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Lição 72 — Variance et écart-type

Dispersion statistique : à quel point les données s'éloignent de la moyenne. Variance de population et d'échantillon, écart-type, formule computationnelle, propriétés de linéarité et d'indépendance.

Used in: 2.º ano du EM (16-17 ans) · Equiv. Stochastik LK allemand · Equiv. Math B japonais · Equiv. H2 Statistics singapourien

\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Définition rigoureuse

Variance et écart-type — population et échantillon

"La variance est plus ou moins la distance quadratique moyenne de chaque point de données à la moyenne. L'unité associée à la variance est en unités carrées. Pour que la mesure de dispersion ait les mêmes unités que les données, on prend la racine carrée de la variance, appelée écart-type." — OpenIntro Statistics §2.1, Diez et al., CC-BY-SA.

"Dans les problèmes de statistique, on n'a généralement accès qu'à un échantillon de la population, d'où on utilise les données d'échantillon pour estimer les paramètres de population. Pour cela, on divise par le degré de liberté de l'échantillon, $n-1$ , au lieu de $n$ ." — OpenStax Statistics §2.7, Illowsky & Dean, CC-BY.

Propriétés algébriques

Theorem· Propriétés de la variance

Pour des variables aléatoires $X, Y$ et des constantes $a, b \in \mathbb{R}$ :

\text{Var}(b) = 0

what this means · Constante a variance nulle : pas de dispersion.

\text{Var}(aX + b) = a^2 \, \text{Var}(X)

what this means · Translation n'affecte pas la dispersion ; l'échelle entre au carré.

\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) \quad (X, Y \text{ indépendants})

what this means · Pour X et Y indépendants, les variances s'additionnent — analogie avec Pythagore en L².

\text{Var}(X) \geq 0

what this means · Variance est toujours non-négative.

Démonstration de $\text{Var}(aX+b) = a^2 \text{Var}(X)$ : comme $E[aX+b] = a\mu + b$ , on a $\text{Var}(aX+b) = E[(aX+b - a\mu - b)^2] = E[(a(X-\mu))^2] = a^2 E[(X-\mu)^2] = a^2 \text{Var}(X)$ . $\square$

Représentation géométrique — diagramme de dispersion

Deux ensembles de même moyenne mais dispersions distinctes. Points éloignés de la ligne pointillée (moyenne) produisent une variance élevée ; points groupés produisent une variance faible.

Exemples résolus

Example— 1· Calcul direct de variance et écart-type (application)

Problème : Calculez la variance de population $\sigma^2$ et l'écart-type $\sigma$ pour les données $\{2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9\}$ .

Stratégie : Appliquer la définition en quatre étapes : moyenne, écarts, carrés des écarts, moyenne des carrés.

Résolution :

Moyenne : $\mu = \frac{2+4+4+4+5+5+7+9}{8} = \frac{40}{8} = 5$ .
Écarts $x_i - \mu$ : $-3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4$ .
Écarts au carré : $9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16$ . Somme $= 32$ .
Variance de population : $\sigma^2 = \frac{32}{8} = 4$ .
Écart-type : $\sigma = \sqrt{4} = 2$ .

Vérification : $\sigma = 2$ a la même unité que les données. Vérifions : l'intervalle $[\mu - \sigma, \mu + \sigma] = [3, 7]$ contient les valeurs 4, 4, 4, 5, 5, 7 — six des huit données (75%), compatible avec la règle empirique (au moins 68% pour toute distribution en cloche, Chebyshev garantit au moins 75% pour toute distribution).

Source. OpenIntro Statistics §2.1, exemple "Toy data for variance" — licence CC-BY-SA.

Example— 2· Variance d'échantillon avec correction de Bessel (application)

Problème : Huit étudiants ont passé un test de statistique. Les notes étaient : 72, 85, 90, 68, 78, 92, 81, 74. Calculez la variance d'échantillon $s^2$ et l'écart-type d'échantillon $s$ .

Stratégie : Utiliser le diviseur $n-1$ parce que les données sont un échantillon d'une classe plus grande. J'utiliserai la formule computationnelle $s^2 = \frac{\sum x_i^2 - n\bar{x}^2}{n-1}$ pour l'efficacité.

Résolution :

$n = 8$ . Somme : $72+85+90+68+78+92+81+74 = 640$ . Moyenne : $\bar{x} = 640/8 = 80$ .
$\sum x_i^2 = 5184 + 7225 + 8100 + 4624 + 6084 + 8464 + 6561 + 5476 = 51718$ .
$\sum x_i^2 - n\bar{x}^2 = 51718 - 8 \times 6400 = 51718 - 51200 = 518$ .
$s^2 = \frac{518}{7} \approx 74{,}0$ .
$s = \sqrt{74{,}0} \approx 8{,}6$ points.

Vérification : En inspectant les données, toutes les valeurs sont entre 68 et 92, amplitude 24. Un écart-type de 8,6 est raisonnable — correspond à environ $1/3$ de l'amplitude, une valeur typique.

Source. OpenStax Statistics §2.7, exemple "Find the Standard Deviation" — licence CC-BY.

Example— 3· Variance de variable aléatoire discrète (intermédiaire)

Problème : Un dé honnête à 6 faces. Soit $X$ le résultat. Calculez $\text{Var}(X)$ .

Stratégie : Utiliser la formule $\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ avec la distribution uniforme discrète.

Résolution :

$P(X = k) = 1/6$ pour $k \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ .
$E[X] = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$ .
$E[X^2] = \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6} = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6}$ .
$\text{Var}(X) = \frac{91}{6} - \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182}{12} - \frac{147}{12} = \frac{35}{12}$ .
Écart-type : $\sigma = \sqrt{35/12} \approx 1{,}71$ .

Vérification : La formule générale pour $X$ uniforme sur $\{1, \ldots, n\}$ est $\text{Var}(X) = (n^2-1)/12$ . Pour $n=6$ : $(36-1)/12 = 35/12$ . Conforme.

Source. Grinstead & Snell, Introduction to Probability, Ch. 6, Example 6.1 — licence GNU FDL.

Example— 4· Propriété de linéarité et coefficient de variation (intermédiaire)

Problème : Une machine remplit des bouteilles avec volume moyen $\mu = 500$ mL et $\sigma = 4$ mL. L'entreprise vend par caisses de 12 bouteilles. (a) Quel est l'écart-type du volume total d'une caisse, en supposant les bouteilles indépendantes ? (b) Quel est le coefficient de variation ( $CV$ ) d'une bouteille individuelle ?

Stratégie : Pour (a), utiliser la propriété d'indépendance : $\text{Var}(X_1 + \cdots + X_{12}) = 12\sigma^2$ . Pour (b), appliquer $CV = \sigma/\mu$ .

Résolution :

(a) Soit $S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{12}$ avec $X_i$ indépendants et identiquement distribués.

$\text{Var}(S) = 12 \cdot \sigma^2 = 12 \cdot 16 = 192 \text{ mL}^2$ .

$\sigma_S = \sqrt{192} = 8\sqrt{3} \approx 13{,}9$ mL.

(b) $CV = \frac{\sigma}{\mu} = \frac{4}{500} = 0{,}008 = 0{,}8\%$ .

Un $CV$ de 0,8% est très bas — la machine est consistante.

Vérification : Pour 12 bouteilles indépendantes, l'écart-type croît avec $\sqrt{12}$ , pas avec 12. $4\sqrt{12} \approx 13{,}9$ . Consistant avec le calcul.

Source. OpenStax Statistics §2.7, exercice de propriétés — licence CC-BY.

Example— 5· Inégalité de Chebyshev — bornes de probabilité (modélisation)

Problème : Une ligne de production fabrique des pièces avec masse moyenne $\mu = 200$ g et écart-type $\sigma = 5$ g. Sans connaître la distribution exacte, déterminez une borne inférieure pour la proportion de pièces avec masse entre 185 g et 215 g.

Stratégie : Chebyshev fournit une borne universelle : $P(|X - \mu| < k\sigma) \geq 1 - 1/k^2$ . Identifier $k$ à partir de la plage demandée.

Résolution :

Plage demandée : $[185, 215] = [\mu - 15, \mu + 15]$ .
$15 = 3\sigma$ (puisque $\sigma = 5$ ). Donc $k = 3$ .
Chebyshev : $P(|X - 200| < 15) \geq 1 - \frac{1}{3^2} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \approx 88{,}9\%$ .

Au moins 88,9% des pièces sont dans la tolérance, indépendamment de la distribution.

Vérification : Si la production était normale, avec $k=3$ on aurait 99,7% — bien plus. Chebyshev est conservateur. La valeur 88,9% est la pire borne possible pour toute distribution avec $\mu = 200, \sigma = 5$ .

Source. Grinstead & Snell, Introduction to Probability, §8.1, Chebyshev Inequality — licence GNU FDL.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 24Understanding 3Modeling 9Proof 4

Ex. 72.1Application
Calculez la variance de population et l'écart-type de $\{4, 6, 8\}$ .
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Ex. 72.2Application
Calculez la variance d'échantillon $s^2$ et l'écart-type d'échantillon $s$ pour $\{2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9\}$ .
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Ex. 72.3Application
Calculez l'écart-type de population de $\{5, 6, 7, 8, 9\}$ .
Solve online
Ex. 72.4ApplicationAnswer key
Quelle est la variance de $\{10, 10, 10, 10\}$ ? Expliquez géométriquement.
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Ex. 72.5ApplicationAnswer key
Calculez la variance de population de $\{0, 100\}$ .
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Ex. 72.6Application
Salaires (mille R$) : $3, 3, 4, 4, 5, 20$ . Calculez la moyenne et l'écart-type d'échantillon. Commentez l'effet de la valeur aberrante.
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Ex. 72.7Application
Utilisez la formule computationnelle $\overline{x^2} - \bar{x}^2$ pour calculer la variance de $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ .
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Ex. 72.8Application
Temps d'attente (min) à 8 services : $5, 7, 6, 8, 4, 5, 6, 7$ . Calculez l'écart-type d'échantillon.
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Ex. 72.9ApplicationAnswer key
Poids (kg) de 6 pastèques : $8, 9, 9, 10, 11, 13$ . Calculez $s^2$ et $s$ .
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Ex. 72.10Application
$X$ prend les valeurs $1, 2, 3$ avec probabilités $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}$ . Calculez $\text{Var}(X)$ .
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Ex. 72.11Application
Dé honnête de 6 faces. Calculez $\text{Var}(X)$ .
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Ex. 72.12ApplicationAnswer key
Somme de deux dés honnêtes indépendants. Calculez $\text{Var}(S)$ en utilisant la propriété d'indépendance.
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Ex. 72.13Application
Température maximale (°C) sur 7 jours : $10, 7, 4, 9, 8, 11, 5$ . Calculez la variance d'échantillon.
Solve online
Ex. 72.14Application
Utilisez la formule computationnelle $E[X^2] - (E[X])^2$ pour calculer la variance de $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ .
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Ex. 72.15ApplicationAnswer key
Si $\text{Var}(X) = 9$ , calculez $\text{Var}(2X + 5)$ .
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Ex. 72.16Application
Si $\sigma_X = 4$ , quel est l'écart-type de $3X$ ?
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Ex. 72.17ApplicationAnswer key
$\text{Var}(X) = 4$ , $\text{Var}(Y) = 9$ , $X$ et $Y$ indépendants. Calculez $\text{Var}(X+Y)$ et $\text{Var}(X-Y)$ .
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Ex. 72.18Application
Standardisez $X = 80$ si $\mu = 70$ , $\sigma = 5$ . Calculez le score $z$ .
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Ex. 72.19Application
$F = 1{,}8C + 32$ (conversion Celsius vers Fahrenheit). Si $\sigma_C = 5$ °C, quel est $\sigma_F$ ?
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Ex. 72.20Application
Calculez le coefficient de variation $CV = \sigma/\mu$ pour les hauteurs ( $\mu = 170$ cm, $\sigma = 8$ cm) et les poids ( $\mu = 70$ kg, $\sigma = 12$ kg). Quel ensemble est relativement plus variable ?
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Ex. 72.21Application
Standardisez $\{60, 70, 80\}$ en utilisant $\mu = 70, \sigma = 10$ . Quelle est la moyenne et l'écart-type des scores $z$ ?
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Ex. 72.22Application
$\text{Var}(X) = 16$ . Quel est $\text{Var}(-X)$ ?
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Ex. 72.23ApplicationAnswer key
Moyenne d'échantillon de $n = 25$ observations indépendantes avec $\sigma = 10$ . Quel est l'écart-type de la moyenne ?
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Ex. 72.24Application
Somme de 100 variables aléatoires iid avec $\sigma = 1$ . Quel est l'écart-type de la somme ?
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Ex. 72.25Understanding
Pourquoi la variance d'échantillon utilise-t-elle le diviseur $n-1$ au lieu de $n$ ?
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Ex. 72.26Understanding
Pour comparer la dispersion entre salaires (R$) et hauteurs (cm), préférez-vous $\sigma$ ou $CV$ ? Pourquoi ?
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Ex. 72.27Understanding
La variance peut-elle être négative ?
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Ex. 72.28Modeling
Ligne de production : masse moyenne 500 g, $\sigma = 5$ g. Tolérance $\pm 15$ g. Combien de $\sigma$ la tolérance représente-t-elle ?
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Ex. 72.29ModelingAnswer key
Deux fonds avec rendement attendu 8%, mais $\sigma_A = 5\%$ et $\sigma_B = 15\%$ . Lequel choisiriez-vous comme aversion au risque ? Pourquoi ?
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Ex. 72.30Modeling
Vous mesurez une résistance 10 fois : $\bar{R} = 100\,\Omega$ , $s = 0{,}5\,\Omega$ . Estimez l'écart-type de la moyenne.
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Ex. 72.31Modeling
Temps de voyage maison-travail : $\mu = 30$ min, $\sigma = 5$ min. En utilisant l'inégalité de Chebyshev comme borne conservatrice, combien de minutes avant devez-vous partir pour avoir au moins 95% de chance d'arriver à temps ?
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Ex. 72.32Modeling
Processus Six Sigma : $\mu = 10{,}00$ mm, tolérance $9{,}94$ à $10{,}06$ mm. Quel est le plus grand $\sigma$ qui satisfait encore la condition Six Sigma ?
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Ex. 72.33ModelingAnswer key
Actions A : $\sigma_A = 1\%$ ; Actions B : $\sigma_B = 2\%$ . Portefeuille 50-50, corrélation zéro. Variance du portefeuille.
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Ex. 72.34Modeling
Même portefeuille que l'exercice précédent, mais avec corrélation $-0{,}5$ entre les actions. Variance. Comparez avec le cas de corrélation zéro.
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Ex. 72.35Modeling
En apprentissage automatique, pourquoi les features avec différentes échelles doivent-elles être standardisées avant d'entraîner les modèles basés sur gradient ?
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Ex. 72.36Modeling
Notes de l'ENEM en Mathématiques : $\mu \approx 520$ , $\sigma \approx 110$ points. Un étudiant a obtenu 740. Calculez le score $z$ et interprétez (en combien d'écarts-types au-dessus de la moyenne est-il ?).
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Ex. 72.37Proof
Démontrez que $\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ à partir de la définition $\text{Var}(X) = E[(X-\mu)^2]$ .
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Ex. 72.38Proof
Démontrez que $\text{Var}(aX + b) = a^2\,\text{Var}(X)$ pour toutes constantes $a, b$ .
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Ex. 72.39ProofAnswer key
Démontrez que $\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$ quand $X$ et $Y$ sont indépendants.
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Ex. 72.40Proof
Démontrez l'inégalité de Chebyshev : $P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \dfrac{1}{k^2}$ pour $k > 0$ .
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Sources

OpenIntro Statistics (4ème éd.) — Diez, Çetinkaya-Rundel, Barr · CC-BY-SA. Source primaire de cette leçon. §2.1–§2.2 couvrent variance d'échantillon, écart-type, boîte à moustaches et exemples appliqués.
Statistics (OpenStax) — Illowsky, Dean · CC-BY. §2.7 couvre les mesures de dispersion, formule computationnelle, exercices avec calculatrice et données d'éducation/santé.