Lição 84 — Técnica: substituição (u-substitution)

Calculez $\int (2x+1)^4\, dx$.

Calculez $\int x(x^2 - 3)^5\, dx$.

Calculez $\int \cos^3 x \sin x\, dx$.

Calculez $\int x^2 e^{x^3 + 2}\, dx$.

Calculez $\int \frac{x}{x^2 + 1}\, dx$.

Calculez $\int \cos(3x)\, dx$.

Calculez $\int x e^{-x^2/2}\, dx$.

Calculez $\int \frac{(\ln x)^2}{x}\, dx$.

Calculez $\int \sin^4 x \cos x\, dx$.

Calculez $\int \sqrt{4 - 3x}\, dx$.

Calculez $\int (x+2)(x^2+4x)^3\, dx$.

Calculez $\int \sin(2x)\, dx$.

Calculez $\int_1^2 \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\, dx$.

Calculez $\int_0^1 \frac{e^x}{e^x + 1}\, dx$.

Calculez $\int \cot x\, dx$.

Calculez $\int e^{5x}\, dx$.

Calculez $\int \frac{x^2}{x^3 + 1}\, dx$.

Quelle substitution $u$ est la plus appropriée pour calculer $\int 3x^2(x^3+1)^4\, dx$?

En essayant d'utiliser la substitution $u = g(x)$, on s'aperçoit que le $g'(x)$ est multiplié par une constante différente de 1. Que faire?

Calculez $\int_0^{\pi/4} e^{\sin^2 x} \sin x \cos x\, dx$.

Calculez $\int \tan^3 x \sec^2 x\, dx$.

Calculez $\int_1^2 x^2(x^3 + 1)^4\, dx$.

Un fonds de rendement fixe a un taux de versement de R$ 500 par mois avec croissance exponentielle: $r(t) = 500 e^{0{,}08t}$ reais par mois. Calculez le solde accumulé après 12 mois.

Calculez $\int x\cos(x^2)\, dx$.

Calculez $\int \frac{1}{(1+\sqrt{x})\sqrt{x}}\, dx$.

Calculez $\int_0^\pi \cos(\sin x) \cos x\, dx$. (Indication: observez les limites après la substitution.)

Calculez $\int \frac{e^x}{e^{2x} + 1}\, dx$.

Essayez de calculer $\int \sec^3 x\, dx$ par substitution. Identifiez pourquoi la substitution simple échoue ici, et écrivez la réponse (qui nécessite l'intégration par parties, Leçon 85).

Démontrez que $\int f(ax + b)\, dx = \frac{1}{a} F(ax + b) + C$ où $F' = f$ et $a \neq 0$.

Un véhicule a une accélération $a(t) = 10e^{-0{,}5t}$ m/s², partant du repos ($v(0) = 0$). Trouvez $v(t)$ en utilisant la substitution et calculez la vitesse en $t = 4$ s.