Lição 59 — Diferenciabilidade e suavidade

Soit $f(x) = |x|$. Calculez les dérivées unilatérales $f'_+(0)$ et $f'_-(0)$ par la définition. Concluez sur la différentiabilité en $0$.

Soit $f(x) = |x - 3|$. Calculez $f'_+(3)$ et $f'_-(3)$. $f$ est-elle différentiable en $x = 3$ ?

Soit $f(x) = x|x|$. Déterminez $f'(0)$ en utilisant la définition.

Soit $f(x) = x^{1/3}$. Calculez $f'(0)$ par la définition. Que la réponse indique-t-elle géométriquement ?

Soit $f(x) = x^{2/3}$. Analysez la différentiabilité en $0$ en calculant les dérivées unilatérales par la définition.

Soit $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ -x^2, & x < 0 \end{cases}$. Calculez $f'_+(0)$ et $f'_-(0)$. $f$ est-elle différentiable en $0$ ?

Soit $f(x) = x\sin(1/x)$ pour $x \neq 0$ et $f(0) = 0$. Vérifiez si $f$ est continue en $0$ et si elle est différentiable en $0$.

Soit $f(x) = x^2\sin(1/x)$ pour $x \neq 0$ et $f(0) = 0$. Montrez que $f'(0) = 0$ en utilisant le théorème du sandwich.

Soit $f(x) = \max(x, 0)$ (fonction ReLU). Calculez $f'_+(0)$ et $f'_-(0)$. $f$ est-elle différentiable en $0$ ?

Soit $f(x) = \min(x, 1-x)$. En quel point $f$ a-t-elle un point anguleux ? Vérifiez en calculant les dérivées unilatérales à ce point.

Soit $\text{sgn}(x) = x/|x|$ pour $x \neq 0$ et $\text{sgn}(0) = 0$. Est-elle continue en $0$ ? Est-elle différentiable en $0$ ?

Où la fonction partie entière $f(x) = \lfloor x \rfloor$ est-elle différentiable ? Où ne l'est-elle pas ? Justifiez dans chaque cas.

Soit $f(x) = |x|^3$. Calculez $f'(0)$ et $f''(0)$ par la définition de la limite.

Soit $f(x) = x^2$ si $x \in \mathbb{Q}$ et $f(x) = 0$ si $x \notin \mathbb{Q}$. Déterminez si $f$ est différentiable en $0$.

Soit $f(x) = \sqrt{|x|}$. Calculez $f'(0)$ par la définition. Identifiez le type de point de non-différentiabilité.

Soit $f(x) = x^2\sin(1/x)$ pour $x \neq 0$ et $f(0) = 0$. Montrez que $f$ est différentiable en $0$, mais que $f' \notin C^0$. Quelle classe $C^k$ maximale a $f$ ?

Trouvez $a$ et $b$ tels que $f(x) = \begin{cases} ax + b, & x \leq 1 \\ x^2, & x > 1 \end{cases}$ soit $C^1$ sur $\mathbb{R}$.

Trouvez $c, d$ tels que $f(x) = \begin{cases} cx + d, & x \leq 1 \\ 3x^2 - 2, & x > 1 \end{cases}$ soit $C^1$ en $1$.

Trouvez $a, b$ tels que $f(x) = \begin{cases} ax + b, & x \leq 0 \\ \sin x, & x > 0 \end{cases}$ soit $C^1$ en $0$.

Où $f(x) = (x-2)^{1/3}$ n'est-elle pas différentiable ? Identifiez le type de point.

Soit $f(x) = \begin{cases} x^2, & x < 0 \\ \sin x, & x \geq 0 \end{cases}$. $f$ est-elle $C^0$ en $0$ ? Est-elle $C^1$ en $0$ ?

Un polynôme cubique $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ appartient à quelle classe $C^k$ ? Pourquoi la réponse n'est pas $C^3$ ?

Où $f(x) = |x^2 - 1|$ a-t-elle des points anguleux ? Calculez les dérivées unilatérales en chaque point pour confirmer.

Une spline cubique est formée par $S_1(x)$ sur $[0,1]$ et $S_2(x)$ sur $[1,2]$. Quelles conditions en $x = 1$ garantissent que la spline totale est $C^2$ ? Listez toutes les équations.

Soit $f(x) = x|\sin x|$. En quels points $f$ a-t-elle des points anguleux ? Esquissez l'argument pour les points $x = n\pi$.

Soit $f(x) = x|x|$. Calculez $f'(x)$ pour tout $x$ et montrez que $f \in C^1$.

Analysez la différentiabilité de $f(x) = |\sin x|$ sur tout $\mathbb{R}$. En quels points $f$ a-t-elle des points anguleux ?

Soit $p(x) = 3x^4 - 2x^2 + 7$. Quelle est la classe de régularité $C^k$ de $p$ sur $\mathbb{R}$ ? Justifiez.

Le payoff d'une option call européenne à l'échéance est $V(S) = \max(S - K, 0)$. (a) Identifiez le point de non-différentiabilité. (b) Calculez $V'_-(K)$ et $V'_+(K)$. (c) Que se passe-t-il avec le Greek Delta $\Delta = \partial V/\partial S$ à ce point ?

En apprentissage automatique, la fonction d'activation ReLU est $f(x) = \max(0, x)$. Pourquoi l'algorithme SGD fonctionne-t-il même si ReLU n'est pas différentiable en $0$ ?

En ingénierie structurale, un câble élastique avec nœud a déplacement $u(x)$ continu mais pente $u'(x)$ avec saut au nœud. (a) Quelle est la classe de régularité de $u$ ? (b) Que représente le point anguleux du graphe de $u$ physiquement ?

Une spline cubique naturelle sur $[0,1]$ avec nœud en $1/2$ impose quelles conditions de régularité ? Quelle est la classe $C^k$ résultante ? Pourquoi $C^2$ et non $C^3$ ?

Dans une équation d'onde $u_{tt} = c^2 u_{xx}$ avec donnée initiale discontinue (fonction marche), quelle régularité attend-on de la solution $u(x,t)$ ? Pourquoi une solution $C^2$ n'existe-t-elle pas ?

La réciproque de « différentiable $\Rightarrow$ continu » est-elle vraie ? Quel est le contre-exemple le plus simple ?

Soit $f(x) = x|x|$. Quelle la classe $C^k$ maximale de $f$ ? Calculez $f'(x)$ pour tout $x$ pour justifier.

La fonction de Cantor (escalier du diable) satisfait : continue sur $[0,1]$, $f(0) = 0$, $f(1) = 1$, et $f'(x) = 0$ presque partout. Pourquoi le Théorème Fondamental du Calcul ne s'applique-t-il pas ?

Existe-t-il une fonction continue sur $\mathbb{R}$ qui n'est différentiable en aucun point ? Décrivez la construction principale.

Soit $f(x) = e^{-1/x^2}$ pour $x \neq 0$ et $f(0) = 0$. Montrez que $f \in C^\infty$ et que $f^{(n)}(0) = 0$ pour tout $n \geq 0$. Que cela implique-t-il sur la série de Taylor de $f$ en $0$ ?

Démontrez : si $f$ est différentiable en $a$, alors $f$ est continue en $a$.

Démontrez que si $f \in C^1[a,b]$, alors $f$ est Lipschitz sur $[a,b]$. (Indice : utilisez le Théorème de la Valeur Moyenne et le fait que $f'$ est bornée en compact.)