Lição 58 — Taxas relacionadas

Un ballon sphérique est gonflé à $50$ cm³/s. Quel est le taux de variation du rayon quand $r = 5$ cm ?

Même ballon sphérique, $dV/dt = 100$ cm³/s. Quel est $dr/dt$ quand $r = 10$ cm ?

Le rayon d'un disque circulaire croît à $0{,}1$ m/s. Quel est le taux de variation de l'aire quand $r = 2$ m ?

L'arête d'un cube croît à $1$ cm/s. Quel est le taux de variation du volume quand l'arête mesure $5$ cm ?

Le côté d'un carré croît à $2$ cm/s. Quel est le taux de variation de l'aire quand le côté mesure $10$ cm ?

Une échelle de $L = 5$ m s'appuie contre un mur. Le pied glisse vers l'extérieur à $0{,}5$ m/s. Quel est le taux de descente du sommet quand le pied est à $3$ m du mur ?

Échelle de $L = 10$ m. Le pied glisse vers l'extérieur à $1$ m/s. Quel est le taux de descente du sommet quand le pied est à $6$ m ?

Réservoir conique inversé, rayon du sommet $3$ m, hauteur $6$ m. L'eau entre à $4$ m³/min. Quel est $dh/dt$ quand $h = 3$ m ?

Réservoir cylindrique de rayon $r = 4$ m. L'eau entre à $2$ m³/h. Quel est $dh/dt$ ?

La voiture A part vers le nord à $60$ km/h et la voiture B part vers l'est à $80$ km/h de la même intersection. Quel est le taux de séparation après $30$ min ?

Un poteau a $4$ m de hauteur. Une personne de $1{,}8$ m marche à $1$ m/s en s'éloignant du poteau. Quel est le taux de croissance de la longueur de l'ombre ?

Dans la même situation que l'exercice précédent : quelle est la vitesse de la pointe de l'ombre (distance au poteau) ?

Un réservoir en forme de prisme rectangulaire a une base $b = 4$ m et une longueur $L = 10$ m. Si la hauteur $h$ croît à $0{,}1$ m/s, quel est $dV/dt$ ?

Un triangle rectangle a des cathètes $a = 3$ cm et $b = 4$ cm. La cathète $a$ croît à $1$ cm/s ; $b$ est fixe. Quel est le taux de croissance de l'hypoténuse ?

Un avion vole horizontalement à $500$ km/h, à $5$ km d'altitude au-dessus d'un observateur. Quel est le taux de variation de la distance entre l'avion et l'observateur, $1$ minute après que l'avion soit passé au point le plus proche ?

Un bateau est tiré par un câble vers un quai à $6$ m au-dessus de l'eau. Le câble mesure $10$ m et est enroulé à $1$ m/s. À quelle vitesse le bateau s'approche-t-il du quai (horizontalement) ?

La voiture A va vers le nord à $50$ km/h ; la voiture B va vers l'est à $60$ km/h. Quel est le taux de séparation après $30$ min de trajet ?

Une caméra de TV est à $30$ m de la piste de course. Une voiture passe à $80$ m/s. Quel est le taux de rotation angulaire de la caméra quand la voiture est directement devant ?

Une boule de neige fond avec $dV/dt = -k \cdot A$ où $A = 4\pi r^2$ est l'aire de la surface. Montrez que $dr/dt = -k$ (constante).

Un triangle équilatéral a un côté $a$ croissant à $1$ cm/s. Quel est $dA/dt$ quand $a = 10$ cm ?

Pourquoi est-il une erreur de substituer la valeur numérique d'une variable avant de dériver l'équation par rapport à $t$ ? Choisissez l'explication la plus précise.

Quelle règle de dérivation est le fondement mathématique des taux relatifs ?

Dans le problème de l'échelle glissante, le pied s'éloigne du mur ($\dot x > 0$). Prouvez que $\dot y < 0$ chaque fois que $x, y > 0$.

Dans le réservoir conique remplissant à taux constant, à quel moment le niveau d'eau monte-t-il le plus rapidement ?

Dans le réservoir conique, $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ dépend de deux variables ($r$ et $h$). Expliquez la procédure pour éliminer cette variable supplémentaire avant de dériver.

En dérivant $\tan\theta = h/x$ par rapport à $t$, quel facteur apparaît en multipliant $d\theta/dt$ du côté gauche ?

Pour un cercle avec rayon croissant à taux constant $dr/dt = c$, comment $dA/dt$ se comporte-t-il tandis que $r$ augmente ? Justifiez.

Qu'est-ce qui distingue les problèmes de taux relatifs les uns des autres (ballon, échelle, réservoir, ombre) ?

Une caméra suit un objet qui passe devant à vitesse constante. À quel instant la caméra tourne-t-elle le plus rapidement ? Justifiez algébriquement.

Dérivez $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ par rapport à $t$ et expliquez pourquoi le coefficient résultant $4\pi r^2$ a une signification géométrique.

Dans le modèle SIR, $\dot S = -\beta SI$ avec $\beta = 0{,}001$, $S_0 = 999$, $I_0 = 1$. Quel est $\dot S$ à l'instant initial ?

Réaction chimique $A \to B$ avec $\dot A = -kA$. Déterminez la demi-vie de $A$ en fonction de $k$.

Dans le modèle logistique de Verhulst $\dot P = rP(1 - P/K)$, à quelle valeur de $P$ le taux de croissance $\dot P$ est-il maximum ?

Réservoir cylindrique de rayon $R$ avec orifice d'aire $A_s$ au fond. Par la loi de Torricelli, la vitesse de sortie est $\sqrt{2gh}$. Dérivez l'EDO pour $dh/dt$.

Cylindre : rayon croît à $1$ cm/s, hauteur $h = 20$ cm est constante. Quel est $dV/dt$ quand $r = 5$ cm ?

Avion à $800$ m d'altitude vole horizontalement à $200$ m/s en direction d'un observateur. Quel est le taux de variation de l'angle d'élévation quand l'avion est à $600$ m en horizontal ?

Poteau de hauteur $h$, personne de hauteur $p$ marchant à vitesse $v$ en s'éloignant du poteau. Dérivez la formule générale pour la vitesse de la pointe de l'ombre.

Démonstration. Prouvez rigoureusement que $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ implique $\dfrac{dV}{dt} = 4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$, en montrant chaque étape de l'application de la règle de chaîne. Interprétez géométriquement le facteur $4\pi r^2$.

Démonstration. Pour l'échelle glissante avec $x^2 + y^2 = L^2$, montrez rigoureusement que $\dot x$ et $\dot y$ ont toujours des signes opposés quand $x, y > 0$.

Démonstration. Une caméra suit un objet qui se déplace le long d'une ligne droite à distance $d$ (perpendiculaire). Dérivez la formule générale pour $d\theta/dt$ en fonction de $\theta$, $d$ et $dx/dt$. Identifiez quand la rotation est maximale.