoi une fonction doit-elle être strictement monotone (et pas seulement continue) pour avoir une fonction inverse bien définie ?
Solve online
Ex. 56.36UnderstandingAnswer key
Que se passe-t-il géométriquement dans la formule de la dérivée de l'inverse quand $f'(a) = 0$ ?
Solve online
Ex. 56.37Understanding
Identité. Prouve que $\arcsin x + \arccos x = \pi/2$ pour tout $x \in [-1, 1]$ en utilisant les dérivées (montre que la différence est constante et évalue en $x = 0$ ).
Solve online
Ex. 56.38Challenge
Fonction W de Lambert. $W(x)$ satisfait $W(x)\,e^{W(x)} = x$ . Dérive $W'(x)$ par différenciation implicite.
Solve online
Ex. 56.39Challenge
Utilise la différenciation logarithmique pour calculer $\dfrac{d}{dx}(\ln x)^{\ln x}$ pour $x > 1$ .
Solve online
Ex. 56.40ProofAnswer key
Démonstration. Prouve que $(f^{-1})'(y) = 1/f'(f^{-1}(y))$ en utilisant l'identité $f(f^{-1}(y)) = y$ et la règle de la chaîne.
Solve online

Fontes

Active Calculus — Boelkins · 2024 · §2.6 "Derivatives of Inverse Functions" · CC-BY-NC-SA. Source primaire. Section gratuite en ligne avec des activités de découverte.
Calculus Volume 1 — OpenStax · 2016 · §3.7 "Derivatives of Inverse Functions" · CC-BY-NC-SA. Tableau complet, exemples de différenciation logarithmique.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2024 · v5 · §2.7 et §6.6 · CC-BY-NC. PDF gratuit. Inverses hyperboliques et compositions avancées.