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Lição 83 — Teorema Fundamental do Cálculo

TFC Parte 1 e Parte 2. A ponte entre derivada e integral. Regra de Leibniz para limites variáveis. Newton e Leibniz, séc. XVII.

Used in: 3.º ano do EM (17 anos) · Equiv. Math II japonês cap. 6 · Equiv. Klasse 12 alemã

\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a), \quad F'(x) = f(x)

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Énoncé et démonstrations

TFC — Partie 1 : dériver l'intégrale

"Le TFC1 affirme que la dérivée de la fonction définie par une intégrale avec limite supérieure variable est égale à l'intégrande évaluée à la limite supérieure." — OpenStax Calculus Vol. 1, §5.3

Démonstration du TFC1. Par définition de la dérivée :

$G'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{G(x+h) - G(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_x^{x+h} f(t)\, dt.$

Par le théorème de la valeur moyenne intégrale, il existe $c_h$ entre $x$ et $x+h$ tel que $\int_x^{x+h} f(t)\, dt = f(c_h) \cdot h$ . Par conséquent :

$G'(x) = \lim_{h \to 0} f(c_h).$

Comme $c_h \to x$ quand $h \to 0$ et $f$ est continue, $f(c_h) \to f(x)$ . Donc $G'(x) = f(x)$ . $\square$

TFC — Partie 2 : calculer l'intégrale

Démonstration du TFC2. Par le TFC1, $G(x) = \int_a^x f(t)\, dt$ satisfait $G' = f$ . Comme $F' = f$ aussi, $F - G$ a une dérivée nulle sur $(a, b)$ , donc $F(x) = G(x) + C$ pour une constante quelconque $C$ . Alors :

$F(b) - F(a) = [G(b) + C] - [G(a) + C] = G(b) - G(a) = \int_a^b f - 0 = \int_a^b f. \quad \square$

Règle de Leibniz (limites variables)

Exemples résolus

Example— 1· TFC2 appliqué à un polynôme (basique)

Problème. Calculez $\displaystyle\int_1^3 (x^2 + 2x - 1)\, dx$ .

Stratégie. Trouver la primitive via le TFC2 : $F(x)$ avec $F'(x) = x^2 + 2x - 1$ . Puis $F(3) - F(1)$ .

Résolution. $F(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 - x.$

$\int_1^3 (x^2 + 2x - 1)\, dx = F(3) - F(1) = \left(9 + 9 - 3\right) - \left(\frac{1}{3} + 1 - 1\right) = 15 - \frac{1}{3} = \frac{44}{3}.$

Vérification. $F'(x) = x^2 + 2x - 1$ . Ça marche.

Source. APEX Calculus, §5.4, Exemple 5.4.2 — CC-BY-NC.

Example— 3· TFC1 pour dériver une intégrale (intermédiaire)

Problème. Calculez $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_1^{x^3} \cos(t^2)\, dt$ .

Stratégie. TFC1 combiné avec la règle de la chaîne : la limite supérieure est $v(x) = x^3$ .

Résolution. $\frac{d}{dx}\int_1^{x^3} \cos(t^2)\, dt = \cos((x^3)^2) \cdot (x^3)' = \cos(x^6) \cdot 3x^2.$

Vérification. La règle générale de Leibniz : $\frac{d}{dx}\int_a^{v(x)} f(t)\, dt = f(v(x)) \cdot v'(x)$ . Appliquée avec $f(t) = \cos(t^2)$ , $v(x) = x^3$ : $\cos(x^6) \cdot 3x^2$ . Ça marche.

Source. APEX Calculus, §5.4, Exemple 5.4.5 — CC-BY-NC.

Example— 4· Règle de Leibniz avec les deux limites variables (intermédiaire)

Problème. Calculez $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_x^{x^2} \frac{1}{t}\, dt$ pour $x > 0$ .

Stratégie. Règle de Leibniz générale : $f(v(x))v'(x) - f(u(x))u'(x)$ avec $v(x) = x^2$ , $u(x) = x$ , $f(t) = 1/t$ .

Résolution. $\frac{d}{dx}\int_x^{x^2} \frac{1}{t}\, dt = \frac{1}{x^2} \cdot 2x - \frac{1}{x} \cdot 1 = \frac{2}{x} - \frac{1}{x} = \frac{1}{x}.$

Vérification. Alternativement : $\int_x^{x^2} \frac{1}{t}\, dt = \ln(x^2) - \ln x = 2\ln x - \ln x = \ln x$ . En dérivant : $(\ln x)' = 1/x$ . Ça marche.

Source. OpenStax Calculus Vol. 1, §5.3, Exercice 5.132 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Aire entre courbe et axe avec changement de signe (défi)

Problème. Calculez l'aire géométrique totale entre $y = x^2 - 4$ et l'axe $x$ sur $[-3, 3]$ .

Stratégie. La fonction $f(x) = x^2 - 4$ est négative sur $(-2, 2)$ et positive ailleurs. Divisez l'intervalle aux zéros pour sommer les aires avec le bon signe.

Résolution. Zéros : $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ .

Sur $[-3, -2]$ et $[2, 3]$ : $f \geq 0$ . Sur $[-2, 2]$ : $f \leq 0$ .

$A = \int_{-3}^{-2}(x^2-4)\, dx + \left|\int_{-2}^{2}(x^2-4)\, dx\right| + \int_2^3(x^2-4)\, dx.$

$F(x) = x^3/3 - 4x$ .

$F(-2) - F(-3) = (-8/3 + 8) - (-9 + 12) = 16/3 - 3 = 7/3$ .
$F(2) - F(-2) = (8/3 - 8) - (-8/3 + 8) = -32/3$ . Valeur absolue : $32/3$ .
$F(3) - F(2) = (9 - 12) - (8/3 - 8) = -3 + 16/3 = 7/3$ .

Aire totale : $7/3 + 32/3 + 7/3 = 46/3$ .

Vérification. L'intégrale $\int_{-3}^3 (x^2 - 4)\, dx = F(3) - F(-3) = (9-12) - (-9+12) = -3 - 3 = -6 \neq 46/3$ . L'intégrale définie diffère de l'aire géométrique quand $f$ change de signe.

Source. Active Calculus, §4.4, Exercice 4.4.5 — CC-BY-NC-SA.

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 2Modeling 3Challenge 4Proof 1

Ex. 83.1Application
Calculez $\int_0^3 2x\, dx$ par le TFC2.
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Ex. 83.2Application
Calculez $\int_{-1}^2 x^3\, dx$ .
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Ex. 83.3Application
Calculez $\int_0^\pi \sin x\, dx$ .
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Ex. 83.4Application
Calculez $\int_0^2 e^x\, dx$ .
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Ex. 83.5Application
Calculez $\int_0^2 (x^2 - 4x + 1)\, dx$ .
Solve online
Ex. 83.6Application
Calculez $\int_1^e \frac{1}{x}\, dx$ .
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Ex. 83.7Application
Si $G(x) = \int_0^x (t^2 + 1)\, dt$ , calculez $G'(x)$ par le TFC1.
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Ex. 83.8Application
Calculez $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^{x^2} \sin t\, dt$ .
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Ex. 83.9Application
Calculez $\int_0^{\pi/4} \sec^2 x\, dx$ .
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Ex. 83.10Application
Calculez $\int_1^9 \sqrt{x}\, dx$ .
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Ex. 83.11Application
Calculez $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^{x^3} \sqrt{1 + t^2}\, dt$ .
Solve online
Ex. 83.12Application
Calculez $\int_0^\pi (\cos x + \sin x)\, dx$ .
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Ex. 83.13Application
Calculez $\int_0^1 (x^4 - 2x^2 + 1)\, dx$ .
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Ex. 83.14UnderstandingAnswer key
Si $G(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\, dt$ , quel est $G'(x)$ par le TFC1?
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Ex. 83.15Understanding
Si $F'(x) = f(x)$ , quel est l'expression correcte pour $\int_a^b f(x)\, dx$ par le TFC2?
Solve online
Ex. 83.16ApplicationAnswer key
Calculez $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_x^1 t^3\, dt$ .
Solve online
Ex. 83.17Application
Calculez $\int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\, dx$ .
Solve online
Ex. 83.18ModelingAnswer key
Un objet a une vélocité $v(t) = t^2 - 4t + 3$ m/s. Calculez le déplacement net et la distance totale parcourue de $t = 0$ à $t = 4$ s.
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Ex. 83.19ApplicationAnswer key
Calculez $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_x^{x^2} e^{t^2}\, dt$ .
Solve online
Ex. 83.20Application
Calculez $\int_0^2 (2x^3 - 3x^2)\, dx$ .
Solve online
Ex. 83.21Modeling
Le coût marginal de production d'une usine est $C'(q) = 2q + 50$ reais par unité. Calculez le coût total de production des 100 premières unités.
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Ex. 83.22ChallengeAnswer key
Définissez $G(x) = \int_1^x (2t - 1)\, dt$ . Calculez $G(x)$ explicitement, vérifiez que $G'(x) = 2t - 1$ , et évaluez $G(1)$ et $G(3)$ .
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Ex. 83.23ApplicationAnswer key
Sachant que $\int_0^5 f(x)\, dx = 12$ et $\int_0^2 f(x)\, dx = 5$ , calculez $\int_2^5 f(x)\, dx$ .
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Ex. 83.24Challenge
Calculez l'aire de la région délimitée par $y = x^2 - x$ et l'axe $x$ sur $[0, 1]$ .
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Ex. 83.25Application
Calculez $\int_{-2}^2 (x^2 - 1)\, dx$ .
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Ex. 83.26Application
Calculez $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^x \cos(t^2)\, dt$ sans calculer la primitive.
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Ex. 83.27ModelingAnswer key
La puissance électrique d'une usine varie selon $P(t) = 3 + 0{,}5t$ kW ( $t$ en heures). Calculez l'énergie consommée dans les 12 premières heures d'opération et le coût au prix de R$ 0,85 par kWh.
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Ex. 83.28Challenge
Calculez $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_{\sin x}^{\cos x} t^2\, dt$ .
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Ex. 83.29Challenge
Calculez la valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur $[0, 3]$ et trouvez le point $c$ garanti par le TVM intégral.
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Ex. 83.30Proof
Prouvez le TFC2 à partir du TFC1 : si $F' = f$ et $f$ est continue sur $[a,b]$ , alors $\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)$ .
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Sources

Active Calculus — Boelkins · §4.4 · CC-BY-NC-SA. Motivation physique, activité de découverte des deux parties du TFC.
APEX Calculus — Hartman et al. · §5.4 · CC-BY-NC. Démonstrations de TFC1 et TFC2, règle de Leibniz, exercices variés.
OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · CC-BY-NC-SA. Contexte historique Newton/Leibniz, exemples de différenciation d'intégrales.