Lição 76 — Distribuição normal

$X \sim \mathcal N(70, 10^2)$. Calculez le z-score pour $X = 85$.

$X \sim \mathcal N(100, 15^2)$. Calculez le z-score pour $X = 80$.

Calculez $P(Z \leq 1{,}96)$.

Calculez $P(Z \geq 1{,}96)$.

Calculez $P(-1{,}96 \leq Z \leq 1{,}96)$.

Calculez $P(Z \leq -1{,}5)$.

Calculez $P(0 \leq Z \leq 2)$.

$X \sim \mathcal N(50, 10^2)$. Calculez $P(X > 65)$.

$X \sim \mathcal N(50, 10^2)$. Calculez $P(40 < X < 60)$.

$X \sim \mathcal N(0, 4)$ (variance = 4). Calculez $P(X > 3)$.

Calculez le quantile 90% de $\mathcal N(100, 15^2)$.

Calculez $Q_1$ (quantile 25%) de $\mathcal N(100, 15^2)$.

QI $\sim \mathcal N(100, 15^2)$. Quel pourcentage de la population a un QI entre 85 et 115 ?

QI $\sim \mathcal N(100, 15^2)$. Quel pourcentage a un QI au-dessus de 130 ?

QI $\sim \mathcal N(100, 15^2)$. Quel pourcentage a un QI au-dessus de 145 ?

Tailles $\sim \mathcal N(170, 8^2)$ cm. Quel pourcentage a une taille au-dessus de 186 cm ?

Notes $\sim \mathcal N(70, 10^2)$. À partir de quelle note commence le top 5% ?

$X \sim \mathcal N(0, 1)$. Calculez $P(|X| > 3)$.

Pour $X \sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)$, quelle est la relation entre la médiane, le mode et $\mu$ ?

$X \sim \mathcal N(20, 4^2)$ et $Y \sim \mathcal N(10, 3^2)$ indépendantes. Quelle est la distribution de $X + Y$ ?

Salaire mensuel $\sim \mathcal N(5000, 1500^2)$ réals. Quel est le salaire plancher du top 10% ?

Durée de vol $\sim \mathcal N(120, 10^2)$ min. Combien de temps réserver pour avoir 99% de confiance d'arriver à temps ?

Retours quotidiens d'action $\sim \mathcal N(0{,}001,\; 0{,}01^2)$. Calculez $P(\text{perte} > 2\%)$.

Tension $\sim \mathcal N(220, 5^2)$. L'appareil échoue si $V > 235$ V. Calculez la probabilité d'échec.

Pièces avec diamètre $\mathcal N(10{,}00;\; 0{,}02^2)$ mm. Tolérance $10{,}00 \pm 0{,}05$ mm. Quelle fraction est rejetée ?

Sondage auprès de 1000 personnes estimant une proportion réelle $p = 0{,}50$. Construisez l'IC 95% pour $p$.

$\bar X = 105$, $n = 25$, $\sigma = 10$ (connu). Construisez l'IC 95% pour $\mu$.

Test $H_0: \mu = 100$ vs. $H_1: \mu \neq 100$. $\bar X = 105$, $n = 25$, $\sigma = 10$. Calculez la p-valeur et décidez.

Temps d'exécution $\sim \mathcal N(50, 5^2)$ ms. Pour garantir un SLA avec 95% des requêtes sous le seuil, quel threshold définir ?

Six Sigma : spécification $\mu \pm 6\sigma$. Avec ajustement de 1,5σ pour dérive du processus, calculez les défauts par million. Pourquoi le résultat est-il 3,4 ppm et non pratiquement zéro ?

Graphique X-bar avec $n = 5$, $\sigma = 2$ (connu), $\bar{\bar{X}} = 100$. Calculez UCL et LCL à $\pm 3\sigma$.

Scores de modèle ML $\sim \mathcal N(0{,}80,\; 0{,}05^2)$. Quel est le threshold pour sélectionner le top 20% des modèles ?

Résistor 100Ω avec tolérance $\pm 5\%$. En supposant $\sigma = 5/3$ ohm (3σ = tolérance), calculez la fraction dans la spécification.

Retour annuel de portefeuille $\sim \mathcal N(5\%, 20\%^2)$. Calculez la probabilité de retour négatif en un an.

Notes ENEM (Mathématiques) $\sim \mathcal N(520, 110^2)$. Calculez $P(\text{note} > 700)$.

IPCA annuel modélisé comme $\mathcal N(4{,}5\%,\; 1{,}5\%^2)$. Cible d'inflation : jusqu'à 6,5%. Quelle est la probabilité de dépasser la cible ?

Pourquoi standardisons-nous à la distribution normale standard ? Qu'est-ce qui justifie l'existence d'une seule table $\Phi(z)$ ?

La queue de la distribution normale est-elle « fine » ou « lourde » ? Pourquoi cela importe-t-il en modélisation du risque financier ?

Montrez que si $X \sim \mathcal N(0, 1)$, alors $Y = X^2$ a une distribution chi-carré avec 1 degré de liberté.

Démontrez que si $X \sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)$ et $Y = aX + b$ (avec $a > 0$), alors $Y \sim \mathcal N(a\mu + b,\; a^2\sigma^2)$.

Démontrez que $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2/2}\,dx = \sqrt{2\pi}$ par l'astuce du changement en coordonnées polaires.

Démontrez (esquisse) que la distribution normale maximise l'entropie différentielle parmi toutes les distributions continues avec moyenne $\mu$ et variance $\sigma^2$ fixées.