Lição 91 — Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias

Classifiez $y''' + y'' - y = 0$: déterminez l'ordre, si c'est linéaire et si c'est homogène.

Classifiez $y' + xy = 0$: ordre, linéaire/non-linéaire, homogène.

Classifiez $y' + y^2 = x$: ordre et linéaire/non-linéaire.

Classifiez $y'' + y = \sin x$: ordre, linéaire/non-linéaire, homogène.

Vérifiez que $y = e^{2x}$ est solution de $y' = 2y$.

Vérifiez que $y = \sin x$ est solution de $y'' + y = 0$.

Vérifiez que $y = x^2 + 3$ est solution du PVI $y' = 2x$, $y(0) = 3$.

Vérifiez que $y = e^{-t}\cos t$ est solution de $y'' + 2y' + 2y = 0$.

Montrez que $y(t) = Ce^{-kt}$ est la solution générale de $y' = -ky$.

La chute libre est modélisée par $y'' = -g$ (accélération gravitationnelle constante). Trouvez la solution générale par intégration double.

Quelle est la solution générale de $y'' - y = 0$?

Qu'est-ce qu'une condition initiale détermine dans la solution d'une EDO?

Résolvez $y' = 3x^2$, $y(0) = 5$.

Résolvez $y' = \sin x$, $y(0) = 1$.

Résolvez $y'' = 6x$, $y(0) = 1$, $y'(0) = 2$.

Résolvez $y' = ky$, $y(0) = y_0$. Exprimez en termes de $k$ et $y_0$.

Résolvez $y' = 2y$, $y(0) = 5$. Calculez $y(3)$.

Résolvez $y' = -0{,}1\,y$, $y(0) = 100$. Calculez $y(20)$.

Résolvez $y' = e^x$, $y(0) = 0$.

Résolvez $y'' = 0$, $y(0) = 1$, $y'(0) = -3$.

Résolvez $y' = 1/x$, $y(1) = 0$ (domaine $x > 0$).

Résolvez $y'' = -y$, $y(0) = 1$, $y'(0) = 0$.

Résolvez $y'' + 2y' + 2y = 0$, $y(0) = 0$, $y'(0) = 1$.

Un condensateur se décharge: $V' = -V/(RC)$. Pour $V_0 = 12$ V et $RC = 1$ s, calculez $V(2)$.

Colonie de bactéries double chaque heure. Population initiale: 100. Écrivez l'EDO et calculez $N(5)$.

Investissement de R$ 1.000 à 5 % a.a. avec intérêts continus. Écrivez l'EDO et calculez le montant en 10 ans.

Café à 90 °C, salle 25 °C, $k = 0{,}04$ min$^{-1}$. Écrivez l'EDO, résolvez, et déterminez en combien de temps la température atteint 50 °C.

Carbone-14 ($\tau_{1/2} = 5730$ ans). Un fossile a 25 % du C-14 initial. Calculez son âge.

Médicament: demi-vie de 6 h, dose 200 mg. Écrivez l'EDO et calculez ce qui reste après 18 h.

Placement financier à Selic de 14,75 % a.a. avec capitalisation continue. En combien d'années le capital double-t-il?

Épidémie simplifiée: $I' = rI(1 - I/N)$ (équation logistique). Identifiez les équilibres et décrivez le comportement de la solution.

Chute avec résistance de l'air: $m\dot{v} = mg - kv$ ($k > 0$). Calculez la vitesse terminale $v_\infty$ (quand l'accélération cesse).

Iode-131 ($\tau_{1/2} = 8$ jours). Écrivez l'EDO et calculez ce qui reste de 100 g après 24 jours.

Un actif se déprécie de 3 % par an de façon continue. Écrivez l'EDO et exprimez la valeur après 5 ans en termes de la valeur initiale $P_0$.

(Médico-légal) Corps trouvé à 22 h avec température 32 °C. Salle à 21 °C, $k = 0{,}374$ h$^{-1}$. Température normale du corps: 37 °C. Écrivez l'EDO et trouvez $k$ en utilisant les conditions données.

Qu'est-ce que le Théorème de Picard-Lindelöf garantit pour l'EDO $y' = f(x, y)$, $y(x_0) = y_0$?

Pourquoi la solution générale d'une EDO d'ordre $n$ a-t-elle exactement $n$ constantes arbitraires? Comment cela se rapporte-t-il au nombre de conditions initiales nécessaires?

Expliquez pourquoi $y' = \sqrt{|y|}$, $y(0) = 0$ a une infinité de solutions. Quelle hypothèse du Picard-Lindelöf est violée?

Démontrez que $y = Ce^{kx}$ est l'unique famille de solutions de $y' = ky$ (à moins du choix de $C$). Indice: considérez $z(x) = y(x)\,e^{-kx}$.

Démontrez que la solution de $y' = ky$, $y(0) = y_0$ est $y(t) = y_0 e^{kt}$, en utilisant la technique de séparation de variables (aperçu de la Leçon 92).