Lição 71 — Medidas de tendência central: média, mediana, moda

Données : 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9. Calculez la moyenne, la médiane et la mode.

Notes de 8 élèves : 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 10. Calculez la moyenne, la médiane et la mode.

Salaires mensuels (mille reais) : 2, 2, 3, 4, 5, 50. Comparez moyenne et médiane. Laquelle représente mieux le salaire typique ?

Âges de 7 participants : 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24. Calculez la moyenne, médiane et mode.

Temps de chargement (s) : 0,5 ; 0,7 ; 0,8 ; 0,9 ; 1,1 ; 1,5 ; 7,0. Calculez la moyenne et la médiane. La médiane est-elle plus informative que la moyenne dans ce cas ?

Couleurs de voitures dans un parking : 12 blanches, 8 noires, 5 grises, 5 rouges. Quelle mesure de tendance centrale est appropriée ?

Données : 1, 1, 2, 3, 5, 5, 7. Déterminez la (les) mode(s). Comment se classe cette distribution ?

Tableau de fréquences : $x$ = 4, 5, 6, 7, 8 avec fréquences $f$ = 2, 3, 5, 3, 2. Calculez la moyenne arithmétique.

Données groupées : intervalles $[0,10)$, $[10,20)$, $[20,30)$ avec fréquences 5, 12, 3. Calculez la moyenne en utilisant les points médians.

Une classe a un âge moyen $\bar{x} = 17{,}5$ ans. Un nouvel élève de 20 ans entre et la nouvelle moyenne passe à $17{,}75$ ans. Combien d'élèves y avait-il originalement ?

Calculez moyenne, médiane et mode pour : 3, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 9.

Calculez moyenne, médiane et mode(s) pour : 10, 10, 11, 12, 13, 14, 14, 15, 19.

Pourquoi l'IBGE préfère-t-il utiliser la médiane (et non la moyenne) pour décrire le revenu par habitant du Brésil ?

Temps d'attente aux urgences : la plupart sont vus en 1 à 2 heures, mais certains cas graves attendent plus de 10 heures. Quelle mesure utiliser pour décrire le temps d'attente typique ? Justifiez.

Un fabricant veut déclarer la durée de vie typique de ses ampoules LED. Suggérez quelle mesure de tendance centrale utiliser et justifiez.

Un sondage électoral demande à 1 000 électeurs quel parti ils ont l'intention de voter. Quelle mesure de tendance centrale identifiera le parti préféré ?

Pour une distribution unimodale avec asymétrie à droite (queue longue positive), quel est l'ordre typique entre mode, médiane et moyenne ? Expliquez intuitivement.

Distribution uniforme sur $[0, 10]$. Déterminez la moyenne, la médiane et discutez la mode. Que cela dit-il sur les distributions symétriques ?

Les notes d'ENEM ont une distribution proche de la normale. Moyenne ou médiane est plus appropriée pour décrire le désempen typique ? Justifiez.

Un investisseur veut savoir le nombre de chambres le plus courant dans les appartements d'un quartier. Quelle mesure utiliser ?

Temps de chargement de page : 95 % des requêtes répondent en moins de 300 ms, mais 1 % prend plus de 5 s. Pourquoi les ingénieurs de fiabilité préfèrent-ils la médiane (P50) et les percentiles (P95, P99) à la moyenne ?

Pourquoi pour une distribution continue symétrique unimodale, les trois mesures de tendance centrale sont-elles égales ? Expliquez géométriquement.

Test A/B : le temps de paiement du site A a moyenne 12 s et médiane 9 s. Le site B a moyenne 10 s et médiane 10 s. Quel site a la meilleure expérience pour l'utilisateur typique ? Justifiez.

L'entreprise A rapporte seulement un salaire moyen de 10 mille reais. L'entreprise B rapporte une moyenne de 8 mille et une médiane de 7 mille reais. Qu'est-ce que l'absence de médiane en A peut cacher ?

En K-means, le centroïde d'un cluster est la moyenne. Quel est l'effet d'une valeur aberrante sur le centroïde ? Comment K-medoids (qui utilise le point médian) atténue ce problème ?

Contrôle de qualité : pièces avec diamètre moyen $\bar{d} = 10{,}05$ mm et distribution approximativement symétrique. À quelle valeur attendriez-vous que la médiane soit proche ? Pourquoi ?

En apprentissage automatique, MSE comme fonction de perte implique que le modèle apprenne à estimer la moyenne conditionnelle. MAE implique que le modèle estime la médiane conditionnelle. Expliquez pourquoi cela découle de la caractérisation variationnelle des mesures centrales.

Une méta-analyse avec 50 études rapporte la médiane de la taille d'effet au lieu de la moyenne. Pourquoi la médiane est-elle préférée en méta-analyse ?

Pourquoi le diagramme à boîtes utilise-t-il la médiane comme ligne centrale (et l'IQR comme largeur de la boîte) au lieu d'utiliser la moyenne et l'écart-type ?

En apprentissage fédéré, pourquoi remplacer la moyenne des gradients par la médiane augmente la résistance aux clients malveillants (attaques Byzantine) ?

Pour la distribution log-normale ($\ln X \sim N(\mu, \sigma^2)$) : mode $= e^{\mu-\sigma^2}$, médiane $= e^\mu$, moyenne $= e^{\mu+\sigma^2/2}$. Vérifiez l'ordonnancement mode inférieure à médiane inférieure à moyenne pour $\sigma > 0$.

Salaires (mille reais) : 4, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8 (8 employés). Un PDG avec salaire de 60 mille reais est ajouté (sans en supprimer aucun). Calculez la moyenne et la médiane avant et après. Quelle mesure a changé plus ?

Notes de 30 élèves à un examen, groupées : $[60,70)$ : 3 élèves ; $[70,80)$ : 8 élèves ; $[80,90)$ : 12 élèves ; $[90,100]$ : 7 élèves. Calculez la moyenne estimée par les points médians.

Montrez que $\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x}) = 0$.

Montrez que $\sum_{i=1}^{n}(x_i - c)^2$ est minimisé en $c = \bar{x}$ pour toute séquence $x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{R}$.

Montrez que $\sum_{i=1}^{n}|x_i - c|$ est minimisé en $c = \text{médiane}$. (Suggestion : analysez ce qui se passe en déplaçant $c$ d'un côté ou de l'autre de la médiane, en comptant combien de $x_i$ se situent au-dessus et au-dessous.)

Montrez que si $y_i = ax_i + b$ (transformation linéaire), alors $\bar{y} = a\bar{x} + b$.

La moyenne satisfait $\overline{f(x_i)} = f(\bar{x})$ en général ? Et la médiane ? Investiguez avec $f(t) = t^2$ et les données $x = \{1, 2, 3\}$.

Distribution de Cauchy : $f(x) = 1/[\pi(1+x^2)]$. Calculez la médiane. Montrez que la moyenne n'existe pas (l'intégrale $\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x)\,dx$ diverge).

Montrez que si nous remplaçons la plus grande valeur d'un ensemble de données par une valeur encore plus grande, la médiane ne change pas, mais la moyenne augmente.

Deux groupes ont des moyennes $\bar{x}_1$ et $\bar{x}_2$ avec tailles $n_1$ et $n_2$. Dérivez la formule de la moyenne combinée des deux groupes.

L'inégalité de Jensen affirme que pour $\varphi$ convexe, $\varphi(E[X]) \leq E[\varphi(X)]$. Appliquez avec $\varphi(t) = t^2$ pour obtenir une inégalité entre $\bar{x}^2$ et $\overline{x^2}$. Que cela implique-t-il sur la variance ?