Lição 75 — Distribuição binomial

$X \sim \text{Bin}(5, 0{,}5)$. Calcule $P(X = 3)$.

$X \sim \text{Bin}(10, 0{,}3)$. Calcule $P(X = 0)$.

$X \sim \text{Bin}(8, 0{,}25)$. Calcule $P(X = 2)$.

$X \sim \text{Bin}(6, 1/6)$. Calcule $P(X \geq 1)$ par le complément.

$X \sim \text{Bin}(4, 0{,}5)$. Construis le tableau complet de PMF pour $k = 0, 1, 2, 3, 4$.

$X \sim \text{Bin}(20, 0{,}1)$. Calcule $E[X]$ et $\text{Var}(X)$.

$X \sim \text{Bin}(100, 0{,}5)$. Calcule $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$.

Lance 10 pièces. Calcule $P(\text{exactement 5 faces})$.

Lance 10 pièces. Calcule $P(\text{au moins 8 faces})$.

Lance un dé 6 fois. Calcule $P(\text{exactement 2 six})$.

Lance un dé 6 fois. Calcule $P(\text{aucun six})$.

Pour $X \sim \text{Bin}(n, p)$, calcule $P(X = 0) + P(X = n)$ en fonction de $n$ et $p$.

Pour $X \sim \text{Bin}(n, p)$, dérive le ratio $P(X = k)/P(X = k-1)$ en fonction de $n$, $p$ et $k$.

Montre que le mode de $\text{Bin}(n, p)$ est $\lfloor (n+1)p \rfloor$. Calcule le mode de $\text{Bin}(10, 0{,}3)$.

$X \sim \text{Bin}(100, 0{,}3)$. Approxime $P(X \leq 25)$ par la normale (utilise la correction de continuité).

$X \sim \text{Bin}(1000, 0{,}001)$. Utilise l'approximation Poisson pour $P(X = 0)$.

$X \sim \text{Bin}(50, 0{,}5)$. Approxime $P(X \geq 30)$ par la normale avec correction de continuité.

$X_1 \sim \text{Bin}(10, 0{,}3)$ et $X_2 \sim \text{Bin}(20, 0{,}3)$ indépendants. Quelle est la distribution de $X_1 + X_2$ ?

$X \sim \text{Bin}(50, 0{,}02)$. Utilise l'approximation Poisson pour $P(X = 0)$, $P(X = 1)$ et $P(X = 2)$.

Élection : $p = 0{,}52$, $n = 1000$. Approxime $P(\hat p < 0{,}50)$, la chance que le sondage se trompe sur le leader.

Pour $X \sim \text{Bin}(n, 0{,}5)$, à partir de quel $n$ l'approximation normale est-elle considérée bonne ? Justifie.

Montre que la variance de $\text{Bin}(n, p)$ est maximisée en $p = 0{,}5$ pour $n$ fixe.

Filtre spam avec 90% de rappel. En 500 e-mails réels de spam, $P(\text{marquer} \geq 470)$.

Pourquoi la formule $\text{Var}(X) = np(1-p)$ peut-elle être déduite par la décomposition en variables de Bernoulli?

Chaîne de production : 3% de défectueuses. Lot de 50 pièces. Calcule $P(\text{au moins 3 défectueuses})$.

Vaccin : efficacité 85%. En 100 vaccinés, $P(\geq 90 \text{ protégés})$. Utilise l'approximation normale.

Test A/B : variante A, 100 visiteurs, 14 ont acheté. Variante B, 100 visiteurs, 22 ont acheté. Calcule la p-valeur du z-test pour différence de proportions.

Sondage électoral : $n = 1500$, marge d'erreur désirée $\pm 2{,}5\%$ à 95%. La taille est-elle suffisante ?

Génétique : croisement $Aa \times Aa$, chaque descendant a prob. $1/4$ d'être $AA$. En 8 enfants, $P(\text{exactement 2 sont } AA)$.

Centre d'appels : 5% des appels défaillent. En 200 appels, calcule l'espérance et $\sigma$ de défaillances.

Six Sigma (avec ajustement 1,5σ) : taux de 3,4 ppm. En 1 million de pièces, utilise l'approximation Poisson pour $P(0 \text{ défauts})$ et $E[\text{défauts}]$.

Pari : 30% de chance de gagner R$100. Chaque coup coûte R$ 25. En 20 coups, quel est le profit attendu total ?

Taux de conversion de leads : 1%. Pour fermer en moyenne 5 affaires par mois, combien de leads dois-tu générer ?

ENEM : 60% des candidats atteignent note minimale en rédaction. En classe de 20 élèves, calcule $E[X]$, $\sigma$ et $P(X \geq 15)$.

Urne avec 30% de boules rouges. 50 tirages avec remplacement. Pourquoi la binomiale s'applique-t-elle ? Calcule $E[X]$ et $P(X = 15)$.

Concours public : 8% de taux de réussite. Classe de 30 élèves. $E[\text{réussis}]$ et $P(\text{au moins 1 réussi})$.

Pourquoi la binomiale ne s'applique-t-elle pas au tirage sans remplacement ? Donne un contre-exemple numérique où utiliser la binomiale donnerait une réponse incorrecte.

Quelle est la différence fondamentale entre distribution binomiale et hypergéométrique ?

Démontre $E[X] = np$ et $\text{Var}(X) = np(1-p)$ via décomposition $X = Y_1 + \cdots + Y_n$ en variables de Bernoulli.

Démontre la limite Poisson : $\text{Bin}(n, \lambda/n) \to \text{Poisson}(\lambda)$ quand $n \to \infty$ avec $\lambda$ fixe.

Démontre que $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = 1$ en utilisant le Théorème Binomial.

Démontre l'additivité : si $X \sim \text{Bin}(n_1, p)$ et $Y \sim \text{Bin}(n_2, p)$ indépendants (même $p$), alors $X + Y \sim \text{Bin}(n_1 + n_2, p)$.