Lição 78 — Correlação e regressão linear simples

$X = (1, 2, 3, 4)$, $Y = (2, 4, 6, 8)$. Calculez $r$ sans calculatrice et justifiez le résultat.

$X = (1, 2, 3, 4)$, $Y = (8, 6, 4, 2)$. Calculez $r$ et identifiez le signe attendu avant le calcul.

$X = (1, 2, 3)$, $Y = (1, 4, 9)$. Calculez $r$ et discutez si la relation est linéaire.

Si $U = X + 5$ et $V = 2Y$, quelle est la relation entre $r(U, V)$ et $r(X, Y)$ ? Justifiez par la définition.

Données avec $n = 5$ paires : $x = (1, 2, 3, 4, 5)$ et $y = (10, 7, 5, 4, 3)$. Calculez $r$.

$X = (1, 2, 3, 4, 5)$, $Y = (1, 4, 5, 9, 10)$. Calculez $r$ et la covariance $s_{xy}$.

$r = 0,85$, $\bar x = 10$, $\bar y = 50$, $s_x = 3$, $s_y = 12$. Trouvez la droite des moindres carrés.

En utilisant la droite de l'exercice 78.7 ($\hat y = 16 + 3,4x$), prédisez $Y$ pour $x = 15$ et pour $x = 5$.

Avec $r = 0,85$ (exercice 78.7), calculez $r^2$ et interprétez en termes de variance expliquée.

En utilisant la droite de 78.7, calculez le résidu du point $(10, 55)$.

Que signifie $r = 0$ ?

Les ventes de glace se corrèlent positivement avec les décès par noyade ($r \approx 0,8$). La meilleure explication est :

Avec $r = 0,6$, $s_x = 2$, $s_y = 5$, calculez les inclinaisons des deux droites de régression : $Y$ en $X$ et $X$ en $Y$. Les droites coïncident-elles ?

Un modèle de régression explique 64 % de la variance des dépenses en fonction du revenu. Quel est $|r|$ ?

Si $V = -Y$, quelle est la relation entre $r(X, V)$ et $r(X, Y)$ ?

Relation taille ($X$) vs. poids ($Y$) : $\bar x = 170$ cm, $\bar y = 70$ kg, $s_x = 8$ cm, $s_y = 12$ kg, $r = 0,75$. Équation de la droite et prédiction pour une personne de 175 cm.

Un chercheur a trouvé $r = 0,82$ entre Indice de Perception de la Corruption et PIB par habitant dans 120 pays. Interprétez $r^2$ et discutez les limitations causales.

Un graphique de résidus vs. valeurs ajustées montre un motif en U (résidus d'abord négatifs, puis positifs). Qu'indique cela sur le modèle linéaire ?

$n = 25$, $r = 0,45$. Testez $H_0: \rho = 0$ vs. $H_1: \rho \neq 0$ au niveau 5 %.

$n = 50$, $r = 0,60$. Construisez un IC de 95 % pour $\rho$ en utilisant la transformation de Fisher.

Pour chaque paire, identifiez si c'est corrélation causale, factice, ou causalité inverse : (a) pluie et ventes de parapluies ; (b) nombre de policiers et criminalité par ville.

Interprétez $r^2 = 0,25$ dans une étude reliant années d'étude et salaire.

Expliquez le risque d'extrapoler la droite de régression pour les valeurs de $x$ hors de l'intervalle d'échantillonnage.

En finance, le "bêta" d'une action est le coefficient de régression du rendement de l'action sur le rendement du marché. Exprimez bêta en termes de $r$, $s_{r_i}$ et $s_{r_m}$.

Un distributeur d'énergie a des données mensuelles de température moyenne (°C) et consommation (MWh) des 5 dernières années. Décrivez le flux d'analyse de corrélation et régression pour prévoir consommation.

Les quatre ensembles d'Anscombe ont $r \approx 0,82$ et même droite de régression. Pourquoi le modèle linéaire est adéquat pour l'ensemble I mais pas pour les trois autres ?

Pourquoi la corrélation de Spearman est plus adéquate que Pearson pour données ordinales (ex. : satisfaction de 1 à 5) ou avec valeurs aberrantes ?

Différenciez confondeur, médiateur et modérateur dans une étude observationnelle.

$n = 22$ paires ; $r^2 = 0,64$ ; SQT = 500. Calculez la Somme des Carrés des Résidus (SQR) et le RMSE.

Pourquoi $R^2$ ne décroît jamais quand on ajoute une variable au modèle, et comment $R^2$ ajusté résout ce problème ?

Quelle propriété définit la droite des moindres carrés (OLS) ?

Prouvez que $-1 \leq r \leq 1$ en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz.