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Lição 82 — Integral definida e área orientada

Soma de Riemann como limite. Integral definida como área orientada sob o gráfico. Propriedades: linearidade, aditividade, monotonicidade. Teorema do Valor Médio Integral.

Used in: 3.º ano do EM (17 anos) · Equiv. Math II japonês cap. 6 · Equiv. Klasse 12 alemã Integral

\int_a^b f(x)\, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\, \Delta x

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Définition rigoureuse

Somme de Riemann

Definition· Intégrale de Riemann

Soit $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ bornée. Une partition $P$ de $[a,b]$ est un ensemble $\{a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b\}$ . La norme de la partition est $\|P\| = \max_i \Delta x_i$ où $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ .

En choisissant des points d'échantillonnage $x_i^* \in [x_{i-1}, x_i]$ , la somme de Riemann est :

$S(f, P) = \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\, \Delta x_i.$

$f$ est intégrable sur $[a,b]$ s'il existe une limite $L$ telle que pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $\delta > 0$ avec $|S(f,P) - L| < \varepsilon$ chaque fois que $\|P\| < \delta$ , indépendamment du choix des $x_i^*$ . On écrit $\int_a^b f(x)\, dx = L$ .

"L'intégrale définie est formellement la limite des sommes de Riemann quand la norme de la partition tend vers zéro." — OpenStax Calculus Vol. 1, §5.2

Sommes de Darboux

Définition équivalente par sommes inférieure et supérieure :

$L(f, P) = \sum_{i=1}^n \Bigl(\inf_{[x_{i-1}, x_i]} f\Bigr) \Delta x_i, \qquad U(f, P) = \sum_{i=1}^n \Bigl(\sup_{[x_{i-1}, x_i]} f\Bigr) \Delta x_i.$

$f$ est intégrable $\iff \sup_P L(f,P) = \inf_P U(f,P)$ .

Critère d'intégrabilité

Propriétés

Definition· Propriétés de l'intégrale définie

Pour $f$ , $g$ intégrables sur $[a, b]$ et $\alpha, \beta, c \in \mathbb{R}$ avec $a \leq c \leq b$ :

Linéarité : $\int_a^b (\alpha f + \beta g) = \alpha \int_a^b f + \beta \int_a^b g$
Additivité : $\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$
Inversion des bornes : $\int_b^a f = -\int_a^b f$
Intégrale nulle : $\int_a^a f = 0$
Monotonicité : $f \leq g$ sur $[a,b] \Rightarrow \int_a^b f \leq \int_a^b g$
Inégalité triangulaire : $\left|\int_a^b f\right| \leq \int_a^b |f|$

Six rectangles de Riemann approchant l'intégrale. À mesure que $n \to \infty$ et $\|P\| \to 0$ , la somme converge vers l'aire exacte.

Théorème de la moyenne pour l'intégrale

Exemples résolus

Example— 1· Somme de Riemann avec n = 4 (basique)

Problème. Estimez $\int_0^2 x^2\, dx$ en utilisant la somme de Riemann droite avec $n = 4$ sous-intervalles.

Stratégie. Diviser $[0, 2]$ en 4 parties égales, prendre le point à droite de chaque partie, calculer la somme.

Résolution. $\Delta x = 2/4 = 0{,}5$ . Points droits : $x_1^* = 0{,}5$ , $x_2^* = 1$ , $x_3^* = 1{,}5$ , $x_4^* = 2$ .

$S_4 = (f(0{,}5) + f(1) + f(1{,}5) + f(2)) \cdot 0{,}5 = (0{,}25 + 1 + 2{,}25 + 4) \cdot 0{,}5 = 7{,}5 \cdot 0{,}5 = 3{,}75.$

(La valeur exacte par le TFC est $\int_0^2 x^2\, dx = 8/3 \approx 2{,}67$ . La somme droite a surestimé car $x^2$ est croissante.)

Vérification. La somme avec $n$ grand converge vers $8/3$ : cela confirme que $3{,}75$ est une approximation par excès.

Source. APEX Calculus, §5.2, Exemple 5.2.4 — CC-BY-NC.

Example— 2· Interprétation géométrique d'intégrale avec fonction négative (basique)

Problème. Interprétez géométriquement $\int_0^\pi \sin x\, dx$ et $\int_\pi^{2\pi} \sin x\, dx$ .

Stratégie. $\sin x \geq 0$ sur $[0, \pi]$ et $\sin x \leq 0$ sur $[\pi, 2\pi]$ . L'intégrale définie mesure l'aire orientée.

Résolution.

$\int_0^\pi \sin x\, dx = [-\cos x]_0^\pi = -\cos\pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2$ (aire au-dessus de l'axe : $+2$ ).
$\int_\pi^{2\pi} \sin x\, dx = [-\cos x]_\pi^{2\pi} = -\cos 2\pi + \cos\pi = -1 - 1 = -2$ (aire en dessous de l'axe : contribution $-2$ ).

Donc $\int_0^{2\pi} \sin x\, dx = 2 + (-2) = 0$ . L'aire géométrique totale est $2 + 2 = 4$ , mais l'intégrale est zéro.

Vérification. Additivité : $\int_0^\pi + \int_\pi^{2\pi} = 2 - 2 = 0 = \int_0^{2\pi} \sin x\, dx$ . Correct.

Source. OpenStax Calculus Vol. 1, §5.2, Exemple 5.18 — CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Estimation par majorante/minorante (intermédiaire)

Problème. Montrez que $2 \leq \int_0^2 \sqrt{x+1}\, dx \leq 2\sqrt{3}$ .

Stratégie. Utiliser la monotonicité : majorer et minorer $\sqrt{x+1}$ sur $[0, 2]$ .

Résolution. Sur $[0, 2]$ : le minimum de $\sqrt{x+1}$ en $x = 0$ est $\sqrt{1} = 1$ ; le maximum en $x = 2$ est $\sqrt{3}$ .

Par monotonicité : $\int_0^2 1\, dx \leq \int_0^2 \sqrt{x+1}\, dx \leq \int_0^2 \sqrt{3}\, dx$ , c'est-à-dire $2 \leq \int \leq 2\sqrt{3}$ .

Vérification. La valeur exacte par le TFC : $\int_0^2 \sqrt{x+1}\, dx = \left[\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}\right]_0^2 = \frac{2}{3}(3^{3/2} - 1) = \frac{2}{3}(3\sqrt{3} - 1) \approx 2{,}80$ , ce qui est entre 2 et $2\sqrt{3} \approx 3{,}46$ . Correct.

Source. Active Calculus, §4.2, Exercice 4.2.3 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Valeur moyenne de fonction continue (défi)

Problème. Calculez la valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur l'intervalle $[1, 4]$ .

Stratégie. Utiliser la formule de la valeur moyenne : $f_{\text{moy}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\, dx$ .

Résolution. $f_{\text{moy}} = \frac{1}{4-1}\int_1^4 x^2\, dx = \frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_1^4 = \frac{1}{3}\left(\frac{64}{3} - \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3} \cdot 21 = 7.$

Par le TMI, il existe $c \in (1, 4)$ tel que $f(c) = 7$ , c'est-à-dire $c^2 = 7$ , donc $c = \sqrt{7} \approx 2{,}65 \in (1, 4)$ . Correct.

Vérification. $\sqrt{7} \approx 2{,}65$ se trouve dans l'intervalle $(1, 4)$ , comme garanti par le TMI. Correct.

Source. APEX Calculus, §5.3, Exemple 5.3.4 — CC-BY-NC.

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 2Modeling 4Challenge 3Proof 1

Ex. 82.1Application
Estimez $\int_0^4 x^2\, dx$ en utilisant la somme de Riemann droite avec $n = 4$ et $\Delta x = 1$ .
Solve online
Ex. 82.2Application
Estimez $\int_0^4 x^2\, dx$ en utilisant la somme de Riemann gauche avec $n = 4$ et $\Delta x = 1$ .
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Ex. 82.3Application
Calculez $\int_0^3 (2x + 1)\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.4Application
Calculez $\int_1^4 3x^2\, dx$ .
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Ex. 82.5ApplicationAnswer key
Calculez $\int_0^\pi \cos x\, dx$ et interprétez le résultat géométriquement.
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Ex. 82.6Application
Calculez $\int_0^1 e^x\, dx$ .
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Ex. 82.7Application
Calculez $\int_1^e \frac{1}{x}\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.8Application
Calculez $\int_0^2 (3x^2 - 4x + 1)\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.9Application
Calculez $\int_0^{\pi/2} \sin x\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.10Application
Calculez $\int_{-1}^2 x^3\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.11Application
Sachant que $\int_0^2 f(x)\, dx = 3$ et $\int_2^5 f(x)\, dx = -4$ , calculez $\int_0^5 f(x)\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.12ApplicationAnswer key
Sachant que $\int_1^3 f(x)\, dx = 5$ et $\int_1^3 g(x)\, dx = 7$ , calculez $\int_1^3 (4f(x) - 2g(x))\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.13Application
Si $\int_2^5 f(x)\, dx = -4$ , quel est $\int_5^2 f(x)\, dx$ ?
Solve online
Ex. 82.14ApplicationAnswer key
Calculez $\int_0^4 \sqrt{x}\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.15Application
Calculez $\int_0^{\pi/4} \sec^2 x\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.16Understanding
Sans calculer, quel est le signe de $\int_{-\pi}^\pi \sin x\, dx$ ?
Solve online
Ex. 82.17Understanding
Quelle affirmation sur $\int_a^b f(x)\, dx$ est correcte ?
Solve online
Ex. 82.18ModelingAnswer key
Un véhicule a une vitesse $v(t) = 3t^2 + 2$ m/s. Quelle est la distance parcourue de $t = 0$ à $t = 4$ s ?
Solve online
Ex. 82.19ModelingAnswer key
La température d'un réacteur industriel varie comme $T(t) = 2t + 1$ °C pendant les 6 premières heures de fonctionnement. Calculez la température moyenne sur cette période.
Solve online
Ex. 82.20ApplicationAnswer key
Sachant que $\int_1^5 f(x)\, dx = 10$ et $\int_3^5 f(x)\, dx = 4$ , calculez $\int_1^3 f(x)\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.21Application
Calculez $\int_{-2}^2 x^3\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.22Application
Calculez $\int_2^5 (4 - x)\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.23Modeling
Calculez l'aire géométrique totale (toujours positive) délimitée par $y = \sin x$ et l'axe $x$ sur $[0, 2\pi]$ .
Solve online
Ex. 82.24Challenge
Utilisez la propriété de monotonicité pour établir des bornes supérieure et inférieure pour $\int_0^1 (x^2 + 1)\, dx$ , sans calculer.
Solve online
Ex. 82.25Challenge
Calculez la valeur moyenne de $f(x) = \sin x$ sur $[0, \pi]$ et trouvez la valeur de $c$ garantie par le TMI.
Solve online
Ex. 82.26Application
Calculez $\int_0^{\pi/2} (\sin x + \cos x)\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.27Application
Calculez $\int_0^2 (e^x - 1)\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.28Challenge
Établissez des bornes pour $\int_1^3 \sqrt{x}\, dx$ et calculez ensuite la valeur exacte.
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Ex. 82.29ModelingAnswer key
Une force variable $F(x) = 10 - 2x$ N agit sur un objet qui se déplace de $x = 0$ à $x = 3$ m. Calculez le travail réalisé ( $W = \int_0^3 F(x)\, dx$ ).
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Ex. 82.30Proof
Démontrez la propriété d'inversion des bornes : $\int_b^a f(x)\, dx = -\int_a^b f(x)\, dx$ .
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Fontes

Active Calculus — Boelkins · §4.2 · CC-BY-NC-SA. Construction intuitive des sommes de Riemann, activités graphiques.
APEX Calculus — Hartman et al. · §5.2–5.3 · CC-BY-NC. Définition formelle, propriétés, exemples numériques.
OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · CC-BY-NC-SA. Critère d'intégrabilité, propriétés, exemples avec fonctions positives et négatives.