Lição 67 — Análise marginal em economia

$C(q) = 100 + 5q + 0{,}1q^2$. Calculez $MC(q)$.

$C(q) = 200 + 3q + q^2/100$. Calculez le coût moyen et le coût marginal en $q = 50$.

$R(q) = 100q - 2q^2$. Calculez le revenu marginal $MR(q)$.

Demande $p = 50 - q/2$. Écrivez $R(q) = pq$ et calculez $MR(q)$.

$C(q) = q^2 + 9$. Trouvez le minimum de $\bar{C}$ et confirmez qu'il coïncide avec $MC = \bar{C}$.

$C(q) = q^3 - 6q^2 + 15q + 100$. Coût moyen et coût marginal en $q = 10$.

Montrez que $\bar{C}$ a un minimum où $MC = \bar{C}$ pour $C(q) = q^2 + 16$.

$C(q) = 50 + 10q$. Pourquoi $\bar{C}$ n'a-t-il pas de minimum intérieur ? Interprétez économiquement.

L'entreprise produit avec $C(q) = q^2$ et vend à $p = 100$ (concurrence). Quantité optimale.

$R(q) = 200q - q^2$, $C(q) = 50 + 80q$. Quantité de profit maximal.

$C(q) = 100 + 5q + 0{,}1q^2$, prix fixe $p = 50$. Quantité et profit optimaux.

Entreprise monopoliste avec demande $p = 100/q$ (élasticité unitaire en tout point). Existe-t-il un $q^*$ de profit maximal ? Pourquoi ?

$p = 100 - q$, $C(q) = q^2/2 + 10q$. Profit maximal de monopôle.

$p = 60 - 2q$, $C(q) = 200 + 4q + q^2$. Trouvez $q^*$, $p^*$ et $\pi^*$.

Concurrence parfaite : $p = 50$ fixe, $C(q) = q^2$. Quantité et profit optimaux.

EOQ: $T(q) = Dhq/2 + SD/q$ (coût total de stock). Dérivez et trouvez $q^* = \sqrt{2SD/h}$.

Impôt $t$ par unité change $C \to C + tq$. Comment change $q^*$ ? Montrez que $q^*$ baisse.

Subvention $s$ par unité vendue. Montrez que $q^*$ augmente par rapport au cas sans subvention.

$C(q) = q^3 - 6q^2 + 12q + 50$. Montrez qu'il existe un $q$ tel que $MC$ est minimal (point d'inflexion de $C$).

$C(q) = q^2 + F$. Trouvez la quantité qui minimise $\bar{C}$ et montrez qu'elle augmente avec $\sqrt{F}$.

Dérivez la règle du markup du monopôle : partant de $MR = MC$ et $MR = p(1 + 1/\varepsilon)$, obtenez $p^* = MC\cdot\varepsilon/(\varepsilon + 1)$.

Dérivez formellement que le profit est maximal où $MR = MC$, et que la condition du second ordre exige $MR' < MC'$.

Demande $q = 100 - 2p$. Calculez l'élasticité en $p = 25$.

$q = 50/p$. Calculez l'élasticité pour tout $p$. Le résultat est-il constant ?

$q = 100 e^{-p}$. Élasticité en $p = 1$.

Demande Cobb-Douglas $q = Ap^\alpha$. Calculez l'élasticité et montrez qu'elle est constante.

À quel prix le revenu total est-il maximal ? Montrez que c'est où $\varepsilon = -1$.

Cigarettes : $\varepsilon = -0{,}5$. L'impôt augmente le prix de 20 %. De combien la consommation baisse-t-elle ?

Essence : $\varepsilon = -0{,}3$ (court terme). Pourquoi une politique de subvention a-t-elle un coût budgétaire élevé pour un faible gain en quantité ?

Demande linéaire $q = a - bp$. Montrez que $|\varepsilon|$ augmente avec $p$.

Dérivez $dR/dp = q(1 + \varepsilon)$ et utilisez-le pour expliquer quand augmenter le prix augmente ou réduit le revenu.

Avec une inflation des coûts (IPCA augmentant de 5,8 %), une entreprise avec une demande d'élasticité $|\varepsilon| = 1{,}2$ devrait répercuter combien au prix ? Utilisez la règle du markup.

Pourquoi le monopoliste produit-il moins que la concurrence parfaite ?

Montrez que $MR = p(1 + 1/\varepsilon)$ partant de $R = pq$ et de la règle de la chaîne.

Markup en pourcentage : indice de Lerner $L = (p-MC)/p = -1/\varepsilon$. Vérifiez en partant de $MR = MC$.

Démontrez que $\bar{C}$ a un minimum où $MC = \bar{C}$, en dérivant $\bar{C}(q) = C(q)/q$.

Incidence tributaire : avec un impôt $t$ par unité, la part payée par l'acheteur est $\varepsilon_S / (\varepsilon_S - \varepsilon_D)$. Démontrez.

Démontrez la règle du markup $p^* = MC\varepsilon/(\varepsilon+1)$ en partant de $MR = MC$.

Montrez qu'en discrimination de prix au premier degré (prix parfait), le monopoliste extrait tout l'excédent du consommateur et produit la quantité efficace ($p = MC$).

Expliquez comment le delta de Black-Scholes $\Delta = \partial V/\partial S$ est analogue à une quantité marginale, et comment l'argument du portefeuille réplicant dérive l'équation de Black-Scholes par l'analyse marginale.