Lição 65 — Polinômio de Taylor

Écrivez le polynôme de Maclaurin de $f(x) = e^x$ jusqu'à $x^4$.

Écrivez le polynôme de Maclaurin de $f(x) = \sin x$ jusqu'à $x^7$.

Écrivez le polynôme de Maclaurin de $f(x) = \cos x$ jusqu'à $x^6$.

Écrivez le polynôme de Maclaurin de $f(x) = \ln(1+x)$ jusqu'à $x^4$.

Maclaurin de $f(x) = 1/(1-x)$ jusqu'à $x^5$ — c'est simplement la série géométrique.

Maclaurin de $f(x) = (1+x)^{1/2}$ jusqu'à $x^3$. Calculez $f'$, $f''$, $f'''$ en $x = 0$.

Maclaurin de $\arctan x$ jusqu'à $x^5$ (via intégration de $1/(1+x^2)$).

Maclaurin de $\sinh x$ et $\cosh x$ jusqu'à $x^5$.

Maclaurin de $e^{-x}$ jusqu'à $x^4$ (substitution directe en $e^x$).

Maclaurin de $\tan x$ jusqu'à $x^5$ en utilisant $\sin/\cos$.

Maclaurin de $\cos(2x)$ jusqu'à $x^4$ via substitution.

Maclaurin de $e^{x^2}$ jusqu'à $x^6$.

Maclaurin de $\cos(x^2)$ jusqu'à $x^8$.

Maclaurin de $\ln(1 - x^2)$ jusqu'à $x^6$.

Maclaurin de $1/(1+x^2)$ jusqu'à $x^6$ (série géométrique avec $u = -x^2$).

Maclaurin de $e^x \sin x$ jusqu'à $x^4$.

Maclaurin de $\sin x \cos x$ jusqu'à $x^5$ (ou utilisez $\sin(2x)/2$).

Maclaurin de $x e^{-x}$ jusqu'à $x^4$.

Taylor de $\ln x$ autour de $a = 1$, ordre 4.

Taylor de $\sqrt{x}$ autour de $a = 1$, ordre 3.

Taylor de $1/x$ autour de $a = 1$, ordre 3.

Taylor de $\cos x$ autour de $a = \pi/4$, ordre 4.

Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$ en utilisant Taylor.

Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$ en utilisant Taylor.

Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1 + x^2/2}{x^4}$.

Calculez $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \tan x}{x^3}$.

Estimez $\ln(1{,}1)$ avec erreur inférieure à $10^{-4}$ en utilisant la série de Maclaurin. Dites quel ordre utiliser.

Approximez $\sin(0{,}1)$ avec erreur inférieure à $10^{-6}$. Dites quel ordre utiliser.

Approximez $\sqrt{1{,}1}$ en utilisant Taylor de $\sqrt{1+x}$ en $a = 0$ jusqu'à l'ordre 2.

Énergie relativiste : $E = mc^2/\sqrt{1 - v^2/c^2}$. Développez en puissances de $v/c$ et identifiez les termes $E_0 = mc^2$ et $E_k = \frac{1}{2}mv^2$.

Qu'est-ce qui rend $P_n$ la « meilleure approximation polynomiale de degré $n$ » en $a$ ?

Montrez que si $f$ est un polynôme de degré $\leq n$, alors $P_n = f$ exactement (pas seulement approximation).

Justifiez que $e^x$ a un rayon de convergence infini en utilisant l'estimation de Lagrange.

En finance, $(1 + r/n)^n \to e^r$ quand $n \to \infty$ (intérêts continus). Utilisez Taylor de $e^r$ pour estimer le facteur de croissance annuel avec $r = 12\%$ et comparez aux intérêts simples.

Dérivez la formule d'Euler $e^{ix} = \cos x + i\sin x$ en séparant les termes pairs et impairs de la série de $e^z$.

Montrez que $f(x) = e^{-1/x^2}$ (avec $f(0) = 0$) a toutes les dérivées nulles en $0$ — donc $P_n = 0$ pour tout $n$, mais $f \neq P_n$.

Démontrez que la série de Maclaurin de $e^x$ converge vers $e^x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ (utilisez l'estimation du reste de Lagrange).

Démontrez Taylor multivarié d'ordre 2 (avec hessienne) en réduisant à Taylor 1D le long d'une droite paramétrée.

Démontrez la forme de Lagrange du reste via le Théorème de la Valeur Moyenne généralisé.

Intégrez la série $1/(1+t^2) = \sum (-1)^k t^{2k}$ pour obtenir $\arctan x$ comme série. Utilisez-la pour dériver la formule de Leibniz : $\pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + \cdots$