Lição 64 — Regra de L'Hôpital
Regra de L'Hôpital para indeterminações 0/0 e ∞/∞. Formas indeterminadas 0·∞, ∞−∞, 1^∞, 0^0, ∞^0 e limites notáveis como sin(x)/x e e^x/x^n.
Used in: 2.º ano EM · Equiv. Math III japonês · Equiv. Analysis Klasse 12 alemã · Equiv. H2 Maths Singapura
Rigorous notation, full derivation, hypotheses
Énoncé, démonstration et extensions
Énoncé formel
"L'Hôpital's rule simplifies the evaluation of limits of quotients when both numerator and denominator approach 0 or ∞. The key is recognizing the indeterminate form, applying the rule, and checking that the resulting limit actually exists." — OpenStax Calculus Vol. 1, §4.8
Idée de la démonstration (cas 0/0)
D'après le théorème de la valeur moyenne de Cauchy : si , pour voisin de existe entre et tel que :
Quand , on a , et la limite devient : (pourvu que le rapport de dérivées converge).
Extension à d'autres formes indéterminées
"Note carefully: L'Hôpital's Rule says that the limit of a quotient of functions equals the limit of the quotient of their derivatives, provided the original limit is in the form 0/0 or ∞/∞. This is not the same as the derivative of a quotient." — Active Calculus §2.8
Exemplos resolvidos
Exercise list
30 exercises · 7 with worked solution (25%)
- Ex. 64.1Application
Calculez .
- Ex. 64.2Application
Calculez .
- Ex. 64.3Application
Calculez .
- Ex. 64.4ApplicationAnswer key
Calculez .
- Ex. 64.5ApplicationAnswer key
Calculez .
- Ex. 64.6Application
Calculez .
- Ex. 64.7Application
Calculez .
- Ex. 64.8Application
Calculez .
- Ex. 64.9ApplicationAnswer key
Calculez .
- Ex. 64.10Application
Calculez .
- Ex. 64.11Application
Prouvez via L'Hôpital que .
- Ex. 64.12Application
Calculez .
- Ex. 64.13Understanding
Quelqu'un veut calculer en utilisant L'Hôpital. Qu'est-ce qui ne va pas ?
- Ex. 64.14Understanding
Quelle est la forme indéterminée de ?
- Ex. 64.15ApplicationAnswer key
Calculez .
- Ex. 64.16Application
Calculez .
- Ex. 64.17Application
Calculez .
- Ex. 64.18ApplicationAnswer key
Calculez .
- Ex. 64.19ApplicationAnswer key
Calculez pour entier positif.
- Ex. 64.20Application
Calculez .
- Ex. 64.21Application
Calculez .
- Ex. 64.22Application
Calculez .
- Ex. 64.23Application
Calculez .
- Ex. 64.24Application
Calculez .
- Ex. 64.25Application
Essayez de calculer via L'Hôpital. Qu'est-ce qui se passe ? Quelle est la bonne réponse ?
- Ex. 64.26Application
Calculez .
- Ex. 64.27Application
Calculez .
- Ex. 64.28Proof
Esquissez la démonstration de la Règle de L'Hôpital pour le cas , en utilisant le théorème de la valeur moyenne de Cauchy.
- Ex. 64.29Proof
Utilisez la Règle de L'Hôpital pour prouver la limite fondamentale .
- Ex. 64.30ChallengeAnswer key
Montrez que pour tout (l'exponentielle domine toute puissance). Utilisez L'Hôpital itéré et argumentez sur le nombre d'applications nécessaires.
Fontes
- Boelkins, Matt. Active Calculus 2.0. Grand Valley State University, 2022. CC-BY-NC-SA. activecalculus.org/single/sec-2-8-LHR.html
- OpenStax. Calculus Volume 1. Strang, Herman et al., 2023. CC-BY-NC-SA. openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/4-8-lhopitals-rule
- Hartman, G. et al. APEX Calculus. Virginia Military Institute, 2023. CC-BY-NC. apexcalculus.com