Lição 66 — Concavidade e pontos de inflexão

Déterminez la concavité de $f(x) = x^2$ sur tout $\mathbb{R}$. Y a-t-il inflexion ?

Déterminez la concavité et les points d'inflexion de $f(x) = x^3$.

Concavité de $f(x) = x^4$. Y a-t-il inflexion en $x = 0$ ? Justifiez avec le signe de $f''$.

Concavité de $f(x) = e^x$ sur tout $\mathbb{R}$. Y a-t-il inflexion ?

Concavité de $f(x) = \ln x$ sur $(0, \infty)$.

Concavité de $f(x) = \sin x$ sur $[0, 2\pi]$. Identifiez les points d'inflexion.

Concavité de $f(x) = \cos x$ sur $[0, 2\pi]$. Points d'inflexion.

Concavité de $f(x) = 1/x$ sur les intervalles $(0,\infty)$ et $(-\infty,0)$.

Concavité de $f(x) = e^{-x^2/2}$ (gaussienne). Identifiez les points d'inflexion.

Concavité et inflexion de $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$.

Utilisez le test de $f''$ : classifiez les extrema de $f(x) = x^3 - 12x$.

Extrema de $f(x) = x^4 - 4x^2$ via test de $f''$.

Extrema de $f(x) = x e^{-x}$ via $f''$.

Extrema de $f(x) = x^2 \ln x$ em $(0, \infty)$ via $f''$.

Extrema de $f(x) = \sin x + \frac{1}{2}\sin(2x)$ em $[0, 2\pi]$.

Montrez que $f(x) = x^4$ a un minimum en $x = 0$ malgré $f''(0) = 0$ (test inconclusif).

Montrez que $f(x) = x^5$ n'a pas d'extremum en $x = 0$ malgré $f'(0) = 0$.

Pour $f(x) = x^2 + 1/x$ em $x > 0$ : trouvez le minimum et justifiez avec $f''$.

Extrema de $f(x) = \ln x / x$ em $(0, \infty)$ via $f''$.

Extrema de $f(x) = x^{1/x}$ em $(0, \infty)$ (peguei $\ln f$ antes de derivar).

Coût $C(q) = q^3 - 6q^2 + 9q + 100$. Trouvez l'inflexion et interprétez comme changement de rendement marginal.

Profit $\pi(q) = -q^3 + 30q^2 - 100q$. Maximisez via $\pi'$ et confirmez avec $\pi''$.

Courbe logistique $P(t) = K/(1 + e^{-rt})$. Montrez qu'il y a inflexion en $P = K/2$ (moitié de la capacité de support).

Énergie potentielle $U(x) = -\cos x$ (pendule). Trouvez les équilibres stables et instables en utilisant $U''$.

Ressort harmonique : $U(x) = \frac{1}{2}kx^2$. Montrez que $x = 0$ est un équilibre stable en utilisant $U''$.

Entropie de Bernoulli $H(p) = -p\ln p - (1-p)\ln(1-p)$. Montrez $H'' < 0$ et que le maximum est en $p = 1/2$.

Courbe d'apprentissage $L(t) = 1 - e^{-kt}$. Déterminez la concavité. Que dit-elle sur la vitesse d'apprentissage ?

Dans une épidémie, le pic de nouveaux cas survient au point d'inflexion de la courbe des cas accumulés $f(t)$. Justifiez géométriquement et via $f''$.

Utilité $U(W) = \ln W$ est concave. Expliquez comment l'inégalité de Jensen implique l'aversion au risque pour cet investisseur.

Pourquoi la fonction de perte de la régression linéaire a-t-elle un minimum global unique ? Utilisez la convexité pour justifier.

Quelle est la condition correcte pour que $x_0$ soit un point d'inflexion de $f$ ?

Prouvez que la somme de deux fonctions convexes est convexe, en utilisant la définition via $f''$.

Montrez que $f$ convexe sur $I$ implique l'inégalité du point milieu : $f\!\left(\frac{x+y}{2}\right) \leq \frac{f(x)+f(y)}{2}$.

Pourquoi $f''(x_0) = 0$ n'est-il pas suffisant pour garantir une inflexion ? Donnez un contre-exemple concret.

Montrez que $\ln$ est concave sur $(0,\infty)$ et utilisez cela pour prouver l'inégalité AM-GM : $(x+y)/2 \geq \sqrt{xy}$ pour $x, y > 0$.

Fonction de Huber $L(x) = x^2/2$ si $|x| \leq 1$ ; $|x| - 1/2$ sinon. Est-elle convexe ? Où $L''$ est-elle discontinue ?

Démontrez le test de la dérivée seconde via le polynôme de Taylor d'ordre 2.

Démontrez l'inégalité de Jensen pour deux points : $f(tx_1 + (1-t)x_2) \leq tf(x_1) + (1-t)f(x_2)$ — directement de la définition de convexité.

Démontrez que toute fonction convexe sur intervalle ouvert est continue dans l'intérieur.

Démontrez que $f$ est convexe si et seulement si le graphique reste toujours au-dessus de n'importe quelle tangente : $f(y) \geq f(x) + f'(x)(y-x)$ pour tout $x, y$.