Lição 68 — Cinemática: posição, velocidade e aceleração

$s(t) = 2t^2 - 6t$. Calculez $v(t)$ et $a(t)$.

$s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$. Quand $v = 0$ ? À chaque instant, l'objet accélère-t-il ou freine-t-il ?

$s(t) = 100 - 5t^2$ (chute libre, $g = 10$ m/s²). Quand touche-t-elle le sol ? Vitesse à cet instant.

$s(t) = 5t + \frac{3}{2}t^2 + \frac{1}{2}t^3$. Vitesse et accélération en $t = 2$.

$s(t) = e^{-t}\sin t$. Calculez $v(t)$ et $a(t)$. Que révèle l'amplitude décroissante ?

$s(t) = 10\sin(2t)$. Identifiez $A$, $\omega$ et la période $T$. Écrivez $v(t)$.

$s(t) = t^4 - 4t^3 + 6t^2$. Vitesse maximale sur $[0, 3]$.

$s(t) = \ln(1 + t^2)$. Calculez $v(t)$ et évaluez en $t = 1$.

$s(t) = t^2 - 4t$. Distance parcourue entre $t = 0$ et $t = 4$ (attention : $v$ change de signe).

$s(t) = A\cos(\omega t)$. Calculez le jerk $j(t) = s'''(t)$.

$s(t) = 2t^3 - 6t + 1$. Quand la vitesse est-elle nulle ? Y a-t-il inversion de direction ?

$s(t) = \sin(t^2)$. Calculez $v(t)$ (règle de chaîne) et évaluez en $t = \sqrt{\pi}$.

Balle lancée vers le haut avec $v_0 = 20$ m/s à partir du sol. Hauteur maximale ($g = 10$ m/s²).

Voiture à $v_0 = 30$ m/s freine uniformément à $a = -5$ m/s². Distance de freinage (Torricelli).

Avion part du repos et décolle à $v_f = 80$ m/s après piste de $1000$ m. Accélération moyenne et temps de décollage.

Pierre tombe de $h = 80$ m. Temps de chute et rapidité à l'impact ($g = 10$ m/s²).

Voiture accélère $0 \to 100$ km/h en $10{,}5$ s. Accélération moyenne et distance parcourue à l'accélération.

Lancement oblique : $v_0 = 50$ m/s à $30°$ de l'horizontal. Portée horizontale ($g = 10$ m/s²).

Fusée : $a(t) = 30 - 0{,}5t$ m/s² jusqu'à $t = 60$ s (moteur s'arrête). Vitesse et position à l'arrêt.

Train freine uniformément, parcourt $200$ m en $20$ s et s'arrête. Quelle était $v_0$ ?

Balle jetée du haut d'une tour de $50$ m avec $v_0 = 20$ m/s vers le haut. Temps jusqu'à toucher le sol.

Objet de $m = 1$ kg tombe avec traînée $b = 0{,}2$ kg/s. Vitesse terminale ($g = 10$ m/s²).

Masse-ressort : $m = 1$ kg, $k = 100$ N/m. Fréquence angulaire $\omega$, période $T$ et fréquence $f$.

$x(t) = 0{,}1\cos(2\pi t)$. Amplitude, période, $v(t)$ et vitesse maximale.

Pendule de longueur $L = 1$ m. Fréquence angulaire $\omega = \sqrt{g/L}$ et période ($g = 10$ m/s²).

Vérifiez que $x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$ satisfait l'EDP $\ddot{x} + \omega^2 x = 0$.

MHS : $E = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + \frac{1}{2}kx^2$. Montrez que $E$ est constante en dérivant par rapport au temps.

$x(t) = e^{-t}\cos(5t)$ (oscillateur amorti). Fréquence apparente et comportement de l'amplitude.

Déphasage entre $x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$ et $v(t)$. Confirmez $90°$.

Montrez que $a(t)$ et $x(t)$ sont déphasés de $180°$ en MHS — i.e., $a = -\omega^2 x$.

Balle lancée vers le haut. Au point le plus haut, l'accélération est :

Expliquez pourquoi la vitesse moyenne ($\Delta s/\Delta t$) $\neq$ moyenne des vitesses en général. Donnez un exemple numérique.

Expliquez la différence entre la vitesse (grandeur vectorielle 1D avec signe) et la rapidité (scalaire). Pourquoi $v < 0$ est-il possible ?

Mouvement circulaire : $\vec{r} = R(\cos\omega t, \sin\omega t)$. Montrez que $\vec{a} = -\omega^2\vec{r}$ et $|\vec{a}| = R\omega^2$.

Projectile lancé avec $v_0$ et angle $\theta$. Dérivez la formule de la portée $R = v_0^2\sin(2\theta)/g$ et l'angle optimal.

Voiture : 60 km/h pendant 1 h, puis 120 km/h pendant 1 h. Vitesse moyenne par temps ? Et par distance égale parcourue ?

Chute avec traînée quadratique : $m\dot{v} = -mg - bv^2$. Vitesse terminale et solution analytique de $v(t)$ (via séparation des variables).

Hélice : $\vec{r}(t) = (R\cos\omega t, R\sin\omega t, vt)$. Calculez $\vec{v}$, $|\vec{v}|$ et $\vec{a}$.

Démontrez l'équation de Torricelli $v_f^2 = v_0^2 + 2a\,\Delta s$ à partir des équations du MUV, en éliminant le temps $t$.

Montrez qu'en MHS la moyenne temporelle d'énergie cinétique et potentielle sont égales à $E/2$ chacune — en utilisant $\langle\sin^2\rangle = \langle\cos^2\rangle = 1/2$.