Lição 92 — EDOs séparables

Résolvez $\dfrac{dy}{dx} = 5y$.

Résolvez le PVI $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{y}{2}$, $y(0) = 4$.

Résolvez $\dfrac{dy}{dx} = xy$.

Résolvez $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x}{y}$, $y(0) = 2$.

Résolvez $\dfrac{dy}{dx} = e^{x-y}$.

Résolvez $\dfrac{dy}{dx} = (1 + y^2)\cos x$.

Résolvez $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x^2}{y}$, $y(1) = 2$.

Résolvez $y' = y\sqrt{x}$.

Résolvez $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\cos x}{y}$.

Résolvez $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{e^{2x}}{y}$.

Résolvez $\dfrac{dy}{dx} = -2xy^2$.

Résolvez $\dfrac{dy}{dx} = y^2 - 1$ via fractions partielles.

Résolvez $y' = (1-y)/x$, $y(1) = 0$.

Vérifiez que $y = \dfrac{1}{1+e^{-x}}$ résout $y' = y(1-y)$.

Résolvez $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2x}{1+y^2}$.

Résolvez $y'\sin x = y\cos x$.

Résolvez $\dfrac{dy}{dx} = y\tan x$, $y(0) = 1$.

Résolvez $y'\,e^x = y$.

Résolvez $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{x^2}$, $y(1) = e$.

Résolvez $y' = \sqrt{1 - y^2}$. Discutez du domaine et des solutions singulières.

Décroissance radioactive : le ${}^{14}$C a une demi-vie de 5730 ans. Quel pourcentage reste-t-il après 10 000 ans ?

Condensateur RC en décharge : $V(0) = 12$ V, $R = 1\,\text{k}\Omega$, $C = 100\,\mu\text{F}$. Trouvez $V(t)$.

Réservoir de 100 L avec de l'eau pure reçoit 5 L/min de saumure à 10 g/L et s'écoule 5 L/min. Quelle est la concentration après 30 min ?

Colonie de bactéries double tous les 3 h. Combien de temps pour croître 100 fois ?

Refroidissement de Newton : café à 90°C dans une salle à 20°C atteint 70°C en 5 min. Quand atteint-il 30°C ?

Chute avec résistance linéaire : $\dot v = g - kv$, $v(0) = 0$. Résolvez et déterminez la vitesse terminale $v_\infty$.

Concentration de médicament : $\dot C = -0{,}1C$, $C(0) = C_0$. En combien de temps tombe-t-elle à 50% de la dose initiale ?

Investissement avec intérêts continus à 5% par an : $\dot S = 0{,}05 S$. En combien de temps le capital double-t-il ?

Montrez que $y \equiv 0$ est solution de $y' = y^2$. Appartient-elle à la famille générale ? Justifiez.

Pour $y' = y^{2/3}$, $y(0) = 0$, montrez qu'il existe infinites solutions. Pourquoi l'unicité de Picard échoue-t-elle ?

Pourquoi $\displaystyle\int \dfrac{dy}{y} = \ln|y| + C$ utilise-t-il la valeur absolue ?

Pour $\dot y = y(1-y)$, identifiez les équilibres et classez-les comme stables ou instables.

Laquelle des formes suivantes pour $dy/dx = F(x,y)$ correspond à une EDO séparable ?

Résolvez $y' = (x+y)^2$ via substitution $u = x+y$.

Montrez que $\dot y = y^2$, $y(0) = y_0 > 0$ explose en temps fini $T = 1/y_0$. Confirmez avec le critère d'Osgood.

Équation de Bernoulli $y' + P(x)y = Q(x)y^n$. Montrez que la substitution $u = y^{1-n}$ la transforme en une EDO linéaire.

Esquissez la preuve du théorème de Picard-Lindelöf pour $y' = f(x,y)$, $y(x_0) = y_0$, avec $f$ continue et Lipschitz en $y$, via itération de Picard.

Pour $\dot y = h(y)$ avec $h(y) > 0$ pour tout $y \geq y_0$, montrez que la solution est globale si et seulement si $\displaystyle\int_{y_0}^{+\infty} \dfrac{dy}{h(y)} = +\infty$ (critère d'Osgood).

Résolvez $\dfrac{dy}{dx} = y^2 e^x$.

Résolvez $\dfrac{dy}{dx} = y^2 - 4$ via fractions partielles. Identifiez les solutions singulières.

Résolvez $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x^2}{1+y^2}$.

Résolvez $\dfrac{dy}{dx} = e^{-y}\sin x$.

Croissance logistique : $\dot P = 0{,}06\,P(1 - P/500)$, $P(0) = 50$. Quand la population atteint-elle la moitié de la capacité de charge ?

Analysez qualitativement $\dot y = y(2-y)$ sans résoudre explicitement : identifiez les équilibres, la stabilité et le comportement des solutions pour différentes conditions initiales.

Pour $\dot y = y^p$ avec $y(0) = y_0 > 0$, déterminez pour quelles valeurs de $p$ le blow-up en temps fini se produit. Calculez $T$ dans ce cas.