Lição 69 — Méthode de Newton-Raphson

$f(x) = x^2 - 2$, $x_0 = 1$. Appliquez 3 itérations de Newton-Raphson. Comparez avec $\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots$

$f(x) = x^2 - 5$, $x_0 = 2$. Appliquez 3 itérations pour estimer $\sqrt{5}$.

$f(x) = x^3 - 2$, $x_0 = 1$. Appliquez 3 itérations pour estimer $\sqrt[3]{2}$.

$f(x) = \cos x - x$, $x_0 = 1$. Appliquez 3 itérations pour estimer le point fixe de $\cos$.

$f(x) = e^x - 2$, $x_0 = 1$. Appliquez 3 itérations pour estimer $\ln 2$.

$f(x) = x \ln x - 1$, $x_0 = 2$. Approximez la racine à 4 décimales.

$f(x) = \sin x$, $x_0 = 3$. Montrez numériquement que les itérations convergent vers $\pi$.

$f(x) = x^3 - x - 1$, $x_0 = 1{,}5$. Approximez la racine réelle (constante plastique $\approx 1{,}3247$).

$f(x) = x^2 - x - 1$, $x_0 = 1{,}5$. Approximez le nombre d'or $\phi = (1 + \sqrt{5})/2$.

$f(x) = \tan x - x$, $x_0 = 4{,}5$. Approximez la plus petite racine positive supérieure à $\pi$.

Montrez que la formule de Héron $x_{n+1} = (x_n + a/x_n)/2$ pour calculer $\sqrt{a}$ est exactement Newton-Raphson appliqué à $f(x) = x^2 - a$.

Généralisez : quelle est l'itération de Newton pour calculer $\sqrt[n]{a}$ ? Appliquez pour $n = 3$, $a = 8$, $x_0 = 2$ (2 étapes).

Montrez que $x_{n+1} = x_n(2 - ax_n)$ calcule $1/a$ via Newton sans aucune opération de division. Appliquez pour $a = 7$, $x_0 = 0{,}1$ (3 étapes).

Minimisez $g(x) = x^4 - 4x + 1$ en appliquant Newton-Raphson à $g'(x) = 0$, avec $x_0 = 1{,}5$.

Flux de trésorerie : $-1000$, $300$, $400$, $500$ (années 0, 1, 2, 3). Le TRI $r$ est la racine de $f(r) = -1000 + 300/(1+r) + 400/(1+r)^2 + 500/(1+r)^3 = 0$. Utilisez Newton avec $r_0 = 0{,}15$.

En Black-Scholes, donné le prix de marché $V_{\text{mkt}}$ d'une option, expliquez comment utiliser Newton-Raphson pour trouver la volatilité implicite $\sigma$. Quel est le rôle du vega dans l'itération ?

Dans l'équation de van der Waals $(P + a/V^2)(V - b) = RT$, donné $P$, $T$ (et les constantes du gaz), utilisez Newton pour trouver le volume molaire $V$. Esquissez l'itération.

Équation de Kepler : $E - e \sin E = M$. Pour $e = 0{,}3$ (excentricité) et $M = 1$ rad (anomalie moyenne), utilisez Newton avec $E_0 = 1$ pour trouver l'anomalie excentrique $E$ (4 itérations).

Quel comportement Newton-Raphson peut-il exhiber quand l'estimation initiale $x_0$ est lointaine de la racine ?

Quel est le critère d'arrêt le plus robuste pour Newton-Raphson ?

Montrez que Newton-Raphson avec $f(x) = x^3 - 2x + 2$ et $x_0 = 0$ cycle indéfiniment entre $0$ et $1$.

$f(x) = x^2$ (racine double en $x = 0$), $x_0 = 1$. Montrez que Newton-Raphson converge seulement linéairement, avec raison $1/2$.

$f(x) = x^{1/3}$ a une racine en $x = 0$ mais $f'(0)$ n'existe pas. Que se passe-t-il avec Newton-Raphson ? Calculez 4 itérations en partant de $x_0 = 1$.

Appliquez la méthode de la sécante ($x_0 = 1$, $x_1 = 2$) à $f(x) = x^2 - 2$ par 4 itérations. Comparez avec Newton (exercice 69.1).

$f(x) = x^3 - 3x + 1$ a 3 racines réelles. Appliquez Newton avec $x_0 = 2$, puis avec $x_0 = -2$, puis avec $x_0 = 0{,}5$. Quelle racine chaque estimation trouve-t-elle ?

Newton modifié pour racine double : $x_{n+1} = x_n - 2f(x_n)/f'(x_n)$. Appliquez à $f(x) = (x-1)^2$, en partant de $x_0 = 3$. Comparez avec l'itération standard.

Newton pour l'optimisation : montrez qu'appliquer Newton à $g'(x) = 0$ pour minimiser $g$ est équivalent au Newton standard avec $f = g'$. Appliquez pour minimiser $g(x) = e^x - 3x$ avec $x_0 = 0$.

Pour $f(z) = z^3 - 1$ dans le plan complexe, décrivez qualitativement les 3 bassins de Newton. Sur la droite réelle, quelle racine $x_0 = 2$ et $x_0 = -0{,}5$ atteignent-elles ?

Démontrez la convergence quadratique de Newton-Raphson via Taylor d'ordre 2. Identifiez la constante $C = |f''(r)|/(2|f'(r)|)$.

Démontrez : si $f$ est convexe croissante avec racine simple $r$ et $x_0 > r$ avec $f(x_0) > 0$, Newton-Raphson converge vers $r$.

Généralisez Newton-Raphson pour $\vec{f}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$. Écrivez le système linéaire à résoudre à chaque étape et identifiez le rôle de la Jacobienne $J$.

Montrez que l'itération de Héron $x_{n+1} = (x_n + a/x_n)/2$ converge quadratiquement vers $\sqrt{a}$ pour tout $x_0 > 0$.