v1 · padrão canônico

Lição 77 — Theorema Central do Limite

A média de n v.a. iid converge à normal independente da distribuição original — a lei mais importante da estatística. Demonstração via função característica, velocidade Berry-Esseen, aplicações de inferência.

Used in: 2.º ano do EM (16-17 anos) · Math B japonês §4.4 · Stochastik LK alemão · H2 Math singapurense cap. 21

\bar X_n \xrightarrow{d} \mathcal{N}\!\left(\mu,\,\frac{\sigma^2}{n}\right) \quad (n \to \infty)

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Enoncé formel et démonstration

Version Lindeberg-Lévy

Definition· Théorème Central Limite (version classique)

Soient $X_1, X_2, \ldots$ des variables aléatoires iid (indépendantes et identiquement distribuées) avec $E[X_i] = \mu \in \mathbb{R}$ et $\text{Var}(X_i) = \sigma^2 \in (0, +\infty)$ . Définissez la statistique standardisée

$Z_n = \frac{\bar X_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}, \quad \bar X_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.$

Alors $Z_n \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0, 1)$ : pour tout $z \in \mathbb{R}$ ,

$\lim_{n \to \infty} P(Z_n \leq z) = \Phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^z e^{-t^2/2}\,dt.$

"The central limit theorem is the unofficial sovereign of probability theory." — Grinstead & Snell, Introduction to Probability, §9.1

Version pour les sommes

Si $S_n = X_1 + \cdots + X_n$ , alors $S_n \approx \mathcal{N}(n\mu,\, n\sigma^2)$ pour $n$ grand.

Z_n = \frac{S_n - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0,1)

what this means · Standardisation de la somme : même formule, échelle différente.

Vitesse de convergence : inégalité de Berry-Esseen

Esquisse de démonstration via fonction caractéristique

Soit $Y_i = (X_i - \mu)/\sigma$ (moyenne zéro, variance 1). Expansion de Taylor de $\varphi_{Y_i}$ :

$\varphi_{Y_i}(t) = 1 - \frac{t^2}{2} + o(t^2) \quad (t \to 0).$

Pour $Z_n = (Y_1 + \cdots + Y_n)/\sqrt{n}$ :

$\varphi_{Z_n}(t) = \left[\varphi_{Y_i}\!\left(\frac{t}{\sqrt{n}}\right)\right]^n = \left[1 - \frac{t^2}{2n} + o\!\left(\frac{1}{n}\right)\right]^n \xrightarrow{n\to\infty} e^{-t^2/2}.$

Or $e^{-t^2/2}$ est la fonction caractéristique de $\mathcal{N}(0, 1)$ . Le Théorème de Lévy (continuité) conclut $Z_n \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0,1)$ . $\blacksquare$

Quand le TCL ne s'applique pas

Hypothèses essentielles

Indépendance (minimum suffisant ; relâchable pour $\alpha$ -mixing).
Variance finie $\sigma^2 < \infty$ .
n suffisamment grand — règle pratique : $n \geq 30$ pour des distributions peu asymétriques ; $n \geq 100$ pour une forte asymétrie.

Exemples résolus

Example— 1· Poids moyen de colis postés à la Poste

Problème. Les colis postés à la Poste ont poids moyen $\mu = 2{,}4$ kg et écart-type $\sigma = 0{,}8$ kg (distribution inconnue). Un tri aléatoire sélectionne 64 colis. Quelle est la probabilité que le poids moyen de l'échantillon dépasse 2,6 kg ?

Stratégie. Par le TCL, $\bar X_{64} \approx \mathcal{N}(2{,}4,\; 0{,}8^2/64)$ . Standardiser et consulter la table de $z$ .

Résolution.

$\sigma_{\bar X} = 0{,}8/\sqrt{64} = 0{,}8/8 = 0{,}1$ kg.

$z = \frac{2{,}6 - 2{,}4}{0{,}1} = \frac{0{,}2}{0{,}1} = 2{,}0.$

$P(\bar X > 2{,}6) = P(Z > 2{,}0) = 1 - \Phi(2{,}0) = 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228 \approx 2{,}3\%$ .

Vérification. Règle 68-95-99,7 : $\pm 2\sigma_{\bar X}$ contient 95%, donc 2,5% sur chaque queue. Résultat de 2,3% est cohérent.

Fonte. OpenStax Statistics, §7.2, Example 7.2 — CC-BY

Example— 2· Election : probabilité de la proportion d'échantillon

Problème. Dans une élection, 42% des électeurs soutiennent le candidat A ( $p = 0{,}42$ ). Un sondage de sortie interroge 1 000 électeurs au hasard. Quelle est la probabilité que la proportion d'échantillon $\hat p$ soit inférieure à 0,40 ?

Stratégie. $\hat p$ est la moyenne de Bernoulli iid. Par le TCL, $\hat p \approx \mathcal{N}(p, p(1-p)/n)$ .

Résolution.

$\sigma_{\hat p} = \sqrt{0{,}42 \times 0{,}58 / 1000} = \sqrt{0{,}000244} \approx 0{,}01562$ .

$z = \frac{0{,}40 - 0{,}42}{0{,}01562} \approx -1{,}28.$

$P(\hat p < 0{,}40) = \Phi(-1{,}28) \approx 0{,}1003 \approx 10\%$ .

Vérification. Différence de 2 points de pourcentage avec $\sigma \approx 1{,}6\%$ donne $z \approx -1{,}25$ ; valeurs cohérentes.

Fonte. OpenIntro Statistics, §5.4, Exercise 5.39, p. 224 — CC-BY-SA

Example— 3· Taille d'échantillon pour marge d'erreur

Problème. Un institut veut estimer le salaire moyen des ingénieurs à SP avec marge d'erreur $\pm$ R$ 200 à 95% de confiance. Sondage pilote : $s = 1.800$ reais. Quel est le minimum de $n$ ?

Stratégie. Par le TCL, l'IC à 95% a demi-largeur $1{,}96\,\sigma/\sqrt{n}$ . Isoler $n$ .

Résolution.

$1{,}96 \times \frac{1800}{\sqrt{n}} = 200 \implies \sqrt{n} = \frac{1{,}96 \times 1800}{200} = 17{,}64 \implies n = 17{,}64^2 \approx 311{,}2.$

Arrondir vers le haut : $n = 312$ .

Vérification. $1{,}96 \times 1800/\sqrt{312} \approx 199{,}6 < 200$ . Correct.

Fonte. OpenStax Statistics, §7.3, Tamanho de amostra (Sample Size Calculation) — CC-BY

Example— 4· Somme des pertes en assurance (modélisation actuarielle)

Problème. Un assureur a 500 polices d'automobile. Chaque sinistre a coût moyen R$ 3.000 et écart-type R$ 1.200 (distribution exponentielle). Quelle est la probabilité que le total des sinistres dépasse R$ 1.560.000 ?

Stratégie. $S_{500} = \sum X_i \approx \mathcal{N}(500 \times 3000,\; 500 \times 1200^2)$ par le TCL (version sommes).

Résolution.

$E[S] = 500 \times 3000 = 1.500.000$ ; $\text{Var}(S) = 500 \times 1200^2 = 720.000.000$ .

$\sigma_S = \sqrt{720.000.000} \approx 26.833$ .

$z = \frac{1.560.000 - 1.500.000}{26.833} \approx \frac{60.000}{26.833} \approx 2{,}237.$

$P(S > 1.560.000) = P(Z > 2{,}237) \approx 1 - 0{,}9873 \approx 1{,}3\%$ .

Vérification. $\pm 2\sigma_S$ correspond à $\pm$ R$ 53.666 ; $60.000 > 2\sigma_S$ , donc moins de 2,5% — cohérent avec 1,3%.

Fonte. OpenIntro Statistics, §4.4, p. 199–202 — CC-BY-SA

Example— 5· Berry-Esseen : quantifier l'erreur de l'approximation

Problème. $X_i \sim \text{Bernoulli}(0{,}1)$ ; $\mu = 0{,}1$ , $\sigma^2 = 0{,}09$ , $E[|X-\mu|^3] = 0{,}9^3 \times 0{,}1 + 0{,}1^3 \times 0{,}9 = 0{,}0738$ . Pour $n = 100$ , quel est la borne de Berry-Esseen sur l'erreur $\sup_z |F_{Z_{100}}(z) - \Phi(z)|$ ?

Stratégie. Appliquer directement l'inégalité avec $C = 0{,}5$ .

Résolution.

$\rho = E[|X - \mu|^3] = 0{,}0738$ ; $\sigma^3 = 0{,}3^3 = 0{,}027$ .

$\text{Borne} \leq \frac{0{,}5 \times 0{,}0738}{0{,}027 \times \sqrt{100}} = \frac{0{,}0369}{0{,}27} \approx 0{,}137.$

L'erreur maximale d'approximation est inférieure à 13,7 points de pourcentage — borne conservatrice, l'erreur réelle est bien plus petite.

Vérification. Pour Bernoulli(0,1) avec $n = 100$ , la table binomiale vs. normale montre une erreur réelle de 1–2% — Berry-Esseen est lâche comme attendu.

Fonte. Grinstead & Snell, Introduction to Probability, §9.3, p. 346–349 — GNU FDL

Exercise list

37 exercises · 9 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 4Modeling 9Challenge 2Proof 2

Ex. 77.1Application
$X$ exponentielle avec $\mu = 1$ et $\sigma = 1$ . Écrivez la distribution approximée de $\bar X_{100}$ et calculez $\sigma_{\bar X}$ .
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Ex. 77.2Application
$X$ uniforme sur $[0, 1]$ . Déterminez $\mu$ et $\sigma^2$ , et écrivez la distribution approximée de $\bar X_{50}$ par le TCL.
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Ex. 77.3ApplicationAnswer key
Lancez 100 dés non biaisés. Déterminez la distribution approximée de la somme $S_{100}$ , en indiquant $E[S]$ et $\text{Var}(S)$ .
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Ex. 77.4Application
$X \sim \text{Bernoulli}(0{,}3)$ . Écrivez la distribution approximée de $\bar X_{200}$ par le TCL et calculez l'écart-type de la proportion d'échantillon.
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Ex. 77.5Application
Une population a $\mu = 50$ et $\sigma = 10$ . Pour $n = 25$ , calculez l'écart-type de $\bar X$ (en nombres entiers).
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Ex. 77.6ApplicationAnswer key
Utilisant les données de 77.5 ( $\mu = 50$ , $\sigma = 10$ , $n = 25$ ), calculez $P(\bar X > 53)$ .
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Ex. 77.7Application
Avec les mêmes paramètres ( $\mu = 50$ , $\sigma = 10$ , $n = 25$ ), calculez $P(\bar X < 47)$ .
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Ex. 77.8Application
$X$ avec $\mu = 100$ , $\sigma = 20$ , $n = 100$ . Calculez $P(98 < \bar X < 102)$ .
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Ex. 77.9Application
Somme de 50 variables aléatoires iid avec $\mu = 5$ , $\sigma = 2$ . Calculez $P(S_{50} > 270)$ .
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Ex. 77.10Application
$X$ avec $\mu = 10$ , $\sigma = 3$ . Combien d'observations $n$ pour un IC de 95% avec marge d'erreur $\pm 0{,}5$ ?
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Ex. 77.11Understanding
Quand la taille d'échantillon $n$ est multipliée par 4, l'écart-type de $\bar X$ ( $= \sigma/\sqrt{n}$ ) :
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Ex. 77.12Understanding
$X$ a une distribution très asymétrique (skewness = 3). Pour quelle taille de $n$ le TCL est-il raisonnable ?
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Ex. 77.13Application
Notes avec $\mu = 70$ , $\sigma = 15$ . Échantillon $n = 36$ . Calculez $P(\bar X > 75)$ .
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Ex. 77.14Application
Avec les mêmes paramètres de 77.13 ( $\mu = 70$ , $\sigma = 15$ , $n = 36$ ), calculez $P(\bar X < 65)$ .
Solve online
Ex. 77.15Application
Avec $\mu = 70$ , $\sigma = 15$ , $n = 36$ et $\bar X = 72$ , construisez un IC de 95% pour $\mu$ .
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Ex. 77.16ApplicationAnswer key
Poids de paquets : $\mu = 500$ g, $\sigma = 50$ g. Échantillon $n = 25$ . Calculez $P(\bar X > 520)$ .
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Ex. 77.17ApplicationAnswer key
Avec les paramètres de 77.16 ( $\mu = 500$ g, $\sigma = 50$ g, $n = 25$ ), calculez $P(485 < \bar X < 515)$ .
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Ex. 77.18Application
Temps de réponse : $\mu = 50$ ms, $\sigma = 10$ ms. Moyenne de 100 mesures. Quel est la limite de SLA de 95% ?
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Ex. 77.19Application
Lancez un dé 1.000 fois. Calculez $P(\bar X > 3{,}6)$ .
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Ex. 77.20Application
Utilisant la distribution de la somme $S_{1000}$ de 1.000 lancers de dé, calculez $P(S_{1000} > 3600)$ .
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Ex. 77.21Application
$X \sim \text{Exp}(1)$ ( $\mu = 1$ , $\sigma = 1$ ). Calculez $P(\bar X_{100} > 1{,}1)$ .
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Ex. 77.22ApplicationAnswer key
Sondage électoral : $p = 0{,}40$ , $n = 1000$ . Calculez $P(\hat p > 0{,}43)$ .
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Ex. 77.23ModelingAnswer key
Vous détenez 50 actions indépendantes ; rendement quotidien de chacune : $\mu = 0{,}1\%$ , $\sigma = 2\%$ . Quelle est la distribution du rendement moyen quotidien du portefeuille ?
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Ex. 77.24ModelingAnswer key
Modèle de ML : erreur individuelle $\sigma = 0{,}5$ . Calculez l'écart-type de l'erreur moyenne sur 1.000 prédictions.
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Ex. 77.25Modeling
Déterminez la taille d'échantillon pour détecter une différence de proportions de 5% avec $\alpha = 0{,}05$ et une puissance de 80%.
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Ex. 77.26Modeling
Estimation de $\pi$ par Monte Carlo : $n$ points aléatoires dans le carré $[0,1]^2$ , comptez ceux qui tombent dans le quart de disque. Quel est l'écart-type de l'estimation de $\pi$ comme fonction de $n$ ?
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Ex. 77.27Modeling
Lot de 500 pièces : $\mu = 100$ g, $\sigma = 5$ g. Déterminez la distribution de la masse totale $S_{500}$ .
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Ex. 77.28Modeling
Temps d'attente de bus : $\mathcal{U}[0, 30]$ min. Calculez $P(\bar T_{50} > 16)$ pour l'attente moyenne de 50 passagers.
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Ex. 77.29Modeling
Graphique de contrôle X-barre avec $n = 5$ . Les limites de contrôle sont $\bar X \pm 3\sigma_{\bar X}$ . Calculez la largeur de l'intervalle en termes de $\sigma$ du processus.
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Ex. 77.30Modeling
Enquête de satisfaction : marge d'erreur $\pm 3\%$ à 95% de confiance, $p$ inconnu. Quel est le $n$ minimum ?
Solve online
Ex. 77.31ModelingAnswer key
Durée d'appel : $\mu = 3$ min, $\sigma = 1{,}5$ min. 100 appels par heure. Déterminez la distribution du temps total et calculez $P(\text{total} > 330\text{ min})$ .
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Ex. 77.32ChallengeAnswer key
Test A/B : 10.000 visiteurs par variante ; taux de conversion A = 5%, B = 6%. Le lift de 1 point de pourcentage est-il statistiquement significatif ? Calculez la valeur $z$ et la $p$ -valeur.
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Ex. 77.33Understanding
Laquelle des options suivantes décrit correctement le Théorème Central Limite ?
Solve online
Ex. 77.34Understanding
Pourquoi le TCL classique de Lindeberg-Lévy ne s'applique pas à la distribution de Cauchy ?
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Ex. 77.35Challenge
Simulez le TCL en Python pour distribution exponentielle avec $\lambda = 1$ . Générez des histogrammes de 10.000 moyennes d'échantillons pour $n \in \lbrace 1, 5, 30 \rbrace$ et comparez visuellement avec la courbe normale théorique.
Solve online
Ex. 77.36Proof
Esquissez la démonstration du TCL via fonction caractéristique, indiquant où chaque hypothèse (variance finie, iid) est utilisée.
Solve online
Ex. 77.37Proof
Montrez que le TCL implique la Loi Faible des Grands Nombres : si $Z_n \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0,1)$ , alors $\bar X_n \xrightarrow{P} \mu$ .
Solve online

Fontes

OpenIntro Statistics (4e éd) — Diez, Çetinkaya-Rundel, Barr · 2019 · CC-BY-SA. Source primaire des exercices 77.2, 77.4, 77.8, 77.11, 77.14–17, 77.22–23, 77.25–26, 77.28, 77.30, 77.33–34.
OpenStax Statistics — Illowsky, Dean · 2022 · CC-BY. Source des exercices 77.1, 77.3, 77.5–7, 77.9–10, 77.12–13, 77.18–19, 77.21, 77.24, 77.27, 77.29, 77.31, 77.35 et exemples 1–3.
Introduction to Probability (Grinstead-Snell) — Grinstead, Snell · Dartmouth · GNU FDL. Source des exercices 77.19–20, 77.26, 77.36–37 et exemple 5.