Lição 62 — Otimização aplicada

Avec 100 m de clôture, quelle est la plus grande aire rectangulaire qu'on peut clôturer ?

Un pâturage rectangulaire est divisé en deux par une clôture parallèle à la largeur. La clôture totale (périmètre + diviseur) est 120 m. Maximisez l'aire.

Un verre cylindrique (fond mais sans couvercle) doit avoir un volume de 500 cm³. Quelles dimensions minimisent le matériau utilisé ?

Une boîte rectangulaire à base carrée et sans couvercle doit avoir un volume de 32 cm³. Le matériau de la base coûte R$ 2/cm² et celui des côtés R$ 1/cm². Minimisez le coût total.

La somme de deux nombres positifs est 20. Déterminez les deux nombres qui maximisent leur produit.

Trouvez le nombre positif $$ tel que la somme de $$ avec son inverse multiplié par 4 soit minimale.

Déterminez le point de l'axe $$ le plus proche du point $$.

Déterminez le point de la droite $$ le plus proche du point $$.

D'une feuille de carton de 24 cm × 9 cm, on découpe un carré aux coins et on plie les rabats. Déterminez la découpe qui maximise le volume de la boîte sans couvercle.

La fonction de demande d'un produit est $$ (prix en R$ par unité, $$ unités vendues). Maximisez la recette totale $$.

Une entreprise a une recette $$ et un coût $$. Déterminez la production qui maximise le profit.

Une boîte avec couvercle à base carrée doit avoir un volume de 96 cm³. Minimisez l'aire totale de surface.

Dans un problème d'optimisation avec contrainte, quel est le rôle correct de l'équation de contrainte ?

Pour trouver le maximum ou minimum absolu de $$ sur $$, doit-on :

Déterminez les dimensions du cylindre de plus grand volume inscrit dans une sphère de rayon $$.

Déterminez les points de la parabole $$ les plus proches du point $$.

Une zone rectangulaire de 300 m² sera clôturée. Le côté est (longueur $$) coûte R$ 2/m et les autres côtés coûtent R$ 3/m par mètre. Minimisez le coût total.

Un objet est lancé verticalement avec une vitesse initiale de 20 m/s d'une hauteur de 3 m. Modèle : $$. Déterminez la hauteur maximale.

Une boîte cylindrique de volume 200 cm³ a un matériau de base et couvercle qui coûte R$ 10/cm² et un côté latéral qui coûte R$ 6/cm². Déterminez les dimensions qui minimisent le coût.

Un couloir de salle de sport a la forme d'un rectangle avec des semicircles aux deux côtés courts (piste ovale). Le périmètre total est 20 m. Déterminez le rayon $$ qui maximise la zone interne.

La somme de deux nombres est 10. Trouvez les deux nombres qui minimisent la somme de leurs carrés.

La somme de deux nombres non-négatifs est 1. Maximisez le produit du carré du premier avec le second.

Déterminez l'aire maximale d'un rectangle inscrit dans un semicircle de rayon 5.

Déterminez le point de la courbe $$ le plus proche du point $$.

Une excursion facture R$ 80 par personne pour les groupes de 100. Pour chaque passager supplémentaire, le tarif de tous baisse de R$ 0,50. Combien de passagers maximisent la recette ?

Une orangeraie avec 25 arbres par hectare produit 600 oranges par arbre. Pour chaque arbre supplémentaire planté, la production par arbre baisse de 12 oranges. Combien d'arbres par hectare maximisent la production totale ?

Une fenêtre « normande » est formée d'un rectangle surmonté d'un semicircle. Le périmètre total est 10 m. Déterminez le rayon du semicircle qui maximise l'aire de la fenêtre.

Utilisez le calcul pour démontrer que, entre tous les paires de nombres positifs avec somme fixe $$, le produit est maximal quand les deux nombres sont égaux. (Cela démontre l'inégalité AM-GM pour deux termes.)

Démontrez que le cylindre de plus petite aire superficielle pour volume fixe $$ satisfait $$ (hauteur égale au diamètre).

Déterminez l'aire maximale d'un rectangle inscrit dans l'ellipse $$, avec côtés parallèles aux axes de coordonnées.